非線形共鳴

物理学において、非線形共鳴とは、非線形システムにおける共鳴現象のことである。非線形共鳴では、システムの挙動（共鳴周波数とモード）は振動の振幅に依存するが、線形システムでは振幅に依存しない。非線形システムにおけるモードの混合は、共鳴相互作用と呼ばれる。

一般的に、共鳴には線形共鳴と非線形共鳴の2種類を区別する必要があります。物理的な観点からは、外部力がシステムの固有振動数と一致するかどうか（それぞれ線形共鳴と非線形共鳴）によって定義されます。振動モードは、相互作用するモードのエネルギーと運動量の両方が保存される場合に共鳴相互作用を起こすことができます。エネルギー保存則は、モードの周波数の合計がゼロになることを意味します。

${\displaystyle \omega _{n}=\omega _{1}+\omega _{2}+\cdots +\omega _{n-1},}$

異なる可能性もある${\displaystyle \omega _{i}=\omega (\mathbf {k} _{i}),}$ある非線形偏微分方程式の線形部分の固有振動数である。${\displaystyle \mathbf {k} _{i}}$モードに関連付けられた波数ベクトル。整数の添え字${\displaystyle i}$フーリエ高調波（または固有モード）にインデックス付けされる（フーリエ級数を参照）。したがって、周波数共鳴条件は、多くの未知数を持つディオファントス方程式に相当する。これらの解を求める問題は、アルゴリズム的に解けないことが証明されているヒルベルトの第10問題に相当する。

非線形共鳴理論の主な概念と結果は次のとおりです。^{[ 1 ]}

1. 分散関係の使用${\displaystyle \omega =\omega (\mathbf {k} )}$様々な物理的応用において現れることで、周波数共振条件の解を見つけることが可能になります。
2. 与えられた分散関数と共鳴条件の形式に対する共鳴の集合は、互いに交差しない共鳴クラスターに分割されます。各クラスターのダイナミクスは、（適切な時間スケールで）独立して研究できます。これらはしばしば「束縛波」と呼ばれ、相互作用することができないのに対し、「自由波」は相互作用することができます。有名な例として、 KdV方程式のソリトンがあります。ソリトンは相互作用することなく互いに通過することができます。固有モードに分解すると、ソリトンの高周波モードは相互作用せず（共鳴相互作用の方程式を満たさない）、基本モードに「束縛」されます。^{[ 2 ]}
3. 束縛モードの各集合（共鳴クラスター）は、その特殊構造の平面グラフであるNR図によって表現できます。この表現により、3a) クラスターの時間依存挙動を記述する動的システム、および3b) その多項式保存則のセットを一意に再構築できます。これらは、最も単純なクラスター（三項式および四項式）に対するマンリー・ロウ運動定数の一般化です。
4. クラスターの種類によっては、動的システムを解析的に解くことができるものがあり、これらは厳密に解けるモデルである。
5. これらの理論的結果は、現実世界の物理現象（例えば、地球大気の季節内振動）や、波動乱流理論における様々な波動乱流状態を記述するために直接利用できる。共鳴相互作用に関する記事には、さらに多くの例が示されている。

非線形効果は、調和振動子の共振曲線の形状を大きく変化させる可能性がある。まず、共振周波数${\displaystyle \omega }$その「自然な」値からずれている$\displaystyle \omega _{0}}$式によれば

${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\kappa A^{2},}$

どこ${\displaystyle A}$は振動振幅であり、${\displaystyle \kappa }$は非調和係数によって定義される定数です。第二に、共鳴曲線の形状が歪みます（折り返し効果）。(正弦波状の)外力の振幅が${\displaystyle F}$臨界値に達する${\displaystyle F_{\mathrm {crit} }}$不安定性が発生する。臨界値は次の式で与えられる。

${\displaystyle F_{\mathrm {crit} }={\frac {4m^{2}\omega _{0}^{2}\gamma ^{3}}{3{\sqrt {3}}\kappa }},}$

どこ${\displaystyle m}$は振動子の質量であり、${\displaystyle \gamma }$は減衰係数である。さらに、周波数が に近い振動を示す新たな共鳴が現れる。$\displaystyle \omega _{0}}$外部の力によって周波数が全く異なる励起を受ける${\displaystyle \omega _{0}.}$

• ダフィング方程式
• 波の乱流

• エルマー、フランツ＝ヨーゼフ（1998年7月20日）「非線形共鳴」、バーゼル大学、 2010年10月27日取得