論理主義

ゲーデル（1944年）は、ライプニッツの『普遍特性論』からフレーゲ、ペアノを経てラッセルに至るまでの歴史的背景を次のように要約している。「フレーゲは主に思考の分析に関心を持ち、まず純粋論理から算術を導出するために微積分を用いた」のに対し、ペアノは「数学における応用により関心を持っていた」。しかし、「ごく少数の論理概念と公理から数学の大部分を実際に導出するという新しい方法が十分に活用されたのは、ラッセルの『プリンキピア・マテマティカ』においてのみであった。さらに、この若い学問は、関係の抽象理論という新しい道具によって豊かになった」（120-121頁）。

クリーネ（1952）は次のように述べている。「ライプニッツ（1666）は、論理学を他のすべての科学の根底にある思想と原理を含む科学として初めて構想した。デデキント（1888）とフレーゲ（1884、1893、1903）は数学的概念を論理的概念で定義することに取り組み、ペアノ（1889、1894～1908）は数学的定理を論理的記号で表現することに取り組んだ」（ 43ページ）。前の段落では、ラッセルとホワイトヘッドを「論理主義学派」の代表例として挙げ、他の2つの「基礎的」学派は直観主義学派と「形式主義または公理学派」であるとしている（ 43ページ）。

フレーゲは1879年の著書『概念書』の序文で、自身の意図を次のように述べている。彼はまず算術について考察することから始めた。算術は「論理」から派生したものなのか、それとも「経験的事実」から派生したものなのか？

まず、あらゆる個別的な事柄を超越する思考法則のみを頼りに、推論のみによって算術をどこまで進めることができるのかを確かめる必要がありました。最初のステップは、順序付けの概念を論理的帰結の概念に還元し、そこから数の概念へと進むことでした。直感的なものが気づかれずに入り込むのを防ぐため、推論の連鎖に抜け漏れがないようあらゆる努力を払わなければなりませんでした。言語の不十分さが障害となりました。どんなに扱いにくい表現でも受け入れる用意はありましたが、関係が複雑になるにつれて、目的が要求する精度を達成することがますます困難になりました。この欠点が、現在の表意文字の着想につながりました。したがって、表意文字の第一の目的は、推論の連鎖の妥当性を最も確実に検証する方法を提供し、気づかれずに入り込もうとするあらゆる前提を指摘することです。

デデキントは1887年、著書『数の本質と意味』初版の序文で、自身の意図を次のように述べている。「最も単純な科学の基礎、すなわち論理学のうち数の理論を扱う部分」において、適切な議論がなされていないと彼は考えていた。「証明可能なものは、証明なしに受け入れるべきではない」。

論理学の一部として算術（代数、解析）について語るとき、私は数の概念を空間と時間の直観の概念とは完全に独立したものとみなし、思考の法則から直接生じる結果であると考えていることを示唆している。…数は人間の心の自由な創造物であり、…純粋に論理的なプロセスによって数の科学を構築することによってのみ、私たちは空間と時間の概念を、私たちの心の中で創造されたこの数領域と関連付けることによって、正確に調査する準備が整うのである。

ペアノは1889年の著書『算術の原理』の序文で、自身の意図を次のように述べている。

数学の基礎に関わる問題は、近年多くの研究者によって取り上げられてきたものの、いまだに満足のいく解決策は得られていない。その難しさの主な原因は、言語の曖昧さにある。

だからこそ、私たちが使う言葉そのものを注意深く吟味することが極めて重要なのです。私の目標は、まさにこの吟味を行うことでした。

ラッセルは1903年の著書『数学原理』の序文で、自身の意図を次のように述べている。

本研究には二つの主要な目的がある。一つは、純粋数学はすべて、ごく少数の基本的な論理概念によって定義可能な概念のみを扱い、そのすべての命題はごく少数の基本的な論理原理から演繹可能であることを証明することである。

本書の起源について少し述べておけば、ここで議論されている問題の重要性がお分かりいただけるでしょう。約6年前、私は力学の哲学の研究を始めました。 …[「空間の関係理論」における加速度と絶対運動という2つの問題から]、幾何学の原理の再検討へと導かれ、そこから連続性と無限の哲学へと進み、そして「任意の」という言葉の意味を探求する目的で記号論理学へと至りました。

ラッセルにとって、集合（クラス）とは、固有名詞によって特定される「事物」の集合であり、命題（事物に関する事実の主張）の結果として生じるものである。ラッセルはこの一般的な概念を分析した。彼はまず文中の「項」から始め、それを次のように分析した。

ラッセルにとって、「用語」とは「物」か「概念」のどちらかである。

思考の対象となりうるもの、真偽を問わずあらゆる命題に現れるもの、あるいは一つとして数えられるものすべてを、私は「項」と呼ぶ。これは哲学用語の中で最も広い意味を持つ言葉である。私はこれと同義語として、「単位」「個体」「実体」という言葉を用いる。最初の二つは、すべての項が一つであることを強調し、三つ目は、すべての項が何らかの意味で存在、すなわち実体であるという事実から派生している。人間、瞬間、数、クラス、関係、キメラ、その他言及できるものはすべて、必ず項である。そして、ある物事が項であることを否定することは、常に誤りであるに違いない。

用語には、それぞれ「事物」と「概念」と呼ぶ2種類を区別することができる。前者は固有名詞によって示される用語であり、後者はその他のすべての単語によって示される用語である。概念についても、少なくとも2種類を区別する必要がある。すなわち、形容詞によって示されるものと動詞によって示されるものである。

前者は述語またはクラス概念と呼ばれることが多く、後者は常に、あるいはほぼ常に関係である。

命題の項とは、その命題の中に現れる項であって、その命題が対象とする主題とみなせるものを指す。命題の項の特徴は、それらの項のどれを他のものに置き換えても、命題としての命題が失われないということである。したがって、「ソクラテスは人間である」は項が一つしかない命題であると言える。命題の残りの構成要素のうち、一つは動詞、もう一つは述語である。……つまり、述語とは、動詞以外の概念であり、項または主題が一つしかない命題の中に現れるものである。

例えば、ある人が物体を指さして「目の前にあるこの物体は『エミリー』という名前で、女性である」と言ったとしましょう。これは命題であり、話し手の信念の主張であり、外界の「事実」と照らし合わせて検証されるべきものです。「心は真偽を創造するのではなく、信念を創造するのです…信念を真にするのは事実であり、この事実は（例外的な場合を除いて）信念を持つ人の心とは何ら関係がありません」（1912:13）。

ラッセルが発言を調査し、「事実」との照合を行った結果、エミリーがウサギであると判明した場合、彼の発言は「偽」とみなされます。一方、エミリーが女性人間（ラッセルがプラトンに関するディオゲネス・ラエルティオスの逸話に倣って好んで使う「羽のない二足歩行動物」 ）である場合、彼の発言は「真実」とみなされます。

クラスは、クラス概念とは対照的に、与えられた述語を持つすべての項の総和または連言である」（1903年、55頁）。クラスは、外延（そのメンバーを列挙すること）または内包、すなわち「 xはuである」または「xはvである」 のような「命題関数」によって指定することができる。しかし、「外延を純粋に扱うと、クラスはその項の列挙によって定義され、この方法では記号論理学のように無限クラスを扱うことはできない。したがって、一般にクラスは概念によって示される対象とみなされなければならず、この点で内包の観点が不可欠である。」

一般的な用語と区別されるクラス概念の特徴は、「xはuである」が命題関数となるのは、uがクラス概念である場合に限る、という点である。

71. クラスは外延的にも内包的にも定義できる。つまり、クラスである対象の種類、あるいはクラスを表す概念の種類を定義できる。これが、この文脈における外延と内包の対立の正確な意味である。しかし、一般的な概念はこのように二重に定義できるものの、特定のクラスは、有限である場合を除き、内包的にしか定義できない。すなわち、論理的に、このような概念によって表される対象として定義される 。外延的な定義は無限クラスにも同様に適用できると思われるが、実際には、それを試みたとしても、死神は我々の称賛に値する努力が目的を達成する前にそれを打ち砕いてしまうだろう。

『プリンキピア』では、自然数は、あらゆる実体の集合について主張できるすべての命題から導き出される。ラッセルは、以下の2番目の（斜体で示された）文でこの点を明確にしている。

第一に、数そのものは無限の集合を形成するため、列挙によって定義することはできません。第二に、与えられた数の項を持つ集合自体が、おそらく無限の集合を形成していると考えられます。例えば、世界には無限のトリオの集合が存在すると考えられます。そうでなければ、世界にあるものの総数は有限となり、それは可能ではあるものの、ありそうにないからです。第三に、無限の数が可能となるように「数」を定義したいと考えます。そのため、無限の集合における項の数について語ることができなければならず、そのような集合は内包、すなわちすべての要素に共通し、かつそれらに固有の性質によって定義されなければなりません。

例として、次の有限な例を考えてみましょう。ある通りに12世帯の家族がいるとします。子供がいる世帯もあれば、いない世帯もあります。これらの世帯の子供の名前について議論するには、「childnameは家族 F nの子供の名前である」と主張する 12 個の命題を、名前が F1、F2、...、F12 である特定の通りの世帯の集合に適用する必要があります。12 個の命題のそれぞれは、「引数」childname が特定の世帯の子供に適用されるかどうかに関係しています。子供の名前 ( childname ) は、命題関数f ( x ) のxと考えることができます。ここで、関数は「名前が F n の家族における子供の名前」です。^{[ 17 ]}

前述の例は、有限個の家族からなる有限の通り上の有限命題関数「家族 F n 'の子供たちの名前」に関して有限であるのに対し、ラッセルは明らかに、無限領域に広がるすべての命題関数に以下を拡張し、すべての数の作成を可能にすることを意図していた。

クリーネは、ラッセルが非述語的な定義を提示しており、それを解決しなければラッセルのパラドックスのようなものを導き出す危険があると考えている。「ここでは、自然数列の定義に先立って、論理学に存在する基数のすべての性質の総体を前提とする」（クリーネ 1952:44）。この問題は、ここで提示された有限の例においても、ラッセルが単位クラスを扱う際に現れる（ラッセル 1903:517参照）。

「クラス」とは一体何なのか、あるいは何であるべきなのかという疑問が生じる。デデキントとフレーゲにとって、クラスとはそれ自体で独立した実体であり、ある命題関数Fを満たすすべての実体xと同一視できる「統一体」である。（この象徴はラッセルにも登場し、フレーゲに帰せられている。「関数の本質は、x を取り除いた後に残るものである。つまり、上記の例では 2( ) ³ + ( ) である。引数x は関数には属さないが、両者が合わさって全体を構成している（同書、6 ページ [すなわち、フレーゲの 1891 年『関数と概念』]）」（ラッセル 1903:505）。）例えば、特定の「統一体」に名前を付けることができる。家族 Fα に、アニー、バービー、チャールズという名前の子供がいるとしよう。

集合またはクラスを対象とするこの概念を制限なく用いると、ラッセルのパラドックスが生じます。非述語的定義については後述します。ラッセルの解決策は、クラスの概念を命題を満たす要素のみと定義することでした。彼の主張は、引数x は、関数によって作成された命題関数、すなわち「クラス」には属さないというものです。クラス自体はそれ自体で単一の対象とみなされるべきではなく、有用な虚構としてのみ存在します。「我々は、事物のクラスが何らかの意味で単一の対象として存在するかどうかの決定を避けてきました。この問題の決定はどちらであっても、我々の論理にとっては重要ではありません」（プリンキピア・マテマティカ第1版、1927年、24）。

ラッセルは1919年の著作でもこの見解を維持しており、「象徴的虚構」という言葉に注目してほしい。

クラスは、その構成要素と同じ種類のものではなく、単なる積み重ねや集合体でもなく、命題関数と同一視することもできないと決定すると、それらが単なる象徴的虚構以上のものとなるためには、一体何であり得るのかを見出すのは非常に困難になる。そして、もし私たちがそれらを象徴的虚構として扱う方法を見つけることができれば、クラスが存在するという仮定をせずに、クラスが存在しないという反対の仮定を強いられることもないため、私たちの立場の論理的な安定性が高まる。私たちは単に両方の仮定を控えるだけなのだ。……しかし、クラスが存在すると主張することを拒否するからといって、クラスが存在しないと独断的に主張していると考えるべきではない。私たちは単にクラスに関して不可知論者なのである 。

そして『哲学の原理』第2版（1927年）において、ラッセルは「関数は値を通してのみ生じる、…関数のすべての関数は外延的である、…したがって関数とクラスを区別する理由はない…このように、関数とは区別されるクラスは、*20で保持していたあのぼんやりとした存在さえも失う」（p. xxxix）と主張している。言い換えれば、クラスという独立した概念は完全に消滅したのである。

ステップ 2: 「類似した」クラスを「バンドル」にまとめる: 上記のコレクションは、「等数性」による類似性の「二項関係」（比較）に置くことができ、ここでは≈で表され、つまり要素の 1 対 1 対応となります^{[ 18 ]}。これにより、ラッセルのクラスのクラス、またはラッセルが「バンドル」と呼んだものが作成されます。「すべてのペアを 1 つのバンドルに、すべての 3 つを別のバンドルに、といったように考えることができます。このようにして、さまざまなコレクションのバンドルが得られます。各バンドルは、特定の数の項を持つすべてのコレクションで構成されています。各バンドルは、メンバーがコレクション、つまりクラスであるクラスです。したがって、それぞれがクラスのクラスです」(Russell 1919:14)。

ステップ 3: null クラスを定義する: 特定のクラスのクラスは、そのクラスに要素が含まれていない、つまり、その特定のクラス/コレクションを定義する述語を満たす要素がないため、特別であることに注意してください。

その結果として生じる実体は、「ヌルクラス」または「空クラス」と呼ばれることがある。ラッセルはヌルクラス／空クラスをΛで表した。では、ラッセルのヌルクラスとは一体何なのだろうか？ラッセルはPMの中で、「クラスは少なくとも1つのメンバーを持つときに存在すると言われ、メンバーを持たないクラスは「空クラス」と呼ばれ、αは空クラスであるということはαが存在しないということと同値である」と述べている。空クラス自体が「存在する」かどうかという疑問が自然に生じる。この問題に関連する困難は、ラッセルの1903年の著作に見られる。^{[ 19 ]}フレーゲの算術の基本法則のパラドックスを発見した後、彼は1903年の著作に付録Aを追加し、空クラスと単位クラスの性質の分析を通して、「型の教義」の必要性を発見した。単位クラス、非述語的定義の問題、ラッセルの「悪循環原理」については、以下を参照のこと。^{[ 19 ]}

ステップ4：各バンドルに「番号」を割り当てる：略記と識別のため、各バンドルに固有の記号（別名「番号」）を割り当てます。これらの記号は任意です。

ステップ 5: 「0」を定義する。フレーゲに倣い、ラッセルはこの役割を担う適切なクラスとして、空またはヌルクラスのクラスを選択した。これは、メンバーを持たないクラスのクラスである。このヌルクラスのクラスは「0」と名付けられる。

ステップ 6: 「後継者」の概念を定義する: ラッセルは、「遺伝的」という新しい特性 (フレーゲの「祖先的」を参照) を定義しました。これは、あるクラスが別のクラス (クラスのクラスである場合もある) から特性を「継承」できる性質です。つまり、「自然数列において、ある性質がnに属するときはいつでも、 nの後継者であるn +1にも属する場合、その性質は「遺伝的」であると言われます。」(1903:21)。彼は、「自然数は、関係「直前の先行者 (これは「後継者」の逆である)」に関して、0 の子孫、つまり「後継者」の「子供」、つまり「後継者」の継承者である」と主張しています (1919:23)。

ラッセルはここでいくつかの単語を定義しずに使用していますが、特に「数列」、「数n」、「後継者」です。彼はこれらを適切な時期に定義します。特に、ラッセルはクラスの単位クラス「1」を使用して後継者を構成していないことに注意してください。その理由は、ラッセルの詳細な分析^{[ 20 ]}によると、単位クラスがそれ自体で実体になると、それ自体も命題の要素になることができ、その結果、命題が「非述語的」になり、「悪循環」が生じるからです。むしろ彼はこう述べている。「第2章では基数をクラスのクラスとして定義し、第3章では1をすべての単位クラスのクラス、つまり、悪循環がなければただ1つの要素を持つすべてのクラスのクラスとして定義することを見た。もちろん、1をすべての単位クラスのクラスとして定義する場合、単位クラスは、1が何を意味するのかを知っていると想定しないように定義されなければならない」（1919:181）。

ラッセルは後継者という定義において、「単位」として次のような単一の実体または「用語」を用いる。

「後継者」を定義する必要がある。任意の数nに対して、 α をn個の要素を持つクラスとし、x をαの要素ではない項とする。すると、 αにxを加えたクラスは+1個の要素を持つことになる。したがって、次の定義が得られる。

クラス α の項数の後継は、α と x からなるクラスの項数であり、x はクラス に属する項ではない。

ラッセルの定義では、バンドル内のコレクションに「追加される」新しい「用語」が必要となる。

ステップ 7: null クラスの後継クラスを構築します。

ステップ 8: 等数のクラスの各クラスについて、その後継を作成します。

ステップ 9: 数値の順序付け: 後継者を作成するプロセスでは、さまざまな「数値」間の「～の後継者である」という関係が必要であり、これは「 S 」と表記できます。「ここで、自然数の 0、1、2、3、…という順序の系列性について考察する必要があります。私たちは通常、数値をこの順序で考えており、論理的な用語で「順序」または「系列」の定義を求めることは、データ分析作業の重要な部分です。…順序は、用語のクラスにあるのではなく、クラスのメンバー間の関係にあり、その関係において、あるものは先に現れ、あるものは後に現れます。」(1919:31)

ラッセルは「順序関係」の概念に3つの基準を適用しています。まず、非対称性の概念を定義します。つまり、2つの項xとyの間にS（「～の後継者である」）のような関係がある場合、x S y ≠ y S xとなります。次に、 3つの数x、y、zについて推移性の概念を定義します。x S yかつy S zならばx S zとなります。最後に、連結性の概念を定義します。「順序付けられるクラスの任意の2つの項が与えられた場合、一方が先行し、もう一方が後続しなければなりません。…関係は、そのフィールドの任意の2つの異なる項（関係のドメインと逆ドメインの両方、例えば、結婚という関係における夫と妻）が与えられた場合、最初の項と2番目の項の間、または2番目の項と最初の項の間で関係が成り立つときに連結していると言えます（両方が起こる可能性を排除するわけではありませんが、関係が非対称である場合は両方が起こることはありません）。」(1919:32)

彼は次のように結論付けている。「…自然数mは、 nがmの後継者が持つすべての遺伝的性質を持つとき、別の数nより小さいと言われる。このように定義された『より小さい』という関係は、非対称で推移的かつ連結であり、その体として自然数を持つ（つまり、定義域と逆定義域の両方が数である）ことは容易に理解でき、証明も難しくない。」(1919:35)

反復という「論理学外」概念の前提：クリーネは、「論理主義のテーゼは、論理学がすでにその定式化において数学的概念を前提としているという理由で、最終的に疑問視される可能性がある。直観主義の見解では、反復という概念には本質的な数学的核が含まれている」（クリーネ 1952:46）と述べている。

ベルネイズ（1930～1931年）は、「2つのもの」という概念は、2つのものの存在を主張しなくても、また2つのものに適用される述語を参照しなくても、すでに何かを前提としていると指摘している。それは単に「1つのものともう1つのもの」を意味する。…この単純な定義に関して、数の概念は基本的な構造概念であることがわかる。…論理学者の数学は純粋に論理的な知識であるという主張は、理論論理をより詳しく観察すると、曖昧で誤解を招くものであることがわかる。…[「論理的」の定義を拡張することはできるが]、この定義によって認識論的に本質的なものが隠蔽され、数学に特有のものが見落とされる」（マンコス（1998年）243頁）。

ヒルベルト（1931:266-7）は、ベルネイズと同様に、数学には「論理を超えた何か」があると考えている。「経験と思考の他に、知識の第三の源泉がある。今日では細部においてカントと同意することはもはやできないとしても、カント認識論の最も一般的で根本的な考え方は依然としてその意義を保っている。すなわち、直観的なアプリオリな思考様式を確定し、それによってあらゆる知識の可能性の条件を調査することである。私の考えでは、これは数学の原理に関する私の研究において本質的に起こっていることである。ここでアプリオリとは、私が有限思考様式とも呼ぶ根本的な思考様式に他ならない。私たちの表象能力において、すでに前もって与えられているものがある。それは、あらゆる思考に先立つ直接的な経験として直観的に存在する、ある種の論理を超えた具体的な対象である。論理的推論が確実であるためには、これらの対象はすべての部分において完全に調査可能でなければならず、それらの提示、差異、それらの連続性、あるいはそれらの隣り合わせの配置は、私たちに直接的かつ直観的に与えられなければならない。」対象物に関しては、他の何物にも還元できないし、そのような還元を必要としないものとして捉える」（ヒルベルト 1931、マンコス 1998: 266、267）。

要するに、ヒルベルトとベルネイズによれば、「シーケンス」または「後継者」という概念は、記号論理学の外にある先験的な概念である。

ヒルベルトは論理主義を「誤った道」として退けた。「ある者は数を純粋に論理的に定義しようとし、またある者は通常の数論的推論方法を自明のこととみなした。どちらの道においても、彼らは克服できない障害に遭遇した。」（ヒルベルト 1931、マンコソ 1998:267）。不完全性定理は、ヒルベルト的有限主義にとって同様の障害となる可能性がある。

マンコスは、ブロウワーが次のように結論づけたと述べている。「論理の古典的な法則や原理は、（記号表現における）知覚された規則性の一部であり、数学的構成の事後的な記録から導き出される。理論論理学は、経験科学であり、数学の応用である」（マンコス 1998:9 によるブロウワーの引用）。

『プリンキピア・マテマティカ』 （どちらの版でも）に見られるラッセル論理主義の技術的な側面に関して、ゲーデルは1944年に失望した。

数学的論理とその論理からの数学の導出に関する、この最初の包括的かつ徹底的な提示が、基礎（『プリンキピア』の*1～*21に含まれる）において形式的な正確さを著しく欠いており、この点でフレーゲに比べてかなり後退していることは残念である。何よりも欠けているのは、形式主義の構文の正確な記述である。

特に彼は、「置換規則や定義済み記号を定義語に置き換える規則に関しては、この問題は特に疑わしい」と指摘した（ラッセル 1944:120）。

これらの基礎の根底にある哲学に関して、ゲーデルはラッセルの「無階級理論」を「名目論的な構成主義の一種であり、むしろ虚構主義と呼ぶべきもの」（ゲーデル1944:119の脚注1参照）として、欠陥があるとみなした。詳細は下記の「ゲーデルの批判と提案」を参照のこと。

複雑な関係の理論は、ラッセルの1919年の解説書『数学哲学入門』と1927年の『プリンキピア』第2版を依然として苦しめていた。一方、集合論は関係を集合の順序対に還元することで進展していた。グラッタン＝ギネスは、 『プリンキピア』第2版でラッセルが自身の教え子であるノーバート・ウィーナー（1914年）によって達成されたこの還元を無視したと指摘している。おそらく「残っていた苛立ちのために、ラッセルは全く反応しなかった」のだろう。^{[ 21 ]} 1914年までにハウスドルフが別の同等の定義を提供し、 1921年にクラトフスキが今日使用されている定義を提供した。^{[ 22 ]}

ゲーデル（1944:131）は、「ラッセルはクラスの外延的見解に反対する2つの理由を挙げている。すなわち、（1）集合とは到底言えない空クラスの存在、および（2）その単一の要素と同一でなければならない単位クラスの存在である」と述べている。ゲーデルは、ラッセルはこれらを架空のものとみなすべきであったが、すべてのクラス（例えば、2、3などの数を定義するクラスのクラス）が架空のものであるという結論を導き出すべきではなかったと示唆している。

しかし、ラッセルはそうしなかった。 1903年の著書『付録A：フレーゲの論理的・算術的教義』における詳細な分析の後、ラッセルは次のように結論づけている。

こうして私たちに押し付けられる論理的教義は、命題の主語は単一の項ではなく、本質的には複数の項である可能性がある、というものである。これは、0と1以外の数を主張するすべての命題に当てはまる。

以下の記述では、「クラスは多くのものとして」という表現に注意してください。クラスとは、命題関数を満たす項（事物）の集合体ですが、クラスはそれ自体として存在する事物ではありません。

したがって、最終的な結論は、正しいクラスの理論は第6章の理論よりもさらに外延的であり、クラス as many は常に命題関数によって定義される唯一の対象であり、これは形式的な目的には十分であるということである。

それはまるで、牧場主が自分の家畜（羊、牛、馬）を、架空の牧場にある3つの架空の囲い（羊用、牛用、馬用）に集めるようなものだ。実際に存在するのは羊、牛、馬（拡張物）であって、架空の「概念」である囲いや牧場ではない。

ラッセルがすべてのクラスは有用な虚構であると宣言したとき、彼は「単位」クラスの問題を解決したが、全体的な問題は消え去ったわけではなく、むしろ新しい形で現れた。「今や、（1）項、（2）クラス、（3）クラスのクラスなどを無限に区別する必要がある。我々は、ある集合のどの要素も他のどの集合の要素でもないと仮定しなければならず、x ε uは、 x がu が属する集合よりも次数が 1 低い集合に属していなければならないことを要求する。したがって、x ε x は 意味のない命題となり、このようにして矛盾は回避される」（1903:517）。

これはラッセルの「型の教義」です。 x ε xのような非述語的表現を彼の論理で扱うことができるようにするために、ラッセルは、そのような非述語的定義はすべて述語的定義を持つという一種の作業仮説を提案しました。この仮説には、関数の「順序」と引数の「型」の概念が必要です。まず、関数（および拡張としてのクラス、つまり「行列」）は「順序」によって分類され、個体の関数は順序 1、関数の関数（クラスのクラス）は順序 2 などとなります。次に、関数の引数（関数の「入力」）の「型」を、その「意味の範囲」、つまり、 f ( x ) に代入すると意味のある出力 ω が得られる入力α (個体? クラス? クラスのクラス? など) とは何かと定義します。これは、「型」が複数の順序を持​​つ可能性があることを意味することに注意してください。次の例がそれを示しています。

この文は「xは1947年のワールドシリーズで優勝した」＋「yは1947年のワールドシリーズで優勝した」という2つの節に分解できます。最初の文は、 xに対して個人「ジョー・ディマジオ」を入力として受け取り、もう一方の文は、 yに対して集合体「ヤンキース」を入力として受け取ります。したがって、この複合文は、順序（1と2）に関して混合型（混合型）2となります。

ラッセルが「述語的」と言ったのは、関数が変数の「型」よりも高い階数でなければならないという意味です。したがって、クラスのクラスを作成する関数（階数2）は、クラス（型1）と個体（型0）という低い型の引数しか変数に受け入れることができません。型3は型2、1、0しか受け入れることができず、以下同様です。しかし、これらの型は混在させることができます（たとえば、「zは1947年のワールドシリーズで優勝した」という文が（ある程度）真であるためには、個体（型0）「ジョー・ディマジオ」や彼の他のチームメイトの名前を受け入れることができ、個々の選手のクラス（型1）「ヤンキース」を受け入れることができます）。

還元可能性の公理は、任意の次数の関数は、適切な次数の同等の述語関数に還元（または置き換える）できるという仮説である。 ^{[ 28 ]}初版を注意深く読むと、n次述語関数は、個々の原子命題の巨大な「行列」または集合体として「最後まで」表現する必要はないことがわかる。「実際には、変数の相対的な型のみが関係する。したがって、特定の文脈で出現する最も低い型は、個体の型と呼ばれるかもしれない」（161 ページ）。しかし、還元可能性の公理は、理論的には「最後まで」還元が可能であると主張している。

しかし、1927年のPM第2版では、ラッセルは還元可能性の公理を放棄し、論理演算子で結び付けられた基本命題まで、関数のあらゆる順序を「徹底的に」強制するという結論に達した。

どのような位数の命題であっても、すべては、ストロークによって結合された基本命題から構成される行列から導き出される。

（ここでいう「ストローク」とは、シェファーのストロークのことで、PM第2版で採用されたもので、他のすべての論理関数を定義できる単一の2引数論理関数のことである。）

しかし、最終的な結果として、彼の理論は崩壊した。ラッセルは次のような落胆する結論に達した。「順序数と基数の理論は存続するが、無理数、そして一般的に実数はもはや適切に扱うことができない。…おそらく、還元公理よりも問題のない別の公理があれば、このような結果が得られるかもしれないが、我々はそのような公理を見つけることに成功していない」（PM 1927:xiv）。

ゲーデル（1944年）は、ラッセルの論理主義プロジェクトが頓挫したという点では同意しているが、整数さえも生き残ったという点については同意していないようだ。

[第2版では] 還元性の公理は削除され、すべての原始述語は最低の型に属し、高階および高型の変数（および明らかに定数も）の唯一の目的は、原子命題のより複雑な真理関数を主張できるようにすることであると明示的に述べられています。

Gödel asserts, however, that this procedure seems to presuppose arithmetic in some form or other (p. 134). He deduces that "one obtains integers of different orders" (p. 134-135); the proof in Russell 1927 PM Appendix B that "the integers of any order higher than 5 are the same as those of order 5" is "not conclusive" and "the question whether (or to what extent) the theory of integers can be obtained on the basis of the ramified hierarchy [classes plus types] must be considered as unsolved at the present time". Gödel concluded that it would not matter anyway because propositional functions of order n (any n) must be described by finite combinations of symbols (all quotes and content derived from page 135).

Gödel, in his 1944 work, identifies the place where he considers Russell's logicism to fail and offers suggestions to rectify the problems. He submits the "vicious circle principle" to re-examination, splitting it into three parts "definable only in terms of", "involving" and "presupposing". It is the first part that "makes impredicative definitions impossible and thereby destroys the derivation of mathematics from logic, effected by Dedekind and Frege, and a good deal of mathematics itself". Since, he argues, mathematics sees to rely on its inherent impredicativities (e.g. "real numbers defined by reference to all real numbers"), he concludes that what he has offered is "a proof that the vicious circle principle is false [rather] than that classical mathematics is false" (all quotes Gödel 1944:127).

Russell's no-class theory is the root of the problem: Gödel believes that impredicativity is not "absurd", as it appears throughout mathematics. Russell's problem derives from his "constructivistic (or nominalistic)"^[29] standpoint toward the objects of logic and mathematics, in particular toward propositions, classes, and notions ... a notion being a symbol ... so that a separate object denoted by the symbol appears as a mere fiction" (p. 128).

Indeed, Russell's "no class" theory, Gödel concludes:

これは、「データ」の外にある対象の存在に関する仮定を排除し、これらのデータに基づく構成に置き換える傾向を詳細に実行した数少ない例の 1 つです。33^ここで「データ」は相対的な意味で理解する必要があります。つまり、私たちの場合は、クラスと概念の存在を仮定しない論理です。この場合、結果は本質的に否定的でした。つまり、このように導入されたクラスと概念は、数学での使用から要求されるすべての特性を備えていません。...これらすべては、論理と数学（物理学と同様に）は、説明できない実在の内容を持つ公理に基づいて構築されているという、上で擁護した見解の検証にすぎません。

彼はエッセイを以下の提案と考察で締めくくっている。

より保守的な道を選ぶべきであり、それは「クラス」と「概念」という用語の意味をより明確にし、客観的に存在する実体としてのクラスと概念の一貫した理論を構築することである。これは、数学論理学の実際の発展が辿ってきた道であり、ラッセル自身もその著作のより建設的な部分において、この道に踏み込まざるを得なかった。この方向への主要な試みとしては、単純な型の理論と公理的集合論があり、これらは少なくとも現代数学の導出を可能にし、同時に既知のすべてのパラドックスを回避するという点で成功を収めている 。

数学論理学がこれまでペアノらの高い期待に大きく遅れをとってきたのは、基礎に関する理解が不十分であったことが原因であると推測するのが妥当であろう 。