コーシー分布

コーシー

確率密度関数 紫色の曲線は標準的なコーシー分布である。
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle x_{0}\!}$ 場所（実際）規模（実際） ${\displaystyle \gamma >0}$
サポート	${\displaystyle \displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}\!}$
クォンタイル	${\displaystyle x_{0}+\gamma \,\tan[\pi (p-{\tfrac {1}{2}})]}$
平均	未定義
中央値	${\displaystyle x_{0}\!}$
モード	${\displaystyle x_{0}\!}$
分散	未定義
狂った	${\displaystyle \gamma}$
歪度	未定義
過剰尖度	未定義
エントロピ	${\displaystyle \log(4\pi \gamma )\!}$
MGF の	存在しない
CF	${\displaystyle \displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!}$
フィッシャー情報	${\displaystyle {\frac {1}{2\gamma ^{2}}}}$

コーシー分布は、オーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられた連続確率分布です。特に物理学者の間では、ローレンツ分布（ヘンドリック・ローレンツにちなんで）、コーシー・ローレンツ分布、ローレンツ関数、またはブライト・ウィグナー分布としても知られています。コーシー分布は、一様分布の角度で発せられる光線のx切片の分布です。また、平均が 0 である2 つの独立した正規分布するランダム変数の比の分布でもあります。 ${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )}$${\displaystyle (x_{0},\gamma )}$

コーシー分布は、その期待値と分散が定義されていないため、統計学では「異常な」分布の標準的な例としてよく使用されます（ただし、以下の § モーメントを参照してください）。コーシー分布には、1 以上の有限モーメントはなく、分数絶対モーメントのみが存在します。 ^[1]コーシー分布にはモーメント生成関数がありません。

数学においては、上半平面におけるラプラス方程式の基本解であるポアソン核と密接な関係がある。

これは、解析的に表現できる確率密度関数を持つ数少ない安定した分布の 1 つであり、他の 2 つは正規分布とレヴィ分布です。

ここに最も重要な構造があります。

線の前に立って、線に向かって一様にランダムに方向（より正確には角度）でボールを蹴った場合、ボールが線に当たる点の分布はコーシー分布になります。

より正式には、xy 平面の点 を考え、その点を通る直線を選択します。直線の方向 ( - 軸との角度) は、一様 (-90° から +90° の間) にランダムに選択されます。直線と x 軸の交点は、位置とスケールの Cauchy 分布です。 ${\displaystyle (x_{0},\gamma )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma}$

この定義は、標準コーシー分布からサンプルを採取する簡単な方法を提供します。を からの一様分布からのサンプルとすると、 を使って標準コーシー分布から サンプル を生成できます。${\displaystyle u}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=\tan \left(\pi (u-{\frac {1}{2}})\right)}$

とが、期待値0 および分散1の2 つの独立した正規分布のランダム変数である場合、比は標準コーシー分布に従います。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U/V}$

より一般的には、が平面上の回転対称分布である場合、比は標準コーシー分布に従います。 ${\displaystyle (U,V)}$${\displaystyle U/V}$

コーシー分布は、次の確率密度関数（PDF）^{[1] [2]}を持つ確率分布である。

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$

ここで、 は分布のピークの位置を指定する位置パラメータ、は半値幅 (HWHM) を指定するスケールパラメータ、あるいは半値全幅(FWHM)です。は四分位範囲の半分に等しく、確率誤差と呼ばれることもあります。 この関数はローレンツ関数^[3]としても知られ、新生デルタ関数の例でもあり、したがって の極限でディラックのデルタ関数に近づきます。オーギュスタン＝ルイ・コーシーは1827 年にこのような密度関数を無限小スケールパラメータで利用し、このディラックのデルタ関数を定義しました。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle 2\gamma }$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma \to 0}$

コーシー PDF の最大値または振幅は で、 に位置します。 ${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma }}}$${\displaystyle x=x_{0}}$

PDFを複素パラメータで表現すると便利な場合がある。${\displaystyle \psi =x_{0}+i\gamma }$

${\displaystyle f(x;\psi )={\frac {1}{\pi }}\,{\textrm {Im}}\left({\frac {1}{x-\psi }}\right)={\frac {1}{\pi }}\,{\textrm {Re}}\left({\frac {-i}{x-\psi }}\right)}$

の特別な場合、確率密度関数^{[4] [5]を持つ}標準コーシー分布と呼ばれる。${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle \gamma =1}$

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!}$

物理学では、3 パラメータのローレンツ関数がよく使用されます。

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma ,I)={\frac {I}{\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}=I\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$

ここで、ピークの高さです。示されている3パラメータのローレンツ関数は、一般には確率密度関数ではありません。なぜなら、次の特別な場合を除いて、1に積分されないからです。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle I={\frac {1}{\pi \gamma }}.\!}$

コーシー分布は、次の累積分布関数(CDF) を持つ確率分布です。

${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$

コーシー分布の 分位関数（逆累積分布関数）は

${\displaystyle Q(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}$

したがって、第 1 四分位数と第 3 四分位数は となり、四分位範囲は となります。 ${\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0}+\gamma )}$${\displaystyle 2\gamma }$

標準分布の場合、累積分布関数は逆正接関数 に簡略化されます。 ${\displaystyle \arctan(x)}$

${\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{\pi }}\arctan \left(x\right)+{\frac {1}{2}}}$

標準的なコーシー分布は自由度1のスチューデントのt分布であり、スチューデントのt分布を構築する任意の方法で構築できます。^[6]

が正の対角成分を持つ正半正定値共分散行列である場合、独立かつ同一分布する、およびおよびから独立でかつ（ カテゴリ分布 を定義する）任意のランダム-ベクトルに対して、次が成り立つ。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle X,Y\sim N(0,\Sigma )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle w}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1}$${\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p,}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p}w_{j}{\frac {X_{j}}{Y_{j}}}\sim \mathrm {コーシー} (0,1)。}$^[7]

コーシー分布は、平均、分散、または高次のモーメントが定義されていない分布の例です。そのモードと中央値は明確に定義されており、どちらも に等しくなります。 ${\displaystyle x_{0}}$

コーシー分布は無限に分割可能な確率分布である。また、厳密に安定な分布でもある。^[8]

すべての安定分布と同様に、コーシー分布が属する位置スケール族は、実係数を持つ線形変換に対して閉じています。さらに、コーシー分布のランダム変数の族は、実係数を持つ線形分数変換に対して閉じています。^[9]これに関連して、McCullaghのコーシー分布のパラメータ化も参照してください。

標準コーシー分布からのIIDサンプルの場合、そのサンプル平均も標準コーシー分布になります。特に、平均は平均に収束しないため、標準コーシー分布は大数の法則に従いません。 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}}$

これは、PDF との繰り返し積分によって証明できますが、より便利な方法として、標準コーシー分布の特性関数を使用することで証明できます (以下を参照)。これにより、 が得られ、標準コーシー分布も得られます。 $${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=e^{-|t|}.}$$${\displaystyle \varphi _{\sum _{i}X_{i}}(t)=e^{-n|t|}}$${\displaystyle {\bar {X}}}$

より一般的には、が独立で、位置パラメータとスケール を持つコーシー分布であり、が実数である場合、 は位置とスケールを持つコーシー分布です。独立したコーシー分布の加重和には大数の法則がないことがわかります。 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \sum _{i}a_{i}X_{i}}$${\displaystyle \sum _{i}a_{i}x_{i}}$${\displaystyle \sum _{i}|a_{i}|\gamma _{i}}$

これは、中心極限定理における有限分散の条件は省略できないことを示しています。これは、すべての安定分布に特徴的な中心極限定理のより一般化されたバージョンの例でもあり、コーシー分布はその特殊なケースです。

が有限だがゼロでないPDFを持つIIDサンプルである場合、分布 はスケール の Cauchy 分布に収束します。^[10]${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \lim _{c\to \infty }{\frac {1}{c}}\int _{-c}^{c}x^{2}\rho (x)\,dx={\frac {2\gamma }{\pi }}}$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$${\displaystyle \gamma }$

をコーシー分布の確率変数とします。コーシー分布の 特性関数は次のように与えられます。${\displaystyle X}$

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )e^{ixt}\,dx=e^{ix_{0}t-\gamma |t|}.}$

これは確率密度のフーリエ変換に過ぎません。元の確率密度は、基本的に逆フーリエ変換を使用して特性関数で表現できます。

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{X}(t;x_{0},\gamma )e^{-ixt}\,dt\!}$

分布の n 次モーメントは、特性関数の n 次導関数を で評価したものです。特性関数は原点で微分可能ではないことに注意してください。これは、コーシー分布がゼロ次モーメントよりも高い明確に定義されたモーメントを持たないという事実に対応しています。 ${\displaystyle t=0}$

2つのコーシー分布間のカルバック・ライブラー距離は、次のような対称閉形式の式で表される: ^[11]

${\displaystyle \mathrm {KL} \left(p_{x_{0,1},\gamma _{1}}:p_{x_{0,2},\gamma _{2}}\right)=\log {\frac {\left(\gamma _{1}+\gamma _{2}\right)^{2}+\left(x_{0,1}-x_{0,2}\right)^{2}}{4\gamma _{1}\gamma _{2}}}.}$

2つのコーシー分布間のfダイバージェンスは対称であり、カイ2乗ダイバージェンスの関数として表すことができます。^[12]全変動、ジェンセン・シャノン・ダイバージェンス、ヘリンガー距離など の閉じた形式の表現が利用可能です。

コーシー分布のエントロピーは次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}H(\gamma )&=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )\log(f(x;x_{0},\gamma ))\,dx\\[6pt]&=\log(4\pi \gamma )\end{aligned}}}$

コーシー分布の 分位関数（分位密度関数）の導関数は次のようになります。

${\displaystyle Q'(p;\gamma )=\gamma \,\pi \,{\sec }^{2}\left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].\!}$

分布の微分エントロピーは、その分位密度によって定義することができる。 ^[13]具体的には、

${\displaystyle H(\gamma )=\int _{0}^{1}\log \,(Q'(p;\gamma ))\,\mathrm {d} p=\log(4\pi \gamma )}$

コーシー分布は、ランダム変量に対する最大エントロピー確率分布であり、 ^[14]${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\log(1+(X-x_{0})^{2}/\gamma ^{2})]=\log 4}$

コーシー分布は、明確に定義された（または「不定」な）モーメントを持たない分布として、初等確率の授業で説明的な反例としてよく使用されます。

標準コーシー分布からIID サンプルを取ると、そのサンプル平均のシーケンスはとなり、これも標準コーシー分布に従います。したがって、項をいくつ取っても、サンプル平均は収束しません。 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

同様に、標本分散も収束しません。 ${\displaystyle V_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-S_{n})^{2}}$

の典型的な軌道は、ゼロへのゆっくりとした収束の長い期間のように見えますが、ゼロから大きく離れるジャンプが中断されますが、離れすぎることはありません。 の典型的な軌道も同様に見えますが、ジャンプは減衰よりも速く蓄積され、無限大に発散します。これらの 2 種類の軌道が図にプロットされています。 ${\displaystyle S_{1},S_{2},...}$${\displaystyle V_{1},V_{2},...}$

1 次より低いサンプルのモーメントはゼロに収束します。2 次より高いサンプルのモーメントは、サンプル分散よりもさらに速く無限大に発散します。

確率分布が密度関数 を持つ場合、平均は、存在するならば、次のように与えられる。 ${\displaystyle f(x)}$

この両側仮積分は、 2つの片側仮積分の和を計算することで評価できる。つまり、

任意の実数に対して。 ${\displaystyle a}$

積分が存在するためには（たとえ無限大であっても）、この和の項のうち少なくとも1つは有限であるか、または両方の項が無限大で同じ符号を持っている必要があります。しかし、コーシー分布の場合、この和（2）の項は両方とも無限大で、反対の符号を持っています。したがって、（1）は未定義であり、平均も未定義です。^[15]確率分布関数（PDF）の平均が未定義の場合、サンプルのサイズに関係なく、誰も実験データポイントの信頼できる平均を計算することはできません。

コーシー分布の平均の コーシー主値はゼロであることに注意する 。一方、積分を計算するとわかるように、関連する積分は ゼロで はない。これもまた、平均( 1 )が存在できないことを示している。 $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}xf(x)\,dx}$$$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}xf(x)\,dx}$$

確率論における期待値に関する様々な結果、例えば大数の強い法則はコーシー分布には当てはまらない。^[15]

の絶対モーメントは定義されてい ます。${\displaystyle p\in (-1,1)}$${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}$

${\displaystyle \operatorname {E} [|X|^{p}]=\gamma ^{p}\mathrm {sec} (\pi p/2).}$

コーシー分布には、いかなる次数の有限モーメントもありません。より高い生のモーメントの中には、無限大の値を持つものもいくつか存在します。たとえば、生の 2 番目のモーメントです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{2}]&\propto \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }1-{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }dx-\pi =\infty .\end{aligned}}}$

式を整理すると、第 2 モーメントは本質的に定数 (ここでは 1) の無限積分であることがわかります。偶数乗の高い生のモーメントも無限大になります。ただし、奇数乗の生のモーメントは未定義であり、無限大の値で存在する場合とは明確に異なります。奇数乗の生のモーメントが未定義なのは、積分の 2 つの半分が両方とも発散し、符号が反対であるため、その値が本質的に に等しいためです。第 1 の生のモーメントは平均であり、奇数であるため存在しません (これについては上記の説明も参照してください)。これは、中心モーメントと標準化モーメントがすべて平均に基づいているため、定義されていないことを意味します。分散 (第 2 の中心モーメント) も同様に存在しません (生の第 2 モーメントが値無限大で存在するにもかかわらず)。 ${\displaystyle \infty -\infty }$

高次のモーメントの結果は、ヘルダーの不等式から得られます。これは、低次のモーメントが発散すると、高次のモーメント（またはモーメントの半分）も発散することを意味します。

標準的なコーシー分布を区間[−10 ¹⁰⁰ , 10 ¹⁰⁰ ]に制限して定義される切断分布を考えてみましょう。このような切断分布はすべてのモーメントを持ちます（そして中心極限定理はそこからのiid観測に適用されます）。しかし、ほとんどすべての実用目的では、それはコーシー分布のように動作します。^[16]

• もしそうなら^[17]${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )}$${\displaystyle kX+\ell \sim {\textrm {Cauchy}}(x_{0}k+\ell ,\gamma |k|)}$
• とが独立であれば、と${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma _{0})}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{1},\gamma _{1})}$${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0}+x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})}$${\displaystyle X-Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0}-x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})}$
• もしそうなら${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (0,\gamma )}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} (0,{\tfrac {1}{\gamma }})}$
• McCullaghのコーシー分布のパラメータ化：^[18]コーシー分布を1つの複素パラメータ で表すと、 はを意味すると定義します。 のとき、次のようになります。ここで、、、は実数です。${\displaystyle \psi =x_{0}+i\gamma }$${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},|\gamma |)}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$$${\displaystyle {\frac {aX+b}{cX+d}}\sim \operatorname {Cauchy} \left({\frac {a\psi +b}{c\psi +d}}\right)}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$
• 上記と同じ規則を用いると、次のようになる。^[18]ここで、円コーシー分布である。${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$ $${\displaystyle {\frac {X-i}{X+i}}\sim \operatorname {CCauchy} \left({\frac {\psi -i}{\psi +i}}\right)}$$${\displaystyle \operatorname {CCauchy} }$

コーシー分布のパラメータは平均と分散に対応していないため、標本平均と標本分散を使用してコーシー分布のパラメータを推定しようとすると成功しません。^[19]たとえば、コーシー分布からサイズnのiid標本を抽出した場合、標本平均は次のように計算できます。

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

標本値は中心値 の周囲に集中しますが、観測値が増えるにつれて、絶対値の大きい標本点に遭遇する確率が高くなるため、標本平均はますます変動しやすくなります。実際、標本平均の分布は、観測値自体の分布に等しくなります。つまり、大きな標本の標本平均は、標本からの単一の観測値よりも の推定値として優れている (または劣っている) わけではありません。同様に、標本分散を計算すると、観測値が増えるにつれて値が大きくなります。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

したがって、中心値とスケーリングパラメータを推定するより堅牢な手段が必要である。 1 つの簡単な方法は、サンプルの中央値を の推定値として取り、サンプルの四分位範囲の半分をの推定値として取ることである。 他にも、より正確で堅牢な方法が開発されている^{[20] [21]。} たとえば、サンプル順序統計量の中央 24% の切り捨て平均は、サンプルの中央値またはサンプル全体の平均を使用するよりも効率的な の推定値を生成する。 ^{[22] [23]ただし、コーシー分布の}太い裾のため、サンプルの 24% 以上を使用すると推定値の効率は低下する。^{[22] [23]}${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x_{0}}$

最大尤度法はパラメータとを推定するためにも使用できます。しかし、これは高次多項式の根を見つける必要があり、局所的最大値を表す根が複数存在する可能性があるため、複雑になる傾向があります。^[24]また、最大尤度推定量は漸近的には効率的ですが、小さなサンプルでは比較的非効率的です。^{[25] [26]} サンプルサイズに対するコーシー分布の対数尤度関数は次のとおりです。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\hat {\ell }}(x_{1},\dotsc ,x_{n}\mid \!x_{0},\gamma )=-n\log(\gamma \pi )-\sum _{i=1}^{n}\log \left(1+\left({\frac {x_{i}-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right)}$

および に関して対数尤度関数を最大化するために一次導関数をとると、次の連立方程式が生成されます。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {d\ell }{dx_{0}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2(x_{i}-x_{0})}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-\!x_{0}\right)^{2}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {d\ell }{d\gamma }}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma (\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2})}}-{\frac {n}{\gamma }}=0}$

ご了承ください

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}}$

は単調関数であり、解は ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \min |x_{i}-x_{0}|\leq \gamma \leq \max |x_{i}-x_{0}|.}$

についてのみ解くには、次数 の多項式を解く必要があります。^[24]また、についてのみ解くには、次数 の多項式を解く必要があります。したがって、1 つのパラメータについて解く場合でも、両方のパラメータを同時に解く場合でも、通常はコンピュータ上で数値解を求める必要があります。最尤推定の利点は漸近効率です。標本中央値を使用して推定した場合の漸近効率は、最尤推定値と比較して約 81% にすぎません。^{[23] [27]}中間 24% の順序統計量を使用した切り捨て標本平均は、最大尤度推定値と比較して約 88% の漸近効率の の推定値です。^[23]ニュートン法を使用して最大尤度推定値の解を求める場合、中間 24% の順序統計量を の初期解として使用できます。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle \,\!\gamma }$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

位置 0 の Cauchy 変数の場合、形状パラメータは 絶対値の中央値を使用して推定できます。${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}$${\displaystyle \operatorname {median} (|X|)=\gamma }$

• ${\displaystyle \operatorname {Cauchy} (0,1)\sim {\textrm {t}}(\mathrm {df} =1)\,}$ スチューデントのt分布
• ${\displaystyle \operatorname {Cauchy} (\mu ,\sigma )\sim {\textrm {t}}_{(\mathrm {df} =1)}(\mu ,\sigma )\,}$ 非標準化スチューデントのt分布
• 独立している場合は${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {N}}(0,1)\,X,Y}$${\displaystyle {\tfrac {X}{Y}}\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,}$
• もしそうなら${\displaystyle X\sim {\textrm {U}}(0,1)\,}$${\displaystyle \tan \left(\pi \left(X-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,}$
• もしそうなら${\displaystyle X\sim \operatorname {Log-Cauchy} (0,1)}$${\displaystyle \ln(X)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)}$
• もし そうなら${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} \left({\tfrac {x_{0}}{x_{0}^{2}+\gamma ^{2}}},{\tfrac {\gamma }{x_{0}^{2}+\gamma ^{2}}}\right)}$
• コーシー分布はタイプ4のピアソン分布の極限ケースである^[要出典]
• コーシー分布はタイプ7のピアソン分布の特殊なケースである^。[1]
• コーシー分布は安定分布です。つまり、 の場合、 となります。${\displaystyle X\sim {\textrm {Stable}}(1,0,\gamma ,\mu )}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,\gamma )}$
• コーシー分布は双曲分布の特異極限である^[要出典]
• 円上の値を取るラップされたコーシー分布は、コーシー分布を円の周りでラップすることによって派生します。
• 、の場合、 となります。半コーシー分布の場合、 と設定することで関係式が成立します。${\displaystyle X\sim {\textrm {N}}(0,1)}$${\displaystyle Z\sim \operatorname {Inverse-Gamma} (1/2,s^{2}/2)}$${\displaystyle Y=\mu +X{\sqrt {Z}}\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,s)}$${\displaystyle X\sim {\textrm {N}}(0,1)I\{X\geq 0\}}$

コーシー分布は指数1の安定分布です。このようなパラメータの安定分布のレヴィ・ヒンチン表現は次のように与えられます。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle X\sim \operatorname {Stable} (\gamma ,0,0)\,}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{ixX}\right)=\exp \left(\int _{\mathbb {R} }(e^{ixy}-1)\Pi _{\gamma }(dy)\right)}$

どこ

${\displaystyle \Pi _{\gamma }(dy)=\left(c_{1,\gamma }{\frac {1}{y^{1+\gamma }}}1_{\left\{y>0\right\}}+c_{2,\gamma }{\frac {1}{|y|^{1+\gamma }}}1_{\left\{y<0\right\}}\right)\,dy}$

と明示的に表現することができる。^[28]コーシー分布の場合、となる。 ${\displaystyle c_{1,\gamma },c_{2,\gamma }}$${\displaystyle \gamma =1}$${\displaystyle c_{1,\gamma }=c_{2,\gamma }}$

この最後の表現は、次の式の結果である。

${\displaystyle \pi |x|=\operatorname {PV} \int _{\mathbb {R} \smallsetminus \lbrace 0\rbrace }(1-e^{ixy})\,{\frac {dy}{y^{2}}}}$

ランダムベクトルは 、その成分のすべての線形結合がコーシー分布に従う場合、多変量コーシー分布に従うと言われます。つまり、任意の定数ベクトルに対して、ランダム変数は単変量コーシー分布に従う必要があります。^[29] 多変量コーシー分布の特性関数は次のように与えられます。 ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})^{T}}$${\displaystyle Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{k}X_{k}}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle Y=a^{T}X}$

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{ix_{0}(t)-\gamma (t)},\!}$

ここで、およびは1次の同次関数と1次の正同次関数を持つ実関数である。 ^[29] より正式には：^[29]${\displaystyle x_{0}(t)}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle x_{0}(t)}$${\displaystyle \gamma (t)}$

${\displaystyle x_{0}(at)=ax_{0}(t),}$

${\displaystyle \gamma (at)=|a|\gamma (t),}$

すべてに対して。 ${\displaystyle t}$

二変量コーシー分布の例は次のようになる。^[30]

${\displaystyle f(x,y;x_{0},y_{0},\gamma )={1 \over 2\pi }\left[{\gamma \over ((x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+\gamma ^{2})^{3/2}}\right].}$

この例では、と間の共分散が0であるにもかかわらず 、とが統計的に独立していないことに注意してください。^[30]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

この式は複素変数に対しても書くことができます。複素コーシーの確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle f(z;z_{0},\gamma )={1 \over 2\pi }\left[{\gamma \over (|z-z_{0}|^{2}+\gamma ^{2})^{3/2}}\right].}$

標準コーシー分布が自由度 1 のスチューデント t 分布であるのと同様に、多次元コーシー密度は自由度 1 の多変量スチューデント分布です。自由度 1 の次元スチューデント分布 の密度は次のとおりです。${\displaystyle k}$

${\displaystyle f({\mathbf {x} };{\mathbf {\mu } },{\mathbf {\Sigma } },k)={\frac {\Gamma \left({\frac {1+k}{2}}\right)}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\pi ^{\frac {k}{2}}\left|{\mathbf {\Sigma } }\right|^{\frac {1}{2}}\left[1+({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })^{T}{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })\right]^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

多次元コーシー分布の特性は、多変量スチューデント分布の特殊なケースになります。

• 分光学において、コーシー分布は、スペクトル線の形状を表します。このスペクトル線は、すべての原子がスペクトル線の形状に含まれる周波数範囲で同じように相互作用し、均一な広がりが生じます。均一な広がりは多くのメカニズムによって発生しますが、最も顕著なのは衝突による広がりです。^[31] 寿命や自然広がりによっても、コーシー分布で表されるスペクトル線の形状が生じます。
• コーシー分布またはその変換の応用は、指数関数的増加を扱う分野で見出すことができます。1958年のホワイトの論文^[32]は、方程式の推定値の検定統計量を導き出し、通常の最小二乗法を使用して最大尤度推定値を求めると、統計量の標本分布がコーシー分布になることを示しました。${\displaystyle {\hat {\beta }}}$${\displaystyle x_{t+1}=\beta {x}_{t}+\varepsilon _{t+1},\beta >1}$

• コーシー分布は、回転する物体の観測値の分布であることが多い。これに関する古典的な例は、カモメの灯台問題^[34]と呼ばれ、上記のセクションでは素粒子物理学におけるブライト・ウィグナー分布と呼ばれている。
• 水文学では、コーシー分布は年間最大日雨量や河川流量などの極端な事象に適用されます。青い図は、順位付けされた月間最大日雨量にコーシー分布を当てはめた例を示しており、二項分布に基づく90%信頼区間も表示しています。降雨量データは、累積頻度分析の一部として位置をプロットすることによって表されます。
• ローレンツモデルによれば、複素誘電率の虚数部の表現はコーシー分布です。
• 計算ファイナンスにおけるファットテールをモデル化するための追加の分布として、コーシー分布はガウス分布よりもはるかに大きな極端なリスクの確率を生み出すVAR（リスク値）をモデル化するために使用できます。^[35]

原子核物理学および素粒子物理学では、共鳴のエネルギープロファイルは相対論的なブライト・ウィグナー分布によって記述され、コーシー分布は（非相対論的な）ブライト・ウィグナー分布である。^[要出典]

コーシー分布の密度関数の形を持つ関数は、 1659年にフェルマーによって幾何学的に研究され、後にマリア・ガエターナ・アニェージが1748年に微積分の教科書に例として含めたことから、アニェージの魔女として知られるようになった。その名前にもかかわらず、コーシー分布の特性の最初の明示的な分析は1824年にフランスの数学者ポアソンによって発表され、コーシーがそれに関連付けられたのは1853年の学術的論争のときだけであった。^[36]ポアソンは、そのような分布に従う観測の平均をとると、標準偏差はどの有限の数にも収束しないことに注目した。したがって、ラプラスがそのような分布で中心極限定理を使用したのは、有限の平均と分散を仮定していたため不適切であった。それにもかかわらず、ポアソンはこの問題を重要視せず、ビエネメとは対照的であった。ビエネメはこの問題をめぐってコーシーと長い論争を繰り広げた。

• レヴィ飛行とレヴィ過程
• ラプラス分布、コーシー分布のフーリエ変換
• コーシー過程
• 安定したプロセス
• スラッシュ分布

• 「コーシー分布」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 最も古い使用例: コーシー分布の項目には、いくつかの歴史的な情報が記載されています。
• Weisstein、Eric W.「コーシー分布」。MathWorld。
• GNU 科学ライブラリ – リファレンスマニュアル
• ジョージ・マルサリア著「正規変数の比率」