ポール・エルデシュ

ポール・エルデシュ
1992年のエルデシュ
生まれる	( 1913-03-26 )1913年3月26日 ブダペスト、オーストリア＝ハンガリー
死亡	1996年9月20日(1996-09-20)（享年83歳） ワルシャワ、ポーランド
国籍	ハンガリー語
母校	ハンガリー王立パズマニ・ペテル大学
知られている	同名の論文 非常に多くの結果と推測（1,500件以上の論文）、および非常に多くの共著者（500人以上）
受賞歴	ウルフ賞(1983/84) AMSコール賞(1951)
科学者としてのキャリア
フィールド	純粋数学
機関	ビクトリア大学マンチェスター校 プリンストン大学 パーデュー大学 ペンシルバニア大学 ノートルダム大学 スタンフォード大学 シラキュース大学 エルサレム・ヘブライ大学 テクニオン – イスラエル工科大学
博士課程の指導教員	リポト・フェイエル
博士課程の学生	ジョセフ・クラスカル ジョージ・B・パーディ アレクサンダー・ソイファー ベラ・ボロバス[1]

パウル・エルデシュ（ハンガリー語：Erdős Pál [ˈɛrdøːʃ ˈpaːl] ; 1913年3月26日 - 1996年9月20日）は、ハンガリーの数学者である。彼は20世紀で最も多作な数学者の一人であり、数学的予想^{[2]を生み出した人物である。 [3]} エルデシュは、離散数学、グラフ理論、数論、数学的解析、近似理論、集合論、確率論の問題を追求し、提案した。^[4]彼の仕事の多くは離散数学を中心にしており、その分野でこれまで未解決であった多くの問題を解明した。彼は、順序が必然的に現れる条件を研究するラムゼー理論を擁護し、貢献した。全体として、彼の仕事は、数学の新しい分野を開発または探索するのではなく、 これまで未解決であった問題を解決することに重点を置いていた。

エルデシュは生涯で約1,500本の数学論文を発表したが、これはいまだに破られていない数字である。^[5]彼は数学を社会活動であると固く信じ、他の数学者と数学論文を書くことを唯一の目的として放浪生活を送っていた（つまり、あちこち旅をする生活を送っていた）。彼は500人以上の共同研究者と働く社会的な数学実践と風変わりなライフスタイルの両方で知られ、タイム誌は彼を「変わり者の中の変わり者」と呼んだ。^{[6]彼は晩年まで起きている時間を数学に捧げ、実際、}ワルシャワでの数学会議中に亡くなった。^[7]エルデシュの共著者との多作な成果は、共著者の観点から数学者とエルデシュの間の最短経路のステップ数である エルデシュ数の創出を促した。

パウル・エルデシュは1913年3月26日、オーストリア＝ハンガリー帝国のブダペストで生まれた^[8]。アンナ（旧姓ヴィルヘルム）とラヨシュ・エルデシュ（旧姓エングランダー）の唯一の生き残りの子供であった^{[9] [10]。3}歳と5歳だった彼の2人の姉妹は、彼が生まれる数日前に猩紅熱で亡くなった^[11] 。彼の両親はともにユダヤ人で、高校の数学教師であった。彼は早くから数学に興味を持っていた。彼はドイツ人の家庭教師に育てられた^[12] 。彼の父親は1914年から1920年にかけてオーストリア＝ハンガリー帝国の捕虜としてシベリアに抑留され^[10]、母親は家計を支えるために長時間働かなければならなかったためである。彼の父親は捕虜中に独学で英語を学んだが、多くの単語を間違って発音した。ラヨシュが後に息子に英語を教えたとき、ポールは父親の発音を学び、それを生涯使い続けた。^[13]

彼は両親が家に置いていった数学の教科書を独学で読み、5歳までに年齢からその人の人生秒数を頭の中で計算できるようになった。^[12]姉の死により、彼は母親と親密な関係になり、大学に進学するまで二人は同じベッドを共にしていたと伝えられている。^{[14] [15]}

16歳のとき、父親は彼に、生涯の趣味となる無限級数と集合論という2つの科目を教えた。高校時代、エルデシュは「中等学校向け数学・物理学ジャーナル」 KöMaLに毎月掲載される問題を熱心に解くようになった。^[16]

エルデシュは17歳の時、国家試験に合格してブダペスト大学で学び始めた。当時、ハンガリーの大学へのユダヤ人の入学は、ヌメルス・クラウズスによって厳しく制限されていた。^{[13] [17]} 20歳になるまでに、彼はチェビシェフの定理の証明を見つけた。^[17] 1934年、21歳で数学の博士号を取得した。^[17]エルデシュの論文指導教官は、ジョン・フォン・ノイマン、ジョージ・ポリア、ポール・トゥラン（パール）の論文指導教官でもあったリポト・フェイエルであった。ハンガリーのユダヤ人が独裁政権下で弾圧を受けていたため、彼はマンチェスターで博士研究員となった。そこで彼はゴッドフリー・ハロルド・ハーディとスタン・ウラムと出会った。^[13]

エルデシュはユダヤ人であったためハンガリーは危険だと考え国を離れ、1938年にアメリカに移住した。^[17]エルデシュの家族の多くは、叔母2人、叔父2人、父親など、第二次世界大戦中にブダペストで亡くなった。生き残ったのは母親だけだった。当時彼はアメリカに住み、プリンストン高等研究所で働いていた。 ^{[17] [18]}しかし、プリンストンでのフェローシップは、エルデシュがその地の基準に従わなかったため、予定されていた1年ではなく6か月しか延長されなかった。彼らは彼を「無作法で型破り」とみなした。^[13]

伝記作家のポール・ホフマンはエルデシュを「おそらく世界で最も風変わりな数学者」と評し、成人してからの人生の大半をスーツケースを持ち歩いて過ごした。^[19] 1950年代の数年間、共産主義者との非難により米国への入国を許されなかった時期を除いて、彼の生活は次々とある会議やセミナーを回る日々だった。^[19]訪問中、エルデシュはホストが宿泊所、食事、洗濯など必要なものすべてを手配し、次の目的地までの手配もしてくれることを期待していた。^[19]

ウラムは1943年にウィスコンシン大学マディソン校を辞職し、ニューメキシコ州ロスアラモスで他の数学者や物理学者とともにマンハッタン計画に携わった。彼はエルデシュをこの計画に参加するよう誘ったが、エルデシュが戦後ハンガリーに帰国したいと表明したため、誘いは取り消された。^[13]

1996年9月20日、83歳でワルシャワでの会議に出席中に心臓発作を起こして亡くなった。^[20]この状況は彼が望んでいた死に方に近いものだった。彼はかつてこう言った。

講義をしていて、黒板に重要な証明を書いているときに、聴衆の誰かが「一般の場合はどうですか？」と叫んだら、私は聴衆の方を向いて微笑み、「それは次の世代に任せます」と言って、倒れてしまいます。^[20]

エルデシュは結婚せず、子供もいなかった。^[9]彼はブダペストのユダヤ人コズマ通り墓地で両親の隣に埋葬されている。 ^[21]彼は墓碑銘として「私はついに愚かになることをやめた」（ハンガリー語：Végre nem butulok tovább）と提案した。^[22]

エルデシュの名前にはハンガリー語の文字「ő 」（二重鋭アクセントの「o」）が含まれているが、「間違いか印刷上の必要から」ErdosまたはErdösと誤って表記されることが多い。 ^[23]

1934年、エルデシュは客員講師としてイギリスのマンチェスターに移った。1938年、彼はニュージャージー州プリンストン高等研究所の奨学生として最初のアメリカでの職に就き、その後10年間在籍した。マーク・カックやオーレル・ウィントナーとの確率的数論に関する論文、パル・トゥランとの近似理論に関する論文、ヴィトルド・ヒューレヴィッツとの次元論に関する論文で優れた成果を上げたにもかかわらず、フェローシップは継続されず、エルデシュはペンシルベニア大学、ノートルダム大学、パデュー大学、スタンフォード大学、シラキュース大学で放浪学者としての職を得ざるを得なかった。^[24]彼は1か所に長く留まらず、死ぬまで数学機関を転々とした。

赤狩りとマッカーシズムの結果、^{[25] [26] [27]} 1954年に移民帰化局はハンガリー国民のエルデシュの米国への再入国ビザを拒否した。^[28]当時ノートルダム大学で教鞭をとっていたエルデシュは、ハンガリーに留まることもできた。その代わりに、彼は荷物をまとめて国を去ったが、米国移民局に定期的に再考を要請していた。ある時点で彼はイスラエルに移住し、エルサレムのヘブライ大学で3か月間職を与えられ、その後テクニオンで「常任客員教授」の職を得た。

当時ハンガリーはソ連とのワルシャワ条約機構の下にあった。ハンガリーは自国民の出入国の自由を制限していたが、1956年にエルデシュに自由に出入国できる独占的特権を与えた。

1963年、米国移民局はエルデシュにビザを発給し、彼はアメリカの教育機関で教鞭をとり、また渡航を再開した。10年後の1973年、60歳になったエルデシュは自主的にハンガリーを離れた。^[29]

エルデシュは生涯の最後の数十年間に少なくとも15の名誉博士号を授与された。彼は米国科学アカデミーや英国王立協会を含む8カ国の科学アカデミーの会員となった。^[30]彼は1977年にオランダ王立芸術科学アカデミーの外国人会員となった。 ^{[31]彼は死の直前に、同僚の}エイドリアン・ボンディに対する不当な扱いを理由にウォータールー大学から名誉学位を返上した。^{[32] [33]}

エルデシュは数学史上最も論文を発表した人物の一人で、レオンハルト・オイラーに匹敵する。エルデシュは他の数学者と共同で多くの論文を発表したが、オイラーは単独でより多くのページを発表した。^[34]エルデシュは生涯で約1,525本の数学論文を執筆したが、^[35]そのほとんどは共著者との共著であった。彼は数学を社会活動として強く信じ、実践し、^[36]生涯で511人の共同研究者がいた。^[37]

数学的なスタイルにおいて、エルデシュは「理論開発者」というよりは「問題解決者」であった（この2つのスタイルについての詳細な議論、およびなぜ問題解決者があまり評価されていないのかについては、ティモシー・ガワーズ著「数学の2つの文化」 ^{[38]を参照）。}ジョエル・スペンサーは「20世紀の数学界における彼の位置は、輝かしいキャリアを通じて特定の定理と予想に断固として集中したため、議論の余地がある」と述べている。^{[39]エルデシュは}フィールズ賞（生涯で授与された最高の数学賞）を受賞したことはなく、受賞者と共著した論文もない。^[40]このパターンは他の賞にも当てはまる。^{[41]彼は1983/84年に}ウルフ賞を受賞したが、「数論、組合せ論、確率論、集合論、数学的解析への多大な貢献と、世界中の数学者に刺激を与えたこと」が評価された。^[42]対照的に、その後の3人の受賞者の業績は「傑出している」、「古典的」、「深遠である」と評価され、それ以前の3人の業績は「基礎的」または「先駆的」と評価された。

彼の貢献の中で特に際立っているのは、ラムゼー理論の発展と確率的手法の応用である。極限的組合せ論は、解析的数論の伝統に一部由来するアプローチ全体を彼に負っている。エルデシュは、チェビシェフの元のものよりもはるかに簡潔であることが証明されたベルトランの公理の証明を見つけた。また、彼はアトレ・セルバーグとともに、素数定理の最初の初等的証明も発見した。しかし、証明に至るまでの状況や出版に関する意見の相違により、エルデシュとセルバーグの間には激しい論争が起きた。^{[43] [44]}エルデシュは、実際にはあまり興味がなかった分野にも貢献した。例えば位相幾何学では、彼はゼロ次元ではない完全に分離した位相空間、エルデシュ空間の例を初めて示した人物として知られている。^[45]

エルデシュは既存の問題を解決するだけでなく、新しい問題を提起することでも知られており、エルンスト・シュトラウスは彼を「問題提起者の絶対君主」と呼んだ。^[7] エルデシュはキャリアを通じて、未解決の問題の解決に対して報酬を支払った。^{[ 46]}報酬は、当時の数学的思考（彼自身と他者の両方）の範囲を超えていると彼が感じた問題に対して25ドルから、解くのが難しく数学的に重要な問題に対して1万ドルまでの範囲であった。これらの問題のいくつかはその後解決されており、最も利益の大きい問題である素数ギャップに関するエルデシュの予想は2014年に解決され、1万ドルが支払われた。^[48]

未解決の問題は少なくとも1000個残っていると考えられているが、公式または包括的なリストはない。エルデシュの死後も、解の募集は継続しており、ロナルド・グラハムが（非公式に）解答の管理者を務め、解答者は生前にエルデシュが署名したオリジナルの小切手（記念品のみで換金不可）か、グラハムからの換金可能な小切手を受け取ることができた。^{[49] [更新が必要]}イギリスの数学者トーマス・ブルームは2024年にエルデシュの問題に特化したウェブサイトを立ち上げた。 ^[50]

おそらくこれらの問題の中で最も数学的に注目すべきは、等差数列に関するエルデシュ予想でしょう。

整数の列の逆数の和が発散する場合、その列には任意の長さの等差数列が含まれます。

もしこれが本当なら、数論における他のいくつかの未解決問題も解決することになる（ただし、この予想の主要な含意の1つである、素数は任意の長さの等差数列を含むという点は、その後グリーン・タオ定理として独立に証明されている）。この問題の解決に対する報酬は現在5,000ドルである。^[51]

エルデシュ賞の対象となった最も有名な問題は、おそらくコラッツ予想（3N +1問題とも呼ばれる）だろう 。エルデシュは、その解決に500ドルの賞金を提示した。

エルデシュの最も頻繁な共同研究者には、ハンガリーの数学者アンドラーシュ・サルコジ（62本の論文）とアンドラーシュ・ハイナル（56本の論文）、そしてアメリカの数学者ラルフ・フォードリー（50本の論文）がいる。その他の頻繁な共同研究者は以下の通りである。^[52]

エルデシュの他の共著者については、エルデシュ番号による人物一覧のエルデシュ番号 1 の人物一覧を参照してください。

彼の多作な業績のため、友人たちは彼に敬意を表してエルデシュ数を作った。エルデシュ数は、エルデシュとの共同研究、または独自のエルデシュ数を持つ他の人との共同研究に基づいて、エルデシュ自身からのその人の分離度を表す。エルデシュだけにエルデシュ数 0 が割り当てられた (彼自身であるため)。一方、彼の直接の共同研究者はエルデシュ数 1 を主張でき、その共同研究者のエルデシュ数は最大で 2 である、などである。約 20 万人の数学者にエルデシュ数が割り当てられており^[53]、一部の研究者は、世界で活躍する数学者の 90 パーセントが 8 未満のエルデシュ数を持っていると推定している (スモールワールド現象を考慮すると驚くことではない)。数学者との共同研究により、物理学、工学、生物学、経済学などの分野の多くの科学者もエルデシュ数を持っている。^[54]

いくつかの研究によると、一流の数学者はエルデシュ数が特に低い傾向があることがわかっています。^[55]たとえば、エルデシュ数がわかっている約268,000人の数学者の平均値は5です。 ^{[56]対照的に、}フィールズ賞受賞者のエルデシュ数の中央値は3です。^[57] 2015年現在、エルデシュ数が2以下の数学者は約11,000人です。^{[58] [59]}エルデシュ数が低い数学者は亡くなり、共同研究ができなくなるため、共同研究の距離は長期的には必然的に増加します。アメリカ数学会は、Mathematical Reviewsカタログに掲載されているすべての数学著者のエルデシュ数を決定するための無料のオンラインツールを提供しています。^[60]

エルデシュ数は、おそらく最初にカスパー・ゴフマン^[61]によって定義された。ゴフマンは、エルデシュ数が2である分析家であり、数学者のリチャード・B・ダーストと共著している。ダーストもエルデシュと共著している。^[62]ゴフマンは、1969年に「そしてあなたのエルデシュ数とは何ですか？」と題した論文で、エルデシュとの多作な共同研究についての見解を発表した^。[63]

ジェリー・グロスマンは、野球殿堂入りした ハンク・アーロンとエモリー大学が同じ日に名誉学位を授与した際に、2人が同じ野球ボール（カール・ポメランス宛）にサインをしたことから、エルデシュ数は1であると考えられると書いている。 ^[64]エルデシュ数は、幼児、馬、数人の俳優にも提案されている。^[65]

エルデシュにとって所有物はほとんど意味をなさなかった。彼の放浪生活から、彼の持ち物のほとんどはスーツケースに収まるほどだった。賞やその他の収入は、一般的に困っている人々や様々な価値ある目的のために寄付された。彼は人生の大半を世界中の科学会議、大学、同僚の家を行き来しながら過ごした。彼は客員講師として大学から十分な給与を稼ぎ、様々な数学賞から得た収入で旅費や基本的な生活費を賄い、余ったお金は「エルデシュの問題」(上記参照) の証明に対する賞金に充てた。彼は通常、同僚の家の玄関先に現れて「頭が空いた」と宣言し、数日後に次の場所へ移動するまで数本の論文で共同作業を行うのに十分な時間滞在した。多くの場合、彼は現在の共同作業者に次に誰を訪問するかを尋ねた。

同僚のアルフレッド・レーニは「数学者はコーヒーを定理に変える機械だ」と言った^[67]。エルデシュは大量のコーヒーを飲んだ。この引用はしばしばエルデシュのものと誤って言われるが^{[68] 、エルデシュ自身はレーニのものだと主張している[69]}。1971年に母親が亡くなった後、友人たちの心配を無視して、エルデシュは抗うつ剤とアンフェタミンを服用し始めた。友人の一人（ロン・グラハム）は、エルデシュが1ヶ月間服用を止められないと500ドル賭けた。エルデシュは賭けに勝ったが、それがパフォーマンスに影響したと不満を漏らした。「君は僕が中毒者ではないことを示した。でも仕事は何もできなかった。朝起きると真っ白な紙を見つめていた。普通の人と同じように、アイディアも浮かばなかった。君のせいで数学は1ヶ月遅れてしまった。」^[70]賭けに勝った後、彼はすぐにリタリンとベンゼドリンの使用を再開した。^[71]

彼には独特の語彙があり、不可知論者無神論者であったが[ 72 ^{] [73]、}神が数学定理の最も優れた、最もエレガントな証明を書き記した本を視覚化した「ザ・ブック」について語った。 ^[74] 1985年の講義で彼は「神を信じる必要はないが、ザ・ブックは信じるべきだ」と述べた。彼自身は神の存在を疑っていた。^{[75] [76]}彼は冗談で神をSF（「至高のファシスト」の略）と呼び、靴下とハンガリーのパスポートを隠し、最もエレガントな数学的証明を自分の中に留めていると非難した。特に美しい数学的証明を見ると、「これはザ・ブックからのものだ！」と叫んだものだった。これは後に「ザ・ブックからの証明」と題された本にインスピレーションを与えた。

エルデシュの語彙のその他の特異な要素としては、以下のものがある。^[71]

• 子供たちは「イプシロン」と呼ばれていました（数学、特に微積分学では、任意の小さな正の量がギリシャ文字の（ε）で表わされることが多いため）。
• 女性は「ボス」であり、男性と結婚することで彼らを「奴隷」として「捕らえる」存在だった。離婚した男性は「解放される」存在だった。
• 数学をやめた人は「死んだ」のに対し、亡くなった人は「去った」のです。
• アルコール飲料は「毒」でした。
• 音楽（クラシック音楽以外）は「ノイズ」でした。
• ハッカーとみなされるということは、「ニュートン」になることだった。
• 数学の講義をすることは「説教すること」でした。
• 数学の講義そのものが「説教」であった。^[77]
• 学生に口頭試験を課すことは彼らを「拷問する」ことだった。

彼は多くの国にニックネームを付けた。例えば、米国は「サムランド」（アンクル・サムにちなんで）^[71]、ソ連は「ジョードム」（ヨシフ・スターリンにちなんで） ^[71]であった。彼は、老齢（bud̩d̩hā）と愚かさ（buddhū ）という言葉がほとんど同じ発音であるため、ヒンディー語が最良の言語である と主張した。^[78]

エルデシュは「ポール・エルデシュPGOM」と署名した。60歳になると「LD」を追加し、65歳で「AD」、70歳で「LD」（再び）、75歳で「CD」となった^[78]。

• PGOMは「貧しい偉大な老人」を表現した
• 最初のLDは「リビングデッド」を表現した
• ADは「考古学的発見」を表した
• 2番目のLDは「法的に死亡」を表した
• CDは「Counts Dead」を収録^{[79] [80]}

エルデシュについては少なくとも3冊の本の題材となっている。2冊の伝記（ホフマンの『数字だけを愛した男』とシェクターの『私の脳は開いている』 、どちらも1998年出版）と、2013年にデボラ・ハイリグマンが書いた子供向けの絵本（『数学が大好きだった少年：ポール・エルデシュのありえない人生』）である。^[81]

ジョージ・チクセリーによる生前製作の伝記ドキュメンタリー映画『Nは数字：ポール・エルデシュの肖像』 [ ^82]でも彼は題材にされている。

2021年、小惑星405571（暫定的に2005 QE87と命名）はエルデシュを記念して正式に「エルデシュパル」と命名され、引用文ではエルデシュを「ハンガリーの数学者で、その仕事の多くは離散数学を中心としたものだった。彼の仕事は、数学の新しい分野を開発または探索するのではなく、以前に未解決だった問題を解決することに傾倒していた」と表現している。[ ^83]この命名は「K. Sárneczky、Z. Kuli」（Kuliは小惑星の発見者）によって提案された。

• ポール・エルデシュにちなんで名付けられたトピックのリスト – 予想、数字、賞、定理など
• 箱作りゲーム
• 被覆システム – 和集合がすべての整数を含む有限個の剰余類の集合フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 次元（グラフ理論）  - 空間における無向グラフの表現に関連する特性フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 偶回路定理 – 長さ 2𝑘 の単純閉路を持たない 𝑛 頂点グラフは O(𝑛¹⁺¹ꜘᵏ) 辺しか持てないという定理フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 友情グラフ – 頂点を共有する三角形のグラフ
• 最小重なり問題
• 確率的方法 – 数学的証明のための非構成的方法
• 確率的数論 – 数論のサブフィールド
• 火星人（科学者）  – 著名なハンガリーの科学者のグループ

• ブルーノ、レナード C. (2003) [1999].数学と数学者: 世界中の数学の発見の歴史. ベイカー、ローレンス W. デトロイト、ミシガン州: UX L. ISBN 978-0787638139. OCLC  41497065.
• シェクター、ブルース (1998)。『私の脳は開かれている: ポール・エルデシュの数学の旅』。ニューヨーク:サイモン & シュスター。ISBN 978-0-684-84635-4。
• Bollobás, Béla (1996年12月). 「数学の生涯 – ポール・エルデシュ、1913-1996」(PDF) . Focus . 16 (6). ワシントンD.C.:アメリカ数学協会:4 . 2022年5月6日閲覧。
• ホフマン、ポール（1998年）。『数字だけを愛した男：ポール・エルデシュの物語と数学的真実の探求』ロンドン：フォース・エステート社ISBN 978-1-85702-811-9。

• アイグナー、マーティン、ツィーグラー、ギュンター（ 2014）。THE BOOKからの証明。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー。doi ： 10.1007/978-3-662-44205-0。ISBN 978-3-662-44204-3。

ウィキメディア・コモンズには、ポール・エルデシュに関連するメディアがあります。

Wikiquoteにポール・エルデシュに関する引用があります。

• エルデシュさんの Google Scholar プロフィール
• エルデシュのほぼすべての論文を検索できるコレクション
• エルデシュが提唱した問題のデータベース
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「ポール・エルデシュ」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• 数学系譜プロジェクトのポール・エルデシュ
• オークランド大学のジェリー・グロスマン。エルデシュ数プロジェクト
• 数字だけを愛した男 – ポール・ホフマンによる王立協会公開講演（ビデオ）
• Radiolab: Numbers、ポール・エルデシュの物語付き
• ファン・チュン、「グラフ理論におけるポール・エルデシュの未解決問題」