無限分割可能性（確率）

確率論において、確率分布は、任意の数の独立同分布（iid）確率変数の和の確率分布として表現できる場合、無限分割可能である。無限分割可能な分布の特性関数は、無限分割特性関数と呼ばれる。^{[ 1 ]}

より厳密に言えば、確率分布Fは、すべての正の整数nに対して、和S _n = X _{n 1} + ... + X _nnが同じ分布Fを持つ iid ランダム変数X _{n 1} , ..., X _nnが存在する場合に無限に分割可能である。 

確率分布の無限分割可能性の概念は、1929 年にブルーノ・デ・フィネッティによって導入されました。この種の分布の分解は、確率論や統計学において、特定のモデルやアプリケーションにとって自然な選択肢となる可能性のある確率分布の族を見つけるために使用されます。無限分割可能な分布は、極限定理の文脈において確率論で重要な役割を果たします。^{[ 1 ]}

無限に分割可能な連続分布の例としては、正規分布、コーシー分布、レヴィ分布などを含む安定分布族のすべてのメンバーが挙げられます。安定分布族以外の例としては、ガンマ分布、カイ二乗分布、ワルド分布、対数正規分布^{[ 2 ]}、スチューデントのt分布などがあります。

離散分布の例としては、ポアソン分布や負の二項分布（したがって幾何分布も）が挙げられる。唯一の結果が0である一点分布も、（自明なことに）無限に分割可能である。

一様分布と二項分布は無限に分割可能ではなく、上記の一点分布以外の、有界サポート（≈有限サイズ領域）を持つ他の分布も同様である。 ^{[ 3 ]}スチューデントのt分布を持つ確率変数の逆数の分布も無限に分割可能ではない。^{[ 4 ]}

複合ポアソン分布は無限に分割可能である。これは定義から直ちに導かれる。

無限分割可能な分布は、中心極限定理の広範な一般化、すなわち三角形配列内の独立な一様漸近的に無視できる（uan）確率変数の和S _n = X _{n 1} + ... + X nnのn → + _∞の極限に現れる。

は、弱い意味 で無限分割可能な分布に近づく。一様漸近的に無視できる（uan）条件は次のように与えられる。

したがって、例えば、有限分散を持つ同一分布の確率変数の適切なスケーリングによって一様漸近無視性（uan）条件が満たされる場合、弱収束は中心極限定理の古典的なバージョンにおける正規分布に収束します。より一般的には、同一分布の確率変数（必ずしも有限の2次モーメントを持つとは限らない）のスケーリングによってuan条件が満たされる場合、弱収束は安定分布に収束します。一方、uan条件が満たされる独立な（スケーリングされていない）ベルヌーイ確率変数の三角形配列の場合、

和の弱収束は、小数の法則のよく知られた証明によって示されるように、平均λのポアソン分布に収束する。

無限に分割可能な確率分布はすべて、自然な形でレヴィ過程に対応します。レヴィ過程は、定常独立増分を持つ確率過程{ L _t | t ≥ 0 }です。ここで、定常とは、 s < tの場合、L _t − L _sの確率分布がt − sのみに依存することを意味し、独立増分とは、その差L _t − L _{s が}[ s , t ]と重ならない任意の区間における対応する差と独立であり、同様に、互いに重ならない任意の有限個の区間についても同様であることを意味します。         

{ L _t | t ≥ 0 }がレヴィ過程である場合、任意のt ≥ 0に対して、確率変数L _{t は}無限に分割可能になります。任意のnに対して、( X _{n 1} , X _{n 2} , ..., X _nn ) = ( L _{t / n} − L ₀ , L _{2 t / n} − L _{t / n} , ..., L _t − L _{( n −1) t / n} )を選択できます。同様に、任意のs < tに対して、 L _t − L _{s は}無限に分割可能です。      

一方、F が無限分割可能な分布である場合、そこからレヴィ過程{ L _t | t ≥ 0 }を構築できます。t − s > 0が有理数p / qに等しい任意の区間[ s , t ]に対して、 L _t − L _{s は}X _{q 1} + X _{q 2} + ... + X _qpと同じ分布を持つように定義できます。t − s > 0の無理値は、連続性の議論によって処理されます。      

添加プロセス$\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$ （独立増分を持つ確率的に連続な確率過程であるcadlag ）は、任意のに対して無限に分割可能な分布を持つ。${\displaystyle >t\geq 0}$⁠。$\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$それは無限に分割可能な分布の族である。 $\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$連続性と単調性の多くの条件を満たす。さらに、無限に分割可能な分布の族が$\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$これらの連続性と単調性の条件を満たす場合、（法律上のみ）加算プロセスが存在する。$\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$この分布により。^{[ 5 ]}

させて${\displaystyle \phi (t)}$を無限分割可能な分布の特性関数とする。このとき、有界変動の非減少関数が存在する。${\displaystyle G(u)}$そして実際の定数${\displaystyle \delta }$そのため

確率分布${\displaystyle \mu }$局所的にコンパクトなアーベル群上で${\displaystyle X}$すべての自然数に対して、が無限に割り切れるという。${\displaystyle n}$要素が存在する${\displaystyle x_{n}\in X}$確率分布$\displaystyle \mu _{n}}$の上${\displaystyle X}$そのため ${\displaystyle \mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n}}}$、 どこ${\displaystyle E_{x_{n}}}$縮退した（ディラック）分布は、 ${\displaystyle x_{n}}$^{[ 6 ] ; [ 7 ]}も参照。この定義は、実数直線の場合の古典的な定義とは若干異なる。 

局所コンパクトアーベル群上の無限分割可能な分布の例${\displaystyle X}$縮退分布、コンパクト部分群上のハール分布を含む${\displaystyle X}$ガウス分布、および一般化ポアソン分布。

局所コンパクトアーベル群上の無限分割分布に対するレヴィ・ヒンチン公式の類似物が^{[ 6 ]で得られた。 [ 7 ]}も参照のこと。

• Domínguez-Molina, JA; Rocha-Arteaga, A. (2007) 「いくつかの歪んだ対称分布の無限分割可能性について」Statistics and Probability Letters , 77 (6), 644 – 648 doi : 10.1016/j.spl.2006.09.014
• Steutel, FW (1979)、「理論と実践における無限分割可能性」（討論付き）、Scandinavian Journal of Statistics. 6、57 – 64。
• Steutel, FW および Van Harn, K. (2003)、実数直線上の確率分布の無限分割可能性(Marcel Dekker)。