モンティ・ホール問題

モンティ・ホール問題は、確率パズルの形で出題される頭の体操で、アメリカのテレビゲーム番組「レッツ・メイク・ア・ディール」に基づいており、その初代司会者モンティ・ホールにちなんで名付けられました。この問題は、1975年にスティーブ・セルビンがアメリカ統計学者に宛てた手紙の中で最初に提起され、解決されました。 ^{[1] [2]これは、1990年に}パレード誌のマリリン・ボス・サヴァントの「マリリンに聞く」コラムで引用された読者クレイグ・F・ウィテカーの手紙からの質問として有名になりました。^[3]

ゲーム番組に出演していて、3 つのドアから選択することになったとします。1 つのドアの後ろには車があり、他のドアの後ろにはヤギがいます。あなたがドアを 1 番とすると、ドアの後ろに何があるのか​​を知っている司会者が、ヤギがいる別のドアを 3 番とすると開きます。司会者は次に、「ドア 2 番を選びますか?」と尋ねます。選択を変えることはあなたにとって有利でしょうか?

サヴァントの回答は、出場者は他のドアに切り替えるべきだというものだった。^[3]標準的な仮定によれば、切り替え戦略には⁠2/3⁠車を獲得する 確率は、最初の選択を維持する戦略ではわずか⁠1/3⁠確率。

プレイヤーが最初に選択を行うとき、⁠2/3⁠選ばれなかったドアの後ろに車がある確率。この確率は、ホストが選ばれなかったドアの後ろにヤギがいることを明かしても変わりません。ホストが選ばれなかった2つのドアに関する情報を提供すると（そのうちの1つのドアの後ろに車がないことを明かすと）、⁠2/3⁠選ばれなかったドアの後ろに車がある可能性は、⁠ではなく、選ばれなかった、明らかにされていないドアにかかっています。1/3⁠出場者が最初に選んだドアの後ろに車がある確率。

与えられた確率は、司会者と出場者がドアを選択する方法に関する特定の仮定に依存します。重要な洞察は、これらの標準条件では、ドア 2 と 3 については、ゲーム開始時にプレーヤーがドア 1 を選択した時点で得られた情報よりも多くの情報があるということです。司会者の行動は、排除されなかったドアに価値を追加しますが、出場者が最初に選択したドアには価値を追加しません。もう 1 つの洞察は、ドアを切り替えることは、残りの 2 つのドアをランダムに選択することとは異なる行動であるということです。前者の行動は以前の情報を使用しますが、後者は使用しません。説明されているもの以外の司会者の可能性のある行動は、異なる追加情報を明らかにするか、まったく明らかにせず、異なる確率をもたらす可能性があります。

サヴァントは次のような直感的な応答を提供します

ドアが 100 万個あって、あなたがドア #1 を選んだとします。すると、ドアの後ろに何があるのか​​を知っていて、賞品のあるドアを常に避ける主催者は、ドア #777,777 以外のドアをすべて開きます。あなたはすぐにそのドアに切り替えるでしょう。

サヴァントのコラムの読者の多くは、切り替えが有益であると信じることを拒否し、彼女の説明を拒否した。問題がParadeに掲載された後、約 10,000 人の読者(博士号を持つ 1,000 人近くを含む) が雑誌に手紙を送り、そのほとんどはサヴァントを間違っていると非難した。^[4]説明、シミュレーション、正式な数学的証明が示されても、多くの人々は依然として切り替えが最善の戦略であることを認めなかった。^{[5]歴史上最も多作な数学者の 1 人である} ポール・エルデシュは、サヴァントの予測結果を示すコンピューターシミュレーションを見せられるまで納得しなかった。 ^[6]

この問題は真実型のパラドックスです。なぜなら、その解決法は直感に反しすぎて不合理に思えるかもしれませんが、それでも明らかに真実だからです。モンティ・ホール問題は、数学的には、以前の三人の囚人問題や、それよりずっと古いベルトランの箱のパラドックスと密接に関連しています。

スティーブ・セルビンは1975年にAmerican Statisticianに手紙を書き、ゲーム番組Let's Make a Dealに基づいた問題を説明し、^[1]その後の手紙でそれを「モンティ・ホール問題」と名付けました。^[2]この問題は、1959年にScientific Americanに掲載されたマーティン・ガードナーの「数学ゲーム」コラムで説明されている3人の囚人問題^{[7]や、ガードナーの著書}Aha Gotchaで説明されている3つの貝殻問題と数学的に同等です。^[8]

標準的な仮定によれば、乗り換え後に車が当たる確率は⁠2/3この解決法はホストの振る舞いによるものです。Parade版の曖昧さはホストのプロトコルを明示的に定義していません。しかし、Whitakerの質問の横に印刷されているMarilyn vos Savantの解決法[ ^3]は、次のようにホストの役割を暗示しており、Selvin ^[1]とSavant ^[5]は両方ともホストの役割を明示的に定義しています。

1. 司会者は出場者が選ばなかったドアを必ず開けなければならない。^[9]
2. ホストはドアを開けると必ずヤギが現れ、車が現れてはいけません。
3. ホストは、最初に選択されたドアと閉じられたままのドアを切り替える機会を常に提供する必要があります。

これらの仮定のいずれかが変化すると、以下のセクションで詳述するように、ドアを切り替えることで勝つ確率が変わる可能性があります。また、通常は、車は最初はドアの後ろにランダムに隠されており、プレーヤーが最初に車を選択した場合、ホストがどのヤギの隠れたドアを開くかの選択はランダムであると想定されます。^[10]一部の著者は、独立してまたは包括的に、プレーヤーの最初の選択もランダムであると想定しています。^[1]

サヴァントがパレードで提示した解決策は、3つのドアの後ろに1台の車と2匹のヤギがいる3つの可能な配置と、それぞれの場合で最初にドア1を選んだ後にドアをそのままにするか切り替えるかの結果を示しています。^[11]

最初の選択を維持するプレイヤーは、これら同等に起こりうる可能性のうち 3 つのうち 1 つだけ勝ちますが、選択を変更したプレイヤーは 3 つのうち 2 つで勝ちます。

直感的な説明としては、出場者が最初にヤギ（3つのドアのうち2つ）を選んだ場合、もう1つのヤギは選べなくなるため（司会者がその位置を明らかにする必要がある）、出場者は切り替えによって車を獲得するが、出場者が最初に車（3つのドアのうち1つ）を選んだ場合、出場者は切り替えによって車を獲得することはない、というものである。 ^[12]切り替え戦略を使用すると、勝敗は出場者が最初にヤギを選んだかどうか（⁠2/3⁠ 確率）または車（⁠1/3⁠ 確率）。ホストがその後、選択されなかったドアの1つにヤギが現れたとしても、最初の確率は変わりません。^[13]

ほとんどの人は、2つの未開のドアのどちらかの後ろに車がある確率は50%なので、切り替えは重要ではないと結論付けます。これは、ホストがランダムに開くドアを選択した場合に当てはまりますが、そうではありません。ホストが開くドアはプレーヤーの最初の選択に依存するため、独立性の仮定は成り立ちません。ホストがドアを開く前に、⁠1/3⁠車が各ドアの後ろにいる確率。車がドア 1 の後ろにいる場合、ホストはドア 2 またはドア 3 のいずれかを開けることができるため、車がドア 1 の後ろにあり、ホストがドア 3 を開ける確率は⁠1/3⁠ × ⁠1/2⁠ = ⁠1/6⁠。車がドア2の後ろにあり、プレイヤーがドア1を選んだ場合、ホストはドア3を開ける必要があります。そのため、車がドア2の後ろにあり、ホストがドア3を開ける確率は⁠1/3⁠ × 1 = ⁠1/3⁠。これらはホストがドア 3 を開ける唯一のケースなので、プレイヤーがドア 1 を選び、ホストがドア 3 を開けた場合、ドア 2 の後ろに車がある可能性はドア 1 の 2 倍になります。重要なのは、車がドア 2 の後ろにあればホストはドア 3 を開けなければならないが、車がドア 1 の後ろにあればホストはどちらのドアも開けられるということです。

解決法を理解する別の方法は、プレイヤーが最初に選択しなかった2つのドアを一緒に考えることです。^{[14] [15] [16] [17] [18]}セシル・アダムズが言うように、^{[14] 「モンティは実質的に、1つのドアを維持するか、他の2つのドアを手に入れることができると言っている}」。2/3⁠これらのドアの 1 つを開けても、車を見つける可能性は変わりません。なぜなら、車の場所を知っているモンティは、ヤギを必ず見つけるからです。ホストがドアを開けた後のプレイヤーの選択は、ホストがプレイヤーに、最初に選んだドアから残りの2 つのドアのセットに切り替えるオプションを提供した場合と何ら変わりません。この場合の切り替えは、明らかにプレイヤーに ⁠ を与えます。2/3⁠車を選択する確率。

キース・デブリンはこう言っている。^[15] 「モンティはドアを開けることで、出場者に『あなたが選ばなかったドアが2つあり、そのうちの1つの後ろに賞品がある確率は、2/3⁠。賞品がどこにあるかという私の知識を使って、2 つのドアのうちの 1 つを開け、そのドアに賞品が隠されていないことをお見せしましょう。これで、この追加情報を活用できます。ドア A を選択した場合、当選確率は 3 分の 1 です。これは変更していません。ただし、ドア C を除外することで、ドア B に賞品が隠されている確率は 3 分の 2 であることをお見せしました。 」

サバントは、ドアが 3 つではなく 1,000,000 個ある方が、より直感的に解決できると示唆している^[3]。この場合、ヤギのいるドアが 999,999 個あり、賞品のあるドアが 1 つある。プレイヤーがドアを 1 つ選んだ後、ホストは残りのドアのうち 999,998 個を開ける。平均すると、1,000,000 回のうち 999,999 回、残りのドアに賞品がある。直感的に、プレイヤーは、100 万個のドアが与えられた場合、最初に正しいドアを選んだ可能性はどのくらいあるかと自問するはずである。スティベルらは、モンティ ホール問題ではワーキング メモリの需要が高まり、人々は選択肢を 2 つの同等の確率の選択肢に「縮小」せざるを得なくなると提案した。彼らは、選択肢の数が 7 個を超えると、人々はより頻繁に選択肢を切り替える傾向があると報告しているが、それでもほとんどの参加者は成功の確率を 50% と誤って判断している。^[18]

サヴァントはモンティ・ホール問題に関する最初のコラムで、プレイヤーは交代すべきだと書いた。 ^[3]彼女は読者から何千通もの手紙を受け取ったが、その多くは博士号を持つ読者も含め、彼女の答えに反対していた。1990年から1991年にかけて、彼女はパレード誌でさらに3つのコラムをこのパラドックスに捧げた。^{[19]サヴァントのコラムの読者からの手紙の例は数多く、}モンティ・ホール問題：卓越した認知的錯覚で紹介され、議論されている。^[20]

この議論は他の場でも取り上げられ（例えば、セシル・アダムスの新聞コラム「The Straight Dope」 ^{[14] ）、}ニューヨーク・タイムズなどの主要新聞でも報道された。^[4]

彼女は答えを明確にするために、貝殻ゲーム^[8]を提案しました。「あなたは目をそらします。私は3つの貝殻のうちの1つの下にエンドウ豆を置きます。次に、指を貝殻の上に置くようにお願いします。あなたが選んだ貝殻にエンドウ豆が入っている確率は⁠1/3⁠、同意しますか？それから、残りの2つから空の貝殻を持ち上げます。あなたが何を選択したかに関係なくこれを行うことができるので（そしてそうします）、指の下にある貝殻の確率を修正できるようにするために私たちは何も学んでいません。」彼女はまた、3枚のトランプを使った同様のシミュレーションを提案しました。

サヴァントは、一部の読者が、司会者は必ずヤギを明かすはずだと想定しなければならないことに気付かなかったために多少の混乱が生じたが、彼女の多数の通信者のほぼ全員が問題の想定を正しく理解しており、当初はサヴァントの答え（「スイッチ」）が間違っていると確信していたとコメントした。

モンティ・ホール問題が初めて提示されたとき、圧倒的多数の人々は、各ドアの確率は等しいと仮定し、切り替えても問題ないと結論付けます。^[9]ある研究では、228人の被験者のうち、切り替えを選んだのはわずか13%でした。^[21]認知心理学者のマッシモ・ピアテッリ・パルマリーニは著書『論理的思考の力』 [ ^22]  で、「これほど常にすべての人を騙せる統計パズルは他にない。ノーベル物理学者でさえ、常に間違った答えを出し、それを主張し、正しい答えを提案する人々を印刷物で叱責する用意がある」と書いています。この問題に繰り返しさらされたハトは、人間とは異なり、常に切り替えることを急速に学習することが示されています。^[23]

この問題のほとんどの記述、特に『パレード』の記述は、実際のゲーム番組のルールと一致しておらず^[10]、司会者の行動や車の位置がランダムに選択されることを完全には指定していない。^{[21] [4] [24]}しかし、クラウスとワンは、明示的に述べられていなくても人々は標準的な仮定を立てると主張している。^[25]

これらの問題は数学的に重要であるが、これらの要因をコントロールしたとしても、ほとんどの人は、開かれていない2つのドアのそれぞれに等しい確率があると考えており、切り替えは重要ではないと結論付けている。^[9]この「等しい確率」という仮定は、深く根付いた直感である。^[26]人々は、実際にそうであるかどうかにかかわらず、存在する未知数の数だけ確率が均等に分布していると考える傾向が強い。^[27]

この問題は認知心理学者の注目を集め続けています。大多数の人の典型的な行動、つまり切り替えないという行動は、心理学の文献で次のように知られている現象によって説明できます。

1. 保有効果[ ^28]とは、人々がすでに選んだ、つまりすでに「所有」しているドアの当選確率を過大評価する傾向があることである。
2. 現状維持バイアス^[29]とは、人々がすでに選択したドアを維持することを好むバイアスのことである。
3. 省略エラー対実行エラー効果^[30]では、他のすべての条件が同じであれば、人々は行動（Switch）ではなく不作為（Stay）によってエラーを起こすことを好む。

実験的証拠は、これらが確率の直感に依存しないもっともらしい説明であることを確認している。^{[31] [32]}もう一つの可能​​性は、人々の直感が単に教科書的な問題ではなく、実際のゲームショーの設定を扱っているということである。^[33]そこでは、ショーマスターが、車のあるドアが最初に選択された場合にのみ他のドアを開けるという不正行為を行う可能性がある。ショーマスターが半分の回数で不正行為を行うと、「等確率」に切り替えるように提案された場合に勝つチャンスが変わる。

すでに述べたように、多くの入門用確率教科書を含む確率に関するほとんどの情報源は、車がドア1の後ろにあり、ドア2が次の条件付き確率であることを示すことによって問題を解きます。1/3⁠と⁠2/3⁠（⁠ではない）1/2⁠と⁠1/2⁠）出場者が最初にドア1を選び、司会者がドア3を開けると仮定します。この結果を導き出し、理解するためのさまざまな方法が前のサブセクションで示されました。

これらの情報源の中には、一般に提示されている「単純な」解決策を明確に批判するものがいくつかあり、これらの解決策は「正しいが…不安定である」^[34] 、または「提起された問題に対処していない」^[35]、または「不完全である」 ^[36]、または「説得力がなく誤解を招く」^[37]、または（最も率直に言って）「間違っている」^{[38]と述べています。}

サーシャ・ヴォロク（2015）は、「『ドア1の確率は⁠1/3「 確率は世界についての私たちの無知の表現であり、新しい情報は私たちの無知の程度を変えることができる」という主張は自動的に疑わしい。[ ^39]

これらの解決策は少し異なる質問に答えていると主張する人もいます。1つの言い回しは「ドアが開かれる前に、切り替える予定があるかどうかを発表する必要がある」というものです。^[40]

単純な解決策は、さまざまな方法で、乗り換えを決意した競技者が車を獲得する確率を示しています。2/3⁠、したがって、プレイヤーが「常に切り替える」か「常に留まる」かを事前に選択する必要がある場合、切り替えが勝利戦略であることがわかります。ただし、常に切り替えることで勝つ確率は、プレイヤーがドア1を選択し、ホストがドア3を開けた場合に切り替えて勝つ確率とは論理的に異なる概念です。ある情報源によると、「[これらの質問]の違いは多くの人を困惑させているようです」。^[38]これらが異なるという事実は、問題を変化させて、これら2つの確率が異なる数値を持つようにすることで示されます。たとえば、モンティがすべての合法的な選択肢の中から2番目のドアをランダムに開けるのではなく、2つの負けるドアから選択する機会が与えられた場合、モンティは右側のドアを開けることを出場者が知っていると仮定します。この状況では、次の2つの質問の答えは異なります。

1. 常に切り替えることで車に勝つ確率はどれくらいでしょうか?
2. プレイヤーがドア 1 を選び、ホストがドア 3 を開けた場合、切り替えによって車を獲得する確率はどれくらいですか?

最初の質問の答えは⁠2/3⁠、これは「単純な」解決策によって正しく示されています。しかし、2番目の質問に対する答えは異なります。ホストがドア3（右側のドア）を開けた場合、車がドア1またはドア2の後ろにある条件付き確率は⁠1/2⁠。これは、モンティが最も右端のドアを好むため、車がドア1の後ろにある場合（元々確率 ⁠ でドア1の後ろにある場合）、彼はドア3を開けることになるからです。1/3⁠）または車がドア2の後ろにある場合（これも元々確率⁠1/3⁠）。このバリエーションでは、2 つの質問の答えが異なります。これは、2 番目の質問の想定条件 (ホストがドア 3 を開ける) がこのバリエーションでのみ発生する確率が ⁠ であるためです。2/3⁠。ただし、車が各ドアの後ろにある初期確率が⁠1/3⁠ 、切り替えることで勝つ条件付き確率は常に少なくとも⁠であるため、切り替えが競技者にとって不利になることは決してありません。1/2⁠ . ^[38]

^{モーガンら[38]}では、4人の大学教授がアメリカ統計学者誌に論文を発表し、サヴァントは正しいアドバイスをしたが、議論は間違っていたと主張した。彼らは、プレイヤーが最初にドア1を選び、ゲームホストがドア3を開けた場合に、ドア2の後ろに車がある確率を問う質問だと信じ、この確率は⁠1/2⁠そして1は、選択肢が与えられたホストの意思決定プロセスに依存します。決定が完全にランダム化された場合にのみ、チャンスは⁠2/3⁠ .

招待されたコメント^[41]とその後の編集者への手紙^{[42] [43] [44] [45]}で、 Morganらは一部のライターから支持され、他のライターからは批判された。いずれの場合も、Morganらによる回答がThe American Statisticianに手紙やコメントと一緒に掲載されている。特に、Savant は激しく自己弁護した。MorganらはSavant への回答^[42]で、Savant がまだ自分たちの主張に実際には回答していないと不満を述べた。その後、Hogbin と Nijdam への回答^[45]では、ホストが選択権を持っている場合は完全にランダムに開くドアを選択するのが自然であり、したがって切り替えによる勝利の条件付き確率 (つまり、プレイヤーが選択を迫られている状況で条件付き) は同じ値を持つことに同意した。2/3⁠、切り替えによる勝利の無条件確率（つまり、すべての可能な状況の平均）として。この等式は、すでにベル（1992）によって強調されており、ベルは、モルガンらの数学的に複雑な解決策は統計学者にしか魅力的ではないが、対称性の場合の条件付きソリューションと無条件ソリューションの同等性は直感的に明らかであると示唆しました。

Paradeで提示された Savant の問題の定式化が最初の質問をしているのか、それとも 2 番目の質問をしているのか、またこの違いが重要なのかどうかについては、文献の中で意見の相違がある。^[46] Behrends は、「両方の分析が正しいかどうかを確認するには、この問題を注意深く検討する必要がある」と結論付けているが、これは両者が同じであると言っているのではない。^[47] Morgan らの論文 [38] に対する批評家数名は、^その寄稿が元の論文と一緒に出版され、著者らが Savant の言葉遣いを変え、彼女の意図を誤解していると批判した。^[46]討論者の 1 人 (William Bell) は、(標準条件により)ホストによってどのドアが開かれるかは、切り替えたいかどうかとは無関係であると明示的に述べるかどうかは好みの問題だと考えた。

単純な解決法の中では、「ドアの組み合わせによる解決法」が条件付き解決法に最も近いものです。これは、オッズの概念とベイズの定理を使用する方法の説明で見たとおりです。これは、すでにわかっている情報を明らかにしても確率には影響しないという、深く根付いた直感に基づいています。しかし、ホストが選択していない 2 つのドアのうちの 1 つを開けてヤギを見せることができるとわかっていても、特定のドアを開けても、最初に選択したドアの後ろに車がある確率には影響しないというわけではありません。重要なのは、ホストがドアを開けてヤギを見せることは事前にわかっていても、どのドアを開けるかはわからないということです。ホストがヤギが隠れているドアを一様にランダムに選択する場合 (標準的な解釈の場合のように)、この確率は確かに変わりませんが、ホストがそのようなドアをランダムに選択できない場合、ホストが開ける特定のドアから追加情報が明らかになります。ホストはいつでもドアを開けてヤギを見せることが可能であり、（問題の標準的な解釈では）最初に選んだドアの後ろに車がある確率は変化しないが、前者だから後者が真であるわけではない。ホストの行動は車が最初に選んだドアの後ろにある確率に影響を与えないという主張に基づく解決法は説得力があるように見えるが、ホストが選択できる場合、2つの選択肢の両方が等しく起こりそうでない限り、その主張は単純に正しくない。^[48]したがって、主張は正当化される必要がある。正当化が与えられなければ、解決法はせいぜい不完全なものになる。答えは正しいが、それを正当化するために使用された推論に欠陥があるという場合もある。

上記の簡単な解は、切り替え戦略を持つプレイヤーが全体的な確率で車を獲得することを示しています⁠2/3⁠、つまり、ホストがどのドアを開けたかは考慮しません。^{[49] [13]}これに従って、確率に関するほとんどの情報源は、車がドア1とドア2の後ろにある条件付き確率を次のように計算します。 ⁠1/3⁠と⁠2/3⁠それぞれ、出場者が最初にドア1を選び、司会者がドア3を開けると仮定します。 ^{[2] [38] [50] [35] [13] [49] [36]}このセクションの解答では、プレイヤーがドア1を選び、司会者がドア3を開けた場合のみを考慮します。

選択肢が与えられたときにホストがランダムにドアを開けると仮定すると、ホストがどのドアを開けるかは、ドア1の後ろに車があるかどうかについて全く情報を与えません。単純な解決策では、プレイヤーが最初に選択したドアであるドア1の後ろに車がある確率は、最初は⁠1/3さらに、ホストは必ず（別の）ドアを開けるので、ドア（どのドアかは未指定）を開けても、これは変わりません。⁠1/3⁠ は、ホストがドア 2 を選んだ場合に車がドア 1 の後ろにある確率と、ホストがドア 3 を選んだ場合に車がドア 1 の後ろにある確率の平均でなければなりません。これは、これらが 2 つの可能性しかないためです。ただし、これら 2 つの確率は同じです。したがって、どちらも⁠に等しくなります。1/3⁠ . ^[38]これは、プレイヤーが最初にこのドアを選択し、ホストがドア3を開けた場合、車がドア1の後ろにある確率が次のようになることを示しています。 ⁠1/3⁠、プレイヤーが最初にドア1を選択し、ホストがドア3を開いた場合、車がドア2の後ろにある確率は⁠となります。2/3⁠ 。分析では、 ⁠の全体的な成功率も示されています。2/3⁠は常に切り替えることによって達成され、改善することはできず、すでに直感的に明らかであったであろうことを強調しています。つまり、プレイヤーが直面している選択は、最初に選択されたドアと、ホストによって閉じられたままになっているもう一方のドアとの間で、これらのドアの特定の番号は無関係であるということです。

定義により、競技者が最初にドア1を選び、司会者がドア3を開けた場合の切り替えによる勝利の条件付き確率は、「車がドア2の後ろにあり、司会者がドア3を開ける」という事象の確率を「司会者がドア3を開ける」確率で割ったものである。これらの確率は、以下の条件付き確率表、または同等の決定木を参照して決定することができる。^{[50] [13] [49]}切り替えによる勝利の条件付き確率は⁠1/3/1/3 + 1/6⁠、これは⁠2/3⁠ . ^[2]

以下の条件付き確率表は、プレイヤーが最初にドア 1 を選択する 300 のケースが、車の位置とホストが開くドアの選択に応じて平均的にどのように分割されるかを示しています。

確率論の分野における多くの確率の教科書や論文では、ベイズの定理を正式に応用して条件付き確率の解を導出している。その中にはギル^{[51]やヘンツェ[52]}の著書も含まれる。ベイズの定理のオッズ形式（ベイズの定理とも呼ばれる）を使用すると、このような導出がより明確になる。^{[34] [53]}

最初は、車が 3 つのドアのいずれの後ろにも等しくある可能性が高くなります。ドア 1、ドア 2、ドア 3 のオッズは1 : 1 : 1です。これは、プレーヤーが独立性によりドア 1 を選択した後も当てはまります。ベイズの法則によれば、ホストがドア 3 を開けた場合の車の場所の事後オッズは、事前オッズにベイズ係数または尤度を掛けたものに等しくなります。ベイズ係数または尤度は、定義により、検討された各仮説 (車の場所) の下での新しい情報 (ホストがドア 3 を開ける) の確率です。プレーヤーが最初にドア 1 を選択したので、ホストがドア 3 を開ける可能性は、車がドア 1 の後ろにあれば 50%、車がドア 2 の後ろにあれば 100%、車がドア 3 の後ろにあれば 0% です。したがって、ベイズ係数は、次の比率で構成されます⁠1/2⁠  : 1 : 0または同等の1 : 2 : 0ですが、事前オッズは1 : 1 : 1でした。したがって、事後オッズはベイズ係数1 : 2 : 0に等しくなります。ホストがドア 3 を開けたことを考えると、車がドア 3 の後ろにある確率は 0 であり、ドア 2 の後ろにある可能性はドア 1 の 2 倍です。

リチャード・ギル^[54]は、ホストがドア3を開ける可能性を次のように分析しています。車がドア1の後ろにない場合、ドア2またはドア3の後ろにある可能性は同程度です。したがって、ホストがドア3を開ける可能性は50%です。車がドア1の後ろにあれば、ホストがドア3を開ける可能性も50%です。これは、ホストに選択肢がある場合、どちらの選択も同程度に起こり得るからです。したがって、車がドア1の後ろにあろうとなかろうと、ホストがドア3を開ける可能性は50%です。「ホストがドア3を開ける」という情報は、車がドア1の後ろにあろうとなかろうと、ベイズ係数または尤度比1 : 1に寄与します。当初、ドア1に車が隠れている可能性に対するオッズは2 : 1でした。したがって、ドア1に車が隠れている可能性に対する事後オッズは、事前オッズと同じ2 : 1のままです。

言葉で言えば、ホストがどのドアを開けるかという情報（ドア2かドア3か？）は、車がドア1の後ろにあるのかないのかという情報はまったく明らかにせず、これはまさに、単純な解決法の支持者によって直感的に明らかであると主張したり、数学的証明の慣用句を使って「対称性によって明らかに真実である」と主張したりしているものである。 ^[44]

^{ネイレバフ[55]}に戻ると、モンティ・ホール問題はゲーム理論と意思決定理論の文献でも盛んに研究されており、この観点に対応する一般的な解決策もいくつかある。サバントが求めるのは決定であり、偶然ではない。そして、車がどのように隠されているか、選択されていないドアがどのように開くかという偶然の側面は不明である。この観点から、プレイヤーには選択を行う機会が2つあることを覚えておく必要がある。まず、最初にどのドアを選択するか、そして次に、ドアを切り替えるかどうかである。プレイヤーは車がどのように隠されているか、司会者がどのように選択するかを知らないため、最初の選択の機会を利用して、司会者を含むクイズ番組を運営するチームの行動をいわば無力化できる可能性がある。

ギルによれば、^[56]出場者の戦略には、ドアの最初の選択と、最初に選択したドアと、司会者が切り替えを提案したドアの両方に依存する可能性のある、切り替える（または固執する）という 2 つの行動が含まれます。たとえば、ある出場者の戦略は、「ドア 1 を選択し、ドア 2 を提案されたら切り替え、ドア 3 を提案されたら切り替えない」というものです。出場者のこのような決定論的戦略は 12 種類存在します。

出場者の戦略を初歩的に比較すると、あらゆる戦略 A に対して、それを支配する別の戦略 B「ドアを選んで何が起ころうとも切り替える」が存在することがわかります。^[57]車がどのように隠されているかに関係なく、司会者が 2 匹のヤギから選択する際にどのルールを使用するかに関係なく、A が車を勝ち取った場合、B も勝ちます。たとえば、戦略 A「ドア 1 を選んで常にそれに固執する」は、戦略 B「ドア 2 を選んで司会者がドアを公開した後常に切り替える」に支配されます。ドア 1 に車が隠されている場合は A が勝ち、ドア 1 または 3 のいずれかに車が隠されている場合は B が勝ちます。同様に、戦略 A「ドア 1 を選んでドア 2 に切り替える (提供されている場合) が、ドア 3 には切り替えない (提供されている場合)」は、戦略 B「ドア 2 を選んで常に切り替える」に支配されます。ドア 1 に車が隠されていて、モンティがドア 2 を開くことを選択するか、ドア 3 に車が隠されている場合は A が勝ちます。戦略 B は、ドア 1 またはドア 3 のいずれかに車が隠されている場合に勝ちます。つまり、A が勝つ場合に加えて、ドア 1 に車が隠されていて、モンティがドア 3 を開けることを選択した場合に勝ちます。

優位性は、出場者が決定を下す環境に関するかなり一般的な仮定の下で、常に切り替えられる戦略の中から解決策を探す強力な理由です。特に、対称または非対称の 3 面サイコロを投げるなど、何らかのランダム化デバイスによって車が隠されている場合、優位性は、車を獲得する確率を最大化する戦略が 3 つの常に切り替えられる戦略の中に含まれることを意味します。つまり、最初に最も可能性の低いドアを選択し、次にホストがどのドアを切り替えるかに関係なく切り替える戦略になります。

戦略的優位性はモンティ・ホール問題とゲーム理論を結び付ける。ギルのゼロサムゲーム設定^[56]では、非スイッチング戦略を捨てることで、ゲームは次の単純なバリエーションに簡略化される。司会者（またはテレビチーム）が車を隠すドアを決定し、出場者は2つのドア（つまり、プレーヤーの最初の名目上の選択の後に残っている2つのドア）を選択する。出場者が選んだ2つのドアのいずれかの後ろに車があれば、出場者は勝ち（対戦相手は負け）となる。

標準的な仮定のもとでスイッチング戦略が実際に3回のうち2回勝つことを証明する簡単な方法は、トランプを使ってゲームをシミュレートすることです。^{[58] [59]}通常のデッキから3枚のカードを使用して3つのドアを表します。1枚の「特別な」カードは車のドアを表し、他の2枚のカードはヤギのドアを表します。

シミュレーションを数回繰り返して、ゲームの複数のラウンドをシミュレートできます。プレーヤーは 3 枚のカードのうち 1 枚を選び、残りの 2 枚のカードを見て、「ホスト」はヤギのカードを捨てます。ホストの手に残っているカードが車のカードである場合、これはスイッチング勝利として記録されます。ホストがヤギのカードを持っている場合、ラウンドはステイ勝利として記録されます。この実験が数ラウンドにわたって繰り返されると、各戦略の観測された勝率は、大数の法則に従って、理論上の勝利確率に近づく可能性が高くなります。

繰り返しプレイすることで、なぜ切り替えがより良い戦略なのかがより明確になります。プレイヤーがカードを選んだ後、切り替えることでプレイヤーがラウンドに勝つかどうかはすでに決まっています。これが納得できない場合は、デッキ全体でシミュレーションを行うことができます。^{[58] [14]}このバリアントでは、車のカードは52回中51回ホストに行き、車以外のカードが何枚捨てられてもホストに残ります。

この問題の一般的な変種は、複数の学術著者によって標準的な問題として想定されているが、ホストが開けるドアを一様に選択しなければならないという単純化された仮定は行わず、代わりにホストが他の戦略を使用するという仮定を行っている。どの形式化が権威あるものであるかについての混乱は、特にこの変種がプレイヤーにとっての常時切り替え戦略の最適性を変えずに証明をより複雑にするため、かなりの辛辣さを招いている。この変種では、プレイヤーはホストの観察された選択に応じて異なる勝利確率を持つ可能性があるが、いずれにしても切り替えによる勝利の確率は少なくとも⁠1/2⁠（そして1まで高くなることもあります）一方、切り替えによる全体的な勝利の確率は依然として正確に⁠2/3⁠ . これらの変種は、確率論やゲーム理論の基礎を教えることを目的とした教科書や論文の中で、次々に紹介されることがあります。また、他の一般化についても、かなりの数が研究されてきました。

1990年にパレード誌に掲載されたモンティ・ホール問題のバージョンでは、ホストが常に別のドアを開けるとか、常に切り替えの選択肢を提示するとか、あるいは車が出てくるドアを開けないということは特に述べられていなかった。しかし、サヴァントは2回目のフォローアップコラムで、意図されたホストの行動が、⁠2/3⁠確率は彼女が当初の答えとして挙げたものです。「それ以外は別の問題です。」^[5]「私の批評家はほぼ全員が意図されたシナリオを理解しました。私は個人的に約3,000通の手紙を読みました（届いた何千通もの追加の手紙のうち）が、ほぼ全員が、2つの選択肢（または同等の誤り）が残っているので、可能性は500倍であると主張していることがわかりました。曖昧さについて疑問を呈した手紙はほとんどなく、実際にコラムに掲載された手紙はそれらの数少ない手紙の中に含まれていませんでした。」^[60]答えは、車がランダムにドアの後ろに配置されている場合、ホストはプレーヤーの最初の選択に関係なく、ヤギが現れるドアを開けなければならず、2つのドアが利用可能な場合は、ランダムにどちらかを選択します。^[9]以下の表は、他のさまざまなホストの可能性のある動作と、切り替えの成功への影響を示しています。

ホストが従わなければならない他の一連のルールの範囲内でプレイヤーの最善の戦略を決定することは、ゲーム理論で研究されるタイプの問題です。たとえば、ホストが交換の提案をする必要がない場合、プレイヤーはホストが悪意を持っていて、プレイヤーが最初に車を選択した場合に提案をより頻繁に行うのではないかと疑う可能性があります。一般に、この種の質問に対する答えは、ホストの行動に関する特定の仮定に依存し、「ホストを完全に無視する」から「コインを投げて表が出たら交換する」までの範囲になります。下の表の最後の行を参照してください。

モーガンら^[38]とギルマン^[35]はどちらも、より一般的な解決策を示しています。この解決策では、車は（一様）ランダムに配置されますが、プレイヤーが最初に車を選択した場合、ホストは一様ランダムに選択する必要はありません。これは、著者の免責事項にもかかわらず、両者ともパレードの問題の記述をそのように解釈しています。両者とも、問題を再述したときにその点を強調するためにパレード版の文言を変更しました。彼らは、ホストが2匹のヤギを明らかにすることを選択するシナリオを検討しています。その選択は、0から1の間の値を持つ確率qとして表されます。ホストがランダムにqを選択した場合、qは⁠1/2⁠そしてスイッチングは確率的に勝つ⁠2/3⁠ホストがどのドアを開けるかに関係なく。プレイヤーがドア1を選び、ホストのドア3に対する好みがqの場合、ホストがドア3を開けて車がドア2の後ろにある確率は⁠1/3⁠、ホストがドア3を開けて車がドア1の後ろにある確率は⁠q/3⁠。これらはホストがドア3を開ける唯一のケースなので、ホストがドア3を開けた場合にスイッチすることで勝つ条件付き確率は⁠1/3/1/3 + q /3⁠それを単純化すると⁠1/1 + q⁠ 。qは0から1の間で変化するので、この条件付き確率は⁠の間で変化する。1/2⁠および 1. これは、プレイヤーが最初に車を選択した場合、ホストがランダムに選択するように制約しなくても、プレイヤーが切り替えた方が不利になることはないことを意味します。ただし、どちらの情報源も、プレイヤーがqの値を知っていることを示唆していないため、プレイヤーは⁠以外の確率を割り当てることはできません。2/3⁠サヴァントはそれが暗黙的であると想定しました。

DL Ferguson (1975 年 Selvin 宛の手紙^[2] )は、元の問題のNドア一般化を提案しており、ホストはp 個の負けドアを開け、プレイヤーにドアを切り替える機会を提供します。この変形では、切り替えが確率 で勝ちます。この確率は常に より大きいため、切り替えは常に有利になります。 ${\displaystyle {\frac {1}{N}}\cdot {\frac {N-1}{Np-1}}}$${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$

ホストがドアを1つだけ開けたとしても（）、プレイヤーはどの場合でも切り替えたほうが有利です。Nが大きくなるにつれて、利点は減少し、ゼロに近づきます。^[64] もう一方の極端な例として、ホストが1つを除くすべての負けドアを開けた場合（p  =  N − 2）、 Nが大きくなる につれて利点は増加します（切り替えによる勝利の確率は⁠${\displaystyle p=1}$1は/いいえ⁠ 、 N が非常に大きくなるにつれて 1 に近づきます。

量子版のパラドックスは、量子力学システムの状態にエンコードされた、古典的または非量子情報と量子情報の関係についていくつかの点を示している。この定式化は、量子ゲーム理論に大まかに基づいている。3つのドアは、3つの選択肢を許可する量子システムに置き換えられ、ドアを開けてその後ろを見ることは、特定の測定を行うことと解釈される。ルールはこの言語で記述することができ、ここでもプレーヤーの選択は、最初の選択に固執するか、別の「直交」オプションに変更するかである。後者の戦略は、古典的な場合と同様に、チャンスを2倍にすることが判明した。ただし、ショーの司会者が賞品の位置を完全に量子力学的にランダム化していない場合は、プレーヤーはさらに良い結果を出すことができ、時には確実に賞品を獲得することさえできる。^{[65] [66]}

モンティ・ホール問題に関連するいくつかの確率パズルの中で最も古いのは、ジョセフ・ベルトランが1889年に著書「確率計算」で提起した「ベルトランの箱のパラドックス」である。^[67]このパズルには、金貨2枚が入った箱、銀貨2枚が入った箱、銀貨と金貨が1枚ずつ入った箱の3つの箱がある。箱をランダムに選び、ランダムに1枚の金貨を取り出した後、もう1枚の金貨が金貨である確率はいくらか、という問題である。モンティ・ホール問題と同様に、直感的な答えは⁠1/2⁠ですが、その確率は実際には⁠2/3⁠ .

1959年にサイエンティフィック・アメリカン誌のマーティン・ガードナーの「数学ゲーム」コラムで発表された「三人の囚人問題」^{[7] [58]}は、モンティ・ホール問題に相当する。この問題には、死刑囚3人が関わっており、そのうちの1人が秘密裏に恩赦の対象として選ばれる。囚人の1人が看守に、死刑に処される他の囚人の1人の名前を教えてほしいと懇願する。それは、自分の運命に関する情報は明かさないが、恩赦の可能性を高めるためだと主張する。1/3⁠から⁠1/2⁠。看守は（秘密裏に）コインを投げて、質問している囚人が恩赦を受ける囚人である場合にどちらの名前を言うかを決める。問題は、看守の答えを知ることで囚人が恩赦を受ける可能性が変わるかどうかである。この問題はモンティ・ホール問題に相当する。質問をしている囚人は依然として⁠1/3⁠恩赦を受ける可能性はあるが、彼の名前が明かされていない同僚は⁠2/3⁠チャンス。

スティーブ・セルビンは1975年にアメリカ統計学者に宛てた2通の手紙でモンティ・ホール問題を提起した。^{[1] [2]最初の手紙では、15年後の}パレードでの発表に近い形で問題が提示された。2通目は「モンティ・ホール問題」という用語が初めて使われたと思われる。この問題は実際にはゲーム番組からの推論である。モンティ・ホールは興奮を高めるために間違ったドアを開けたが、ドアを変える選択肢を与える代わりに、100ドルの現金など、より少ないことが分かっている賞品を提供した。モンティ・ホールはセルビンに次のように書いた。

そして、もしあなたが私の番組に出演することになったら、ルールはあなたにも適用されます。選ばれた後はボックスの交換は禁止です。

— モンティ・ホール^[68]

3年後にパレードに掲載された問題と非常によく似た問題が、 1987年に経済展望ジャーナルのパズルセクションに掲載されました。ネルバフは、数理経済学の後の著者と同様に、この問題をゲーム理論の単純で面白い演習と見ています。^[55]

フィリップ・マーティンが1989年にBridge Todayに寄稿した記事「モンティ・ホールの罠」では、セルビンの問題をマーティンが確率の罠と呼ぶ非ランダムな情報をランダムであるかのように扱うことの例として提示し、これをブリッジのゲームの概念に関連付けています。^[69]

セルビンの問題の言い換え版は、1990年9月にマリリン・フォス・サヴァントがパレード誌に寄稿した質疑応答コラム「マリリンに聞いてみよう」に掲載された。 ^[3]サヴァントは、切り替えれば3分の2の確率で勝てるという正しい答えを出したが、彼女の推計では、彼女の解決策が間違っていると主張する、博士号取得者による署名が1,000通近く、多くは数学や理科の学部のレターヘッドで書かれた手紙を含む10,000通の手紙が雑誌に届いた。^[4]反響が大きかったため、パレード誌はこの問題について前例のない4つのコラムを掲載した。^[70]宣伝の結果、この問題は「マリリンとヤギ」という別名を得た。

1990 年 11 月、セシル・アダムズのコラム「The Straight Dope」で、サヴァントの記事について同様に論争を巻き起こした議論が行われた。 ^[14]アダムズは当初、残りの 2 つのドアの確率はそれぞれ 2 分の 1 でなければならないと誤って回答した。読者がアダムズの分析の数学的な誤りを訂正する書き込みを行った後、アダムズは数学的には自分が間違っていたことに同意した。「ドア #1 を選びます。次に、ドア #1 を開くか、ドア #2 とドア #3 を開くかという選択肢が提示されます。後者の場合、いずれかのドアの後ろに賞品があれば、賞品は手元に残ります。賞品が 3 分の 1 で手に入るよりも、3 分の 2 で手に入る方がよいと思いませんか? よく考えてみると、元の問題では基本的に同じ選択肢が提示されています。モンティは、実質的に、1 つのドアを手元に残すか、残りの 2 つのドアのうち 1 つ (賞品のないドア) を私が開けてあげるか、と言っているのです。」アダムズは、パレード版では重要な制約が明記されておらず、それらの制約がなければ、切り替えによって勝つ可能性は必ずしも 3 分の 2 ではない (たとえば、ホストが常にドアを開けると想定するのは合理的ではない) と述べた。しかし、多数の読者が、アダムズは「最初から正しかった」ので、正しい可能性は 2 分の 1 であると主張する手紙を寄せた。

パレードのコラムとその反応は、ニューヨークタイムズの一面記事でモンティ・ホール本人がインタビューされるなど、マスコミからかなりの注目を集めた。[ 4 ^]ホールは問題を理解し、記者に車のキーを使って実演し、レッツ・メイク・ア・ディールの実際のゲームプレイがパズルのルールとどう違うのかを説明した。記事の中で、ホールは、ゲームの進行をコントロールし、出場者の心理を操っていたため、理論的な解決法は番組の実際のゲームプレイには当てはまらないと指摘した。専門家が確率は 2 分の 1 だと主張したことには驚かなかったと、彼は述べた。「これは、私がドアの後ろに何もないことを示した後、出場者が番組でするのと同じ仮定です」と彼は述べた。「彼らは、ドアの確率が 2 分の 1 に上がったと考え、私がいくらお金を出してもドアを明け渡すのを嫌がりました。ドアを開けることで、私たちは圧力をかけていたのです。私たちはそれをヘンリー・ジェイムズ風の扱いと呼びました。それは「ねじの回転」でした。」ホール氏は、ゲーム番組の司会者として、サヴァント欄のパズルのルールに従う必要はなく、常に相手に切り替えの機会を与える必要もない（例えば、負けるドアならすぐにドアを開ける、負けるドアから勝つドアに切り替えない代わりに金銭を提供する、勝つドアがある場合にのみ切り替えの機会を与えるなど）と明言した。「司会者が常にドアを開けて切り替えを勧める必要がある場合、切り替えを受け入れるべきです」と同氏は述べた。「しかし、切り替えを許可するかどうかの選択肢が司会者にある場合は、用心してください。自己責任です。すべて司会者の気分次第です。」

アンドリュー・クルーミーの小説『ミスター・ミー』（2000 年）には、18 世紀を舞台にしたモンティ・ホール問題のバージョンが含まれています。第 1 章では、囚人が命を救うために勝たなければならないシェル ゲームとして紹介されています。第 8 章では、哲学者のロジェ、彼の学生ティソ、およびティソの妻がシミュレーションによって確率をテストし、直感に反する結果を検証します。次に、男の子または女の子のパラドックスに似た黒と白のビーズを使った実験を行い、アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンのパラドックスをユーモラスにほのめかして、ロジェは「自分のビーズを見たとたん、純粋な確率の波が部屋の端から端まで瞬時に飛んでいった。これが突然の 2/3 から 2/2 への変化の原因であり、有限の確率量 (重みは 1/6) が私の観察行為によってビーズの間を奇跡的に通過した」と誤って結論付けています。^[71]ロジエはティソに彼の理論を説明するが、「私の理論に対する彼の理解不足は、数日後、彼の妹が出産しようとしていたときに、ティソが女の子を部屋に送り込むためにお金を払ったときに明らかになった。女の子なら男の子が生まれる確率が2倍になると信じていたからだ。しかし、私の生徒には姪ができたので、彼の推論の誤りを説明するのは難しくなかった。ティソは単に私の注目すべき双子のパラドックスを誤解していただけだった。それは、男の子が兄弟がいると言った場合、それが姉妹である確率は半分ではなく3分の2である、というものである。」^{[72]これに続いて、}予想外のぶら下がりパラドックスのバージョンが続きます。

マーク・ハッドンの『夜中に犬に起こった奇妙な事件』 （2003年）の第101章で、語り手のクリストファーはモンティ・ホール問題について議論し、その歴史と解決法を説明しています。彼は結論として、「そしてこれは、直感が時々間違いを犯すことがあることを示しています。そして、直感は人々が人生で決断を下すために使うものです。しかし、論理は正しい答えを導き出すのに役立ちます。」と述べています。^[73]

• 怪しい伝説エピソード 177「運命の輪」 – ドアを選ぶ
• 制限選択の原則–コントラクトブリッジにおけるベイズ更新の同様の応用

• 男の子か女の子かのパラドックス
• 眠れる森の美女問題
• 2つの封筒の問題

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• ヴォス・サヴァント、マリリン（2012）[1990–1991]。「ゲームショーの問題」。パレード。2012年4月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。
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• ヴォス・サヴァント、マリリン（1996年）。論理的思考の力。セント・マーティンズ・プレス。p.5。ISBN 0-312-15627-8。
• ウィリアムズ、リチャード (2004)。「付録 D: モンティ・ホール論争」(PDF)。社会学大学院統計学 I のコースノート。2008年4 月 25 日閲覧。
• ウィテカー、クレイグ F. (1990 年 9 月 9 日)。「[クレイグ ウィテカーからの手紙で提起された質問のマリリン ボス サヴァントによる定式化]。マリリンに聞いてください」。パレード: 16。

• Gill, Richard (2011b). 「モンティ・ホール問題（バージョン5）」。StatProb: 統計および確率学会が後援する百科事典。2016年1月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011年4月3日閲覧。
• vos Savant, Marilyn (1991年7月7日b). 「Ask Marilyn」. Parade : 26. 2013年1月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年11月12日閲覧。
• ヴォス・サヴァント、マリリン (2006 年 11 月 26 日)。「マリリンに聞いてみよう」。パレード: 6。

ウィキブックのアルゴリズム実装には、モンティ・ホール問題のシミュレーションに関するページがあります。

• ゲームショーの問題 - マリリン・ボス・サヴァントのウェブサイト上のオリジナルの質問と回答
• カリフォルニア大学サンディエゴ校、モンティ・ノウズ・バージョンとモンティ・ノウ・ノウ・バージョン、ゲームの説明
• 「スティックかスイッチか? 確率とモンティ・ホール問題」、BBC ニュース マガジン、2013 年 9 月 11 日 (ビデオ)。数学者マーカス・デュ・ソートイがモンティ・ホールのパラドックスを説明します。