ジョン・セルフリッジ

ジョン・セルフリッジ
ジョン・セルフリッジ
生まれる	1927年2月17日; ケチカン、アラスカ州、アメリカ合衆国
死亡	2010年10月31日（享年83歳）; イリノイ州ディカルブ、アメリカ合衆国
母校	カリフォルニア大学ロサンゼルス校
	科学者としてのキャリア
フィールド	解析的数論
機関	イリノイ大学アーバナ・シャンペーン校; ノーザンイリノイ大学
博士課程の指導教員	セオドア・モツキン

ジョン・ルイス・セルフリッジ（1927年2月17日 - 2010年10月31日^{[1] ）は、}解析数論、計算数論、組合せ論の分野に貢献したアメリカの数学者であった。

教育

セルフリッジは1958年にカリフォルニア大学ロサンゼルス校でセオドア・モツキンの指導の下、博士号を取得した。^[2]

キャリア

セルフリッジは1971年から1991年（退職）までイリノイ大学アーバナ・シャンペーン校とノーザンイリノイ大学（NIU）の教員を務め、1972年から1976年および1986年から1990年までNIU数学科学部の学部長を務めた。1978年から1986年までMathematical Reviewsの編集長を務め、同誌の業務のコンピュータ化を監督した。^[3]彼は数論財団の創設者でもあり、^{[4]同財団は}セルフリッジ賞を彼にちなんで名付けた。

研究

1962年、彼は78,557がシェルピンスキー数であることを証明した。つまり、k = 78,557のとき、 k 2 ⁿ + 1 の形式のすべての数は被覆集合{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}に因数を持つことを示した。5年後、彼とシェルピンスキーは78,557が最小のシェルピンスキー数であり、それがシェルピンスキー問題の答えであると予想した。分散コンピューティングプロジェクトであるSeventeen or Bustは、この主張の計算証明を見つけることに専念している。

1964年、セルフリッジとアレクサンダー・ハーウィッツは、14番目のフェルマー数が合成数であることを証明した。 ^[5] しかし、彼らの証明では因数は示されなかった。14番目のフェルマー数の最初の因数が発見されたのは2010年になってからだった。 ^[6]^[7] $2^{2^{14}}+1$

1975年にジョン・ブリルハート、デリック・ヘンリー・レーマー、セルフリッジはp − 1とp + 1 の部分因数分解のみを与えられた場合にpの素数性を証明する方法を開発しました。 ^[8]サミュエル・ワグスタッフとともに、彼らはカニンガムプロジェクトにも参加しました。

セルフリッジはポール・エルデシュとともに150年来の問題を解決し、連続する数の積がべき乗になることは決してないことを証明した。^[9]証明を見つけるのに何年もかかり、ジョンはコンピュータを多用したが、証明の最終版では、簡単に計算できる関数f(n)を30,000個の連続する nの値に対して評価するだけで、それほど多くの計算は必要なかった。セルフリッジは執筆の行き詰まりに悩まされ、「論文を再構成し、最終版にまとめてくれたRBエグルトンに感謝した」。^[9]

セルフリッジはまた、 3人の間で嫉妬のないケーキカットを行うためのセルフリッジ・コンウェイ離散手順も開発した。セルフリッジは1960年にこれを開発し、ジョン・コンウェイは1993年に独立してこれを発見した。二人ともその結果を公表することはなかったが、リチャード・ガイは1960年代に多くの人々にセルフリッジの解決策を伝え、最終的には多くの本や記事で二人の功績であるとされた。^[10]

フェルマー数に関するセルフリッジ予想

セルフリッジはフェルマー数 F _n = 2 ^{2 ⁿ} + 1について次のような予想を立てた。 g ( n ) をF _nの異なる素因数の数とする（ OEISのシーケンスA046052）。2024 に関しては、g ( n ) はn = 11までしか知られておらず、単調である。セルフリッジは、見かけに反してg ( n ) は単調ではないと予想した。彼は自分の予想を裏付けるために、その真偽の十分な（ただし必要ではない）条件として、既知の 5 つのフェルマー素数（3、5、17、257、65537）以外に別のフェルマー素数が存在することを示した。^[11]

素数判定に関するセルフリッジの予想

この予想は、セルフリッジ、カール・ポメランス、サミュエル・ワグスタッフにちなんで、PSW予想とも呼ばれています。

pを奇数（p ≡ ± 2 (mod 5)）とする。セルフリッジは、

2 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ) であり、同時に
f _{p +1} ≡ 0 (mod p )、

ここでf _kはk番目のフィボナッチ数、pは素数であり、彼はこれを反証する例に対して 500 ドルを提示しました。また、この予想が正しいという証明に対して 20 ドルを提示しました。数論財団がこの賞金を負担することになりました。例 1 つに対して実際には 620 ドルが得られます。これは、Samuel Wagstaff が例または証明に対して 100 ドルを提示し、Carl Pomerance が例に対して 20 ドル、証明に対して 500 ドルを提示しているためです。Selfridge は因数分解の提供を要求しますが、Pomerance はそうしません。関連するテストであるf _{p −1} ≡ 0 (mod p ) でp ≡ ±1 (mod 5) は偽であり、例えば 6 桁の反例があります。^[12]^[13] +1（mod 5）の最小の反例は6601 = 7 × 23 × 41であり、-1（mod 5）の最小の反例は30889 = 17 × 23 × 79である。ポメランスのヒューリスティックにより、この予想が誤りであることが示される可能性がある（したがって、反例が存在するはずである）ことは知られているはずである。

参照

参考文献

^ ab 「ジョン・セルフリッジ（1927–2010）」。DeKalb Daily Chronicle。2010年11月11日。 2010年11月13日閲覧。
^ 数学系譜プロジェクトのジョン・セルフリッジ
^ 「中国雑技団、昔ながらの醸造所、そして「切望されていたギャップ」：数学評論の生涯」（PDF）。ams.org。1997年3月1日。 2023年5月4日閲覧。
^ 「Math Times, Fall 2007」。2011年6月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。
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^ Rajala, Tapio (2010年2月3日). 「GIMPSの2番目のフェルマー因子！」2017年4月9日閲覧。
^ ケラー、ウィルフリッド。「フェルマー因数分解の状態」。 2017年4月11日閲覧。
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^ 素数: 計算の観点、リチャード・クランドールとカール・ポメランス、第 2 版、Springer、2011索引でセルフリッジ予想を調べてください。
^ ポメランスからのメールによると。
^ Carl Pomerance、Richard Crandall、「Prime Numbers: A Computational Perspective」、第2版、p. 168、Springer Verlag、2005年。

出版物

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[obit-1] 「ジョン・セルフリッジ（1927–2010）」。DeKalb Daily Chronicle。2010年11月11日。 2010年11月13日閲覧。

[2] 数学系譜プロジェクトのジョン・セルフリッジ

[3] 「中国雑技団、昔ながらの醸造所、そして「切望されていたギャップ」：数学評論の生涯」（PDF）。ams.org。1997年3月1日。 2023年5月4日閲覧。

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[product_of_consecutive_integers-9] Erdös, P.; Selfridge, JL (1975-06-01). 「連続する整数の積はべき乗にならない」. Illinois Journal of Mathematics . 19 (2). Duke University Press. doi : 10.1215/ijm/1256050816 . ISSN 0019-2082.

[10] Brams, Steven J.; Taylor, Alan D. (1996).公正な分割: ケーキカットから紛争解決までケンブリッジ大学出版局。pp. 116–120。ISBN 0521556449。

[11] 素数: 計算の観点、リチャード・クランドールとカール・ポメランス、第 2 版、Springer、2011索引でセルフリッジ予想を調べてください。

[12] ポメランスからのメールによると。

[13] Carl Pomerance、Richard Crandall、「Prime Numbers: A Computational Perspective」、第2版、p. 168、Springer Verlag、2005年。