導出 の比率 Z = X / Y {\displaystyle Z=X/Y} の 同時 分布 からX {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} PDF 付き p X 、 Y （ x 、 y ） {\displaystyle p_{X,Y}(x,y)} p Z （ z ） = ∫ − ∞ + ∞ | y | p X 、 Y （ z y 、 y ） d y 。 {\displaystyle p_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }|y|\,p_{X,Y}(zy,y)\,dy.}
2つの変数が独立している場合 p X Y （ x 、 y ） = p X （ x ） p Y （ y ） {\displaystyle p_{XY}(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y)} p Z （ z ） = ∫ − ∞ + ∞ | y | p X （ z y ） p Y （ y ） d y 。 {\displaystyle p_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }|y|\,p_{X}(zy)p_{Y}(y)\,dy.}
これは必ずしも単純ではないかもしれません。例として、2 つの標準ガウスサンプルの比率という古典的な問題を取り上げます。結合確率密度関数 は次のようになります。 p X 、 Y （ x 、 y ） = 1 2 π exp （ − x 2 2 ） exp （ − y 2 2 ） 。 {\displaystyle p_{X,Y}(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right).}
定義するZ = X / Y {\displaystyle Z=X/Y} p Z （ z ） = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ | y | exp （ − （ z y ） 2 2 ） exp （ − y 2 2 ） d y = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ | y | exp （ − y 2 （ z 2 + 1 ） 2 ） d y 。 {\displaystyle {\begin{aligned}p_{Z}(z)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,|y|\,\exp \left(-{\frac {\left(zy\right)^{2}}{2}}\right)\,\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right)\,dy\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,|y|\,\exp \left(-{\frac {y^{2}\left(z^{2}+1\right)}{2}}\right)\,dy.\end{aligned}}} 定積分を用いる ∫ 0 ∞ x exp （ − c x 2 ） d x = 1 2 c {\textstyle \int _{0}^{\infty }x\exp \left(-cx^{2}\right)dx={\frac {1}{2c}}} p Z （ z ） = 1 π （ z 2 + 1 ） 、 {\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {1}{\pi (z^{2}+1)}},} スチューデントのt 分布 です。 n = 1 {\displaystyle n=1}
メリン変換は 、比率分布の導出にも提案されている。
独立変数が正の場合、以下の手順で進めてください。図は分離可能な二変量分布を示しています。f x 、 y （ x 、 y ） = f x （ x ） f y （ y ） {\displaystyle f_{x,y}(x,y)=f_{x}(x)f_{y}(y)} x 、 y > 0 {\displaystyle x,y>0} 。 R = X / Y {\displaystyle R=X/Y} 部分 y = x / R {\displaystyle y=x/R} は 。 f x 、 y （ x 、 y ） {\displaystyle f_{x,y}(x,y)} 乗算 する X / Y ≤ R {\displaystyle X/Y\leq R} y {\displaystyle y} 拡張 する x = 0 {\displaystyle x=0} x = R y {\displaystyle x=Ry} f y （ y ） d y ∫ 0 R y f x （ x ） d x {\textstyle f_{y}(y)dy\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx}
第二に、水平方向の帯を上方向にすべて統合する y {\displaystyle y} ます F R （ R ） = ∫ 0 ∞ f y （ y ） （ ∫ 0 R y f x （ x ） d x ） d y {\displaystyle F_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy} F R （ R ） {\displaystyle F_{R}(R)} R {\displaystyle R} PDF を取得するには f R （ R ） {\displaystyle f_{R}(R)} f R （ R ） = d d R [ ∫ 0 ∞ f y （ y ） （ ∫ 0 R y f x （ x ） d x ） d y ] {\displaystyle f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left[\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy\right]} f R （ R ） = ∫ 0 ∞ f y （ y ） （ d d R ∫ 0 R y f x （ x ） d x ） d y {\displaystyle f_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left({\frac {d}{dR}}\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy} d d R ∫ 0 R y f x （ x ） d x = y f x （ R y ） {\displaystyle {\frac {d}{dR}}\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=yf_{x}(Ry)} f R （ R ） = ∫ 0 ∞ f y （ y ） f x （ R y ） y d y 。 {\displaystyle f_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)f_{x}(Ry)ydy.} PDFを求めます 。 R {\displaystyle R} f x （ x ） = α e − α x 、 f y （ y ） = β e − β y 、 x 、 y ≥ 0. {\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x)&=\alpha e^{-\alpha x},\\f_{y}(y)&=\beta e^{-\beta y},\\x,y&\geq 0.\end{aligned}}}
比率の累積分布を評価する 我々は持っています ∫ 0 R y f x （ x ） d x = − e − α x | 0 R y = 1 − e − α R y {\displaystyle \int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=-\left.e^{-\alpha x}\right\vert _{0}^{Ry}=1-e^{-\alpha Ry}} F R （ R ） = ∫ 0 ∞ f y （ y ） （ 1 − e − α R y ） d y = ∫ 0 ∞ β e − β y （ 1 − e − α R y ） d y = 1 − α R β + α R = R β α + R 。 {\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(R)&=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(1-e^{-\alpha Ry}\right)dy\\&=\int _{0}^{\infty }\beta e^{-\beta y}\left(1-e^{-\alpha Ry}\right)dy\\&=1-{\frac {\alpha R}{\beta +\alpha R}}\\&={\frac {R}{{\tfrac {\beta }{\alpha }}+R}}.\end{aligned}}} 微分 R {\displaystyle R} は PDF を生成しますR {\displaystyle R} f R （ R ） = d d R （ R β α + R ） = β α （ β α + R ） 2 。 {\displaystyle f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left({\frac {R}{{\tfrac {\beta }{\alpha }}+R}}\right)={\frac {\tfrac {\beta }{\alpha }}{\left({\tfrac {\beta }{\alpha }}+R\right)^{2}}}.}
ランダム比率の平均値と分散 積分布の セクションでは、メリン変換 理論（上記のセクションを参照）から、独立変数の積の平均はそれらの平均の積に等しいことがわかります。比率の場合、次のようになります。 E （ X / Y ） = E （ X ） ⋅ E （ 1 / Y ） {\displaystyle \operatorname {E} (X/Y)=\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (1/Y)} E （ X / Y ） = ∫ − ∞ ∞ x f x （ x ） d x × ∫ − ∞ ∞ y − 1 f y （ y ） d y 。 {\displaystyle \operatorname {E} (X/Y)=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{x}(x)\,dx\times \int _{-\infty }^{\infty }y^{-1}f_{y}(y)\,dy.}
ご E （ 1 / Y ） ≠ 1 E （ Y ） {\displaystyle \textstyle \operatorname {E} (1/Y)\neq {\frac {1}{\operatorname {E} (Y)}}} ∫ − ∞ ∞ y − 1 f y （ y ） d y ≠ 1 / ∫ − ∞ ∞ y f y （ y ） d y {\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }y^{-1}f_{y}(y)\,dy\neq 1\left/\int _{-\infty }^{\infty }yf_{y}(y)\,dy\right.}
独立変数の比率の分散は バラ （ X / Y ） = E （ [ X / Y ] 2 ） − E 2 （ X / Y ） = E （ X 2 ） ⋅ E （ 1 / Y 2 ） − E 2 （ X ） ⋅ E 2 （ 1 / Y ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X/Y)&=\operatorname {E} ([X/Y]^{2})-\operatorname {E^{2}} (X/Y)\\&=\operatorname {E} (X^{2})\cdot \operatorname {E} (1/Y^{2})-\operatorname {E} ^{2}(X)\cdot \operatorname {E} ^{2}(1/Y).\end{aligned}}}
正規比率分布
これはSpringerで示されました。
は対数領域への変換を提案したT ～ μ x + N （ 0 、 σ x 2 ） μ y + N （ 0 、 σ y 2 ） = μ x + X μ y + Y = μ x μ y 1 + X μ x 1 + Y μ y 。 {\displaystyle T\sim {\frac {\mu _{x}+{\mathcal {N}}(0,\sigma _{x}^{2})}{\mu _{y}+{\mathcal {N}}(0,\sigma _{y}^{2})}}={\frac {\mu _{x}+X}{\mu _{y}+Y}}={\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}{\frac {1+{\frac {X}{\mu _{x}}}}{1+{\frac {Y}{\mu _{y}}}}}.}
両辺の対数を取ると ln （ T ） = ln （ μ x μ y ） + ln （ 1 + X μ x ） − ln （ 1 + Y μ y ） 。 {\displaystyle \ln(T)=\ln \left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+\ln \left(1+{\frac {X}{\mu _{x}}}\right)-\ln \left(1+{\frac {Y}{\mu _{y}}}\right).} 、 ln （ 1 + δ ） = δ − δ 2 2 + δ 3 3 + ⋯ {\displaystyle \ln(1+\delta )=\delta -{\frac {\delta ^{2}}{2}}+{\frac {\delta ^{3}}{3}}+\cdots } ln （ T ） ≈ ln （ μ x μ y ） + X μ x − Y μ y ～ ln （ μ x μ y ） + N （ 0 、 σ x 2 μ x 2 + σ y 2 μ y 2 − 2 カバー （ X 、 Y ） μ x μ y ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(T)&\approx \ln \left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+{\frac {X}{\mu _{x}}}-{\frac {Y}{\mu _{y}}}\\&\sim \ln \left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+{\mathcal {N}}\left(0,{\frac {\sigma _{x}^{2}}{\mu _{x}^{2}}}+{\frac {\sigma _{y}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}-2{\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\mu _{x}\mu _{y}}}\right).\end{aligned}}}
あるいは、ギアリーは1930年に次のように提案した。 t ≈ μ y T − μ x σ y 2 T 2 − 2 ρ σ x σ y T + σ x 2 {\displaystyle t\approx {\frac {\mu _{y}T-\mu _{x}}{\sqrt {\sigma _{y}^{2}T^{2}-2\rho \sigma _{x}\sigma _{y}T+\sigma _{x}^{2}}}}} 標準ガウス分布 に従う。この変換はギアリー・ヒンクリー変換 と呼ばれている。近似は、次の場合に良好である。 Y {\displaystyle Y} は 、 μ y > 3 σ y {\displaystyle \textstyle \mu _{y}>3\sigma _{y}}
一様分布 に従う 2 つの独立した確率変数がある場合、 p X （ x ） = { 1 、 0 < x < 1 0 、 さもないと {\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}} p Z （ z ） = { 1 2 、 0 < z < 1 1 2 z 2 、 z ≥ 1 0 、 さもないと 。 {\displaystyle p_{Z}(z)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&0<z<1\\{\tfrac {1}{2z^{2}}},&z\geq 1\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
させよう G {\displaystyle G} 正規 ある （ 0 、 1 ） {\displaystyle {\mathcal {(}}0,1)} Y {\displaystyle Y} そして Z {\displaystyle Z} カイ 二乗分布 である。 m {\displaystyle m} そして n {\displaystyle n} それぞれ 自由度は 独立しており、 f χ （ x 、 k ） = x （ k 2 − 1 ） e − x 2 2 k / 2 Γ （ k 2 ） 。 {\displaystyle f_{\chi }(x,k)={\frac {x^{\left({\tfrac {k}{2}}-1\right)}e^{-{\tfrac {x}{2}}}}{2^{k/2}\Gamma \left({\tfrac {k}{2}}\right)}}.}
G Y / m ～ t m {\textstyle {\frac {G}{\sqrt {Y/m}}}\sim t_{m}} はスチューデントのt 分布 です。Y / m Z / n = F m 、 n 、 {\textstyle {\frac {Y/m}{Z/n}}=F_{m,n},} F Y Y + Z ～ β （ m 2 、 n 2 ） {\textstyle {\frac {Y}{Y+Z}}\sim \beta ({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})} はベータ分布 であり、Y Z ～ β ′ （ m 2 、 n 2 ） {\textstyle {\frac {Y}{Z}}\sim \beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})} は標準 ベータ素数分布 です。もし V 1 ～ χ ′ k 1 2 （ λ ） {\displaystyle \textstyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )} 非心 二乗 分布 V 2 ～ χ ′ k 2 2 （ 0 ） {\displaystyle \textstyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)} V 1 {\displaystyle V_{1}} は ない V 2 {\displaystyle V_{2}} V 1 / k 1 V 2 / k 2 ～ F k 1 、 k 2 ′ （ λ ） 、 {\displaystyle {\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda ),} F 分布 。
m n F m 、 n ′ = β ′ （ m 2 、 n 2 ） {\textstyle {\tfrac {m}{n}}F'_{m,n}=\beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})} F m 、 n ′ = β ′ （ m 2 、 n 2 、 1 、 n m ） {\displaystyle F'_{m,n}=\beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}},1,{\tfrac {n}{m}})} する F m 、 n ′ {\displaystyle F'_{m,n}} F カイ二乗分布 の比率の PDF m 、 n {\displaystyle m,n} 。 [ d ]
F 、 m = 3 {\displaystyle m=3} n = 4 {\displaystyle n=4} 右裾の確率が5 F 3 、 4 （ 6.59 ） = ∫ 6.59 ∞ β ′ （ x ; m 2 、 n 2 、 1 、 n m ） d x = 0.05。 {\displaystyle F_{3,4}(6.59)=\int _{6.59}^{\infty }\beta '(x;{\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}},1,{\tfrac {n}{m}})\,dx=0.05.}
ガンマ分布 の U {\displaystyle U} そして V {\displaystyle V} 形状パラメータ を 持つ α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} そして α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} 、 U ～ Γ （ α 1 、 1 ） {\displaystyle \textstyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},1)} V ～ Γ （ α 2 、 1 ） {\displaystyle \textstyle V\sim \Gamma (\alpha _{2},1)} Γ （ x ; α 、 1 ） = （ x α − 1 e − x ） / Γ （ α ） {\displaystyle \textstyle \Gamma (x;\alpha ,1)=(x^{\alpha -1}e^{-x})/{\Gamma (\alpha )}}
U U + V ～ β （ α 1 、 α 2 ） 、 期待 = α 1 α 1 + α 2 ; U V ～ β ′ （ α 1 、 α 2 ） 、 期待 = α 1 α 2 − 1 、 α 2 > 1 ; V U ～ β ′ （ α 2 、 α 1 ） 、 期待 = α 2 α 1 − 1 、 α 1 > 1. {\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {U}{U+V}}&\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{ expectation }}&={\tfrac {\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}};\\[1ex]{\tfrac {U}{V}}&\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{ expectation }}&={\tfrac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}},\;\alpha _{2}>1;\\[1ex]{\tfrac {V}{U}}&\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1}),&{\text{ expectation }}&={\tfrac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}-1}},\;\alpha _{1}>1.\end{aligned}}}
もし U ～ Γ （ x ; α 、 1 ） {\displaystyle U\sim \Gamma (x;\alpha ,1)} θ U ～ Γ （ x ; α 、 θ ） = x α − 1 e − x / θ θ k Γ （ α ） 。 {\displaystyle \theta U\sim \Gamma (x;\alpha ,\theta )={\frac {x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\Gamma (\alpha )}}.} 注意 θ {\displaystyle \theta } は 、レートパラメータではなく、スケール パラメータです。
もし U ～ Γ （ α 1 、 θ 1 ） {\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta _{1})} V ～ Γ （ α 2 、 θ 2 ） {\displaystyle V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta _{2})} を再スケーリングすることによって θ {\displaystyle \theta } 、 U θ 1 U θ 1 + V θ 2 = θ 2 U θ 2 U + θ 1 V ～ β （ α 1 、 α 2 ） U θ 1 V θ 2 = θ 2 θ 1 U V ～ β ′ （ α 1 、 α 2 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\frac {U}{\theta _{1}}}{{\frac {U}{\theta _{1}}}+{\frac {V}{\theta _{2}}}}}&={\frac {\theta _{2}U}{\theta _{2}U+\theta _{1}V}}\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2})\\{\frac {\frac {U}{\theta _{1}}}{\frac {V}{\theta _{2}}}}&={\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}{\frac {U}{V}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2}).\end{aligned}}} U V ～ β ′ （ α 1 、 α 2 、 1 、 θ 1 θ 2 ） E [ U V ] = θ 1 θ 2 α 1 α 2 − 1 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {U}{V}}&\sim \beta '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[{\frac {U}{V}}\right]&={\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}},\end{aligned}}} β ′ （ α 、 β 、 p 、 q ） {\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)} 一般化 ベータ素数分布
上記から明らかなように、X ～ β ′ （ α 1 、 α 2 、 1 、 1 ） ≡ β ′ （ α 1 、 α 2 ） {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,1)\equiv \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2})} θ X ～ β ′ （ α 1 、 α 2 、 1 、 θ ） {\displaystyle \theta X\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,\theta )} β ′ （ x ; α 1 、 α 2 、 1 、 R ） = 1 R β ′ （ x R ; α 1 、 α 2 ） {\displaystyle \beta '(x;\alpha _{1},\alpha _{2},1,R)={\frac {1}{R}}\beta '({\frac {x}{R}};\alpha _{1},\alpha _{2})} U ～ Γ （ α 1 、 θ 1 ） 、 V ～ Γ （ α 2 、 θ 2 ） {\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta _{1}),V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta _{2})} U V ～ 1 R β ′ （ x R ; α 1 、 α 2 ） = （ x R ） α 1 − 1 （ 1 + x R ） α 1 + α 2 ⋅ 1 R B （ α 1 、 α 2 ） 、 {\displaystyle {\frac {U}{V}}\sim {\frac {1}{R}}\beta '({\frac {x}{R}};\alpha _{1},\alpha _{2})={\frac {\left({\frac {x}{R}}\right)^{\alpha _{1}-1}}{\left(1+{\frac {x}{R}}\right)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}}}}\cdot {\frac {1}{\;R\;B(\alpha _{1},\alpha _{2})}},} x ≥ 0 ; R = θ 1 θ 2 ; B （ α 1 、 α 2 ） = Γ （ α 1 ） Γ （ α 2 ） Γ （ α 1 + α 2 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}x&\geq 0;\\R&={\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}};\\B(\alpha _{1},\alpha _{2})&={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\Gamma (\alpha _{2})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2})}}.\end{aligned}}}
レイリー分布 X とYが レイリー分布 からの独立したサンプルである場合 f r （ r ） = （ r / σ 2 ） e − r 2 / 2 σ 2 、 r ≥ 0 {\displaystyle f_{r}(r)=(r/\sigma ^{2})e^{-r^{2}/2\sigma ^{2}},\;\;r\geq 0} Z = X / Y は分布に従います
f z （ z ） = 2 z （ 1 + z 2 ） 2 、 z ≥ 0 {\displaystyle f_{z}(z)={\frac {2z}{(1+z^{2})^{2}}},\;\;z\geq 0} F z （ z ） = 1 − 1 1 + z 2 = z 2 1 + z 2 、 z ≥ 0 {\displaystyle F_{z}(z)=1-{\frac {1}{1+z^{2}}}={\frac {z^{2}}{1+z^{2}}},\;\;\;z\geq 0} Z = α X / Y {\displaystyle Z=\alpha X/Y} f z （ z 、 α ） = 2 α z （ α + z 2 ） 2 、 z > 0 {\displaystyle f_{z}(z,\alpha )={\frac {2\alpha z}{(\alpha +z^{2})^{2}}},\;\;z>0} F z （ z 、 α ） = z 2 α + z 2 、 z ≥ 0 {\displaystyle F_{z}(z,\alpha )={\frac {z^{2}}{\alpha +z^{2}}},\;\;\;z\geq 0}
一般化ガンマ分布 は f （ x ; 1 、 d 、 r ） = r Γ （ d / r ） 1 d x d − 1 e − （ x / 1 ） r x ≥ 0 ; 1 、 d 、 r > 0 {\displaystyle f(x;a,d,r)={\frac {r}{\Gamma (d/r)a^{d}}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{r}}\;x\geq 0;\;\;a,\;d,\;r>0} aはレートパラメータではなく スケールパラメータ であり、 d は形状パラメータであることに注意してください。
もし
U ～ f （ x ; 1 1 、 d 1 、 r ） 、 V ～ f （ x ; 1 2 、 d 2 、 r ） 独立しており、 W = U / V {\displaystyle U\sim f(x;a_{1},d_{1},r),\;\;V\sim f(x;a_{2},d_{2},r){\text{ are independent, and }}W=U/V} それからg （ w ） = r （ 1 1 1 2 ） d 2 B （ d 1 r 、 d 2 r ） w − d 2 − 1 （ 1 + （ 1 2 1 1 ） − r w − r ） d 1 + d 2 r 、 w > 0 {\textstyle g(w)={\frac {r\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{d_{2}}}{B\left({\frac {d_{1}}{r}},{\frac {d_{2}}{r}}\right)}}{\frac {w^{-d_{2}-1}}{\left(1+\left({\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)^{-r}w^{-r}\right)^{\frac {d_{1}+d_{2}}{r}}}},\;\;w>0}
どこ
で B （ u 、 v ） = Γ （ u ） Γ （ v ） Γ （ u + v ） {\displaystyle B(u,v)={\frac {\Gamma (u)\Gamma (v)}{\Gamma (u+v)}}} .
さまざまなスケーリング係数の混合をモデル化する 上記の比率において、ガンマサンプルU Vは α 1 、 α 2 {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}} x α − 1 e − x / θ θ k Γ （ α ） {\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\Gamma (\alpha )}}} θ {\displaystyle \theta }
U V X = U U + V = 1 1 + B {\displaystyle X={\frac {U}{U+V}}={\frac {1}{1+B}}} U ～ Γ （ α 1 、 θ ） 、 V ～ Γ （ α 2 、 θ ） 、 θ {\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta ),V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta ),\theta } X ～ B e t 1 （ α 1 、 α 2 ） 、 B = V / U ～ B e t 1 ′ （ α 2 、 α 1 ） {\displaystyle X\sim \mathrm {Beta} (\alpha _{1},\alpha _{2}),B=V/U\sim \mathrm {Beta} '(\alpha _{2},\alpha _{1})}
V Y ～ U U + φ V = 1 1 + φ B 、 0 ≤ φ ≤ ∞ {\displaystyle Y\sim {\frac {U}{U+\varphi V}}={\frac {1}{1+\varphi B}},\;\;0\leq \varphi \leq \infty }
我々は持っていますB = 1 − X X {\displaystyle B={\frac {1-X}{X}}} Y Y = X φ + （ 1 − φ ） X {\displaystyle Y={\frac {X}{\varphi +(1-\varphi )X}}} d Y / d X = φ （ φ + （ 1 − φ ） X ） 2 {\displaystyle dY/dX={\frac {\varphi }{(\varphi +(1-\varphi )X)^{2}}}}
Xを Y f Y （ Y ） = f X （ X ） | d Y / d X | = β （ X 、 α 1 、 α 2 ） φ / [ φ + （ 1 − φ ） X ] 2 {\displaystyle f_{Y}(Y)={\frac {f_{X}(X)}{|dY/dX|}}={\frac {\beta (X,\alpha _{1},\alpha _{2})}{\varphi /[\varphi +(1-\varphi )X]^{2}}}}
注目X = φ Y 1 − （ 1 − φ ） Y {\displaystyle X={\frac {\varphi Y}{1-(1-\varphi )Y}}} f Y （ Y 、 φ ） = φ [ 1 − （ 1 − φ ） Y ] 2 β （ φ Y 1 − （ 1 − φ ） Y 、 α 1 、 α 2 ） 、 0 ≤ Y ≤ 1 {\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi )={\frac {\varphi }{[1-(1-\varphi )Y]^{2}}}\beta {\left({\frac {\varphi Y}{1-(1-\varphi )Y}},\alpha _{1},\alpha _{2}\right)},\;\;\;0\leq Y\leq 1}
したがって、もしU ～ Γ （ α 1 、 θ 1 ） {\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta _{1})} V ～ Γ （ α 2 、 θ 2 ） {\displaystyle V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta _{2})} Y = U U + V {\displaystyle Y={\frac {U}{U+V}}} f Y （ Y 、 φ ） {\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi )} φ = θ 2 θ 1 {\displaystyle \varphi ={\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}
Y Y ～ f Y （ Y 、 φ ） {\displaystyle Y\sim f_{Y}(Y,\varphi )}
Θ Y ～ f Y （ Y 、 φ 、 Θ ） {\displaystyle \Theta Y\sim f_{Y}(Y,\varphi ,\Theta )}
どこf Y （ Y 、 φ 、 Θ ） = φ / Θ [ 1 − （ 1 − φ ） Y / Θ ] 2 β （ φ Y / Θ 1 − （ 1 − φ ） Y / Θ 、 α 1 、 α 2 ） 、 0 ≤ Y ≤ Θ {\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi ,\Theta )={\frac {\varphi /\Theta }{[1-(1-\varphi )Y/\Theta ]^{2}}}\beta \left({\frac {\varphi Y/\Theta }{1-(1-\varphi )Y/\Theta }},\alpha _{1},\alpha _{2}\right),\;\;\;0\leq Y\leq \Theta }
Θ Y {\displaystyle \Theta Y} サンプルは
Θ U U + φ V {\displaystyle {\frac {\Theta U}{U+\varphi V}}}
ベータ分布からのサンプルの逆数 2つの変数の比率分布ではありませんが、1つの変数に関する以下の恒等式は有用です。
もしX ～ β （ α 、 β ） {\displaystyle X\sim \beta (\alpha ,\beta )} x = X 1 − X ～ β ′ （ α 、 β ） {\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )} もしY ～ β ′ （ α 、 β ） {\displaystyle \mathbf {Y} \sim \beta '(\alpha ,\beta )} y = 1 Y ～ β ′ （ β 、 α ） {\displaystyle y={\frac {1}{\mathbf {Y} }}\sim \beta '(\beta ,\alpha )} もしX ～ β （ α 、 β ） {\displaystyle X\sim \beta (\alpha ,\beta )} x = 1 X − 1 ～ β ′ （ β 、 α ） {\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {1}{X}}-1\sim \beta '(\beta ,\alpha )} もしY ～ β ′ （ α 、 β ） {\displaystyle \mathbf {Y} \sim \beta '(\alpha ,\beta )} y = Y 1 + Y ～ β （ α 、 β ） {\displaystyle y={\frac {\mathbf {Y} }{1+\mathbf {Y} }}\sim \beta (\alpha ,\beta )} 系
1 1 + Y = Y − 1 Y − 1 + 1 ～ β （ β 、 α ） {\displaystyle {\frac {1}{1+\mathbf {Y} }}={\frac {\mathbf {Y} ^{-1}}{\mathbf {Y} ^{-1}+1}}\sim \beta (\beta ,\alpha )}
1 + Y ～ { β （ β 、 α ） } − 1 {\displaystyle 1+\mathbf {Y} \sim \{\;\beta (\beta ,\alpha )\;\}^{-1}} 逆数の分布
β （ β 、 α ） {\displaystyle \beta (\beta ,\alpha )} サンプル。
もしU ～ Γ （ α 、 1 ） 、 V ～ Γ （ β 、 1 ） {\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha ,1),V\sim \Gamma (\beta ,1)} U V ～ β ′ （ α 、 β ） {\displaystyle {\frac {U}{V}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )} U / V 1 + U / V = U V + U ～ β （ α 、 β ） {\displaystyle {\frac {U/V}{1+U/V}}={\frac {U}{V+U}}\sim \beta (\alpha ,\beta )}
さらなる結果は、逆分布に関する 記事に記載されています。
X とY が平均 μ の独立な指数分布に従う確率変数である場合、X − Y μの 二重指数 分布に従う確率変数になります。
ポアソン分布と切断ポアソン分布 ポアソン変数の比率R = X / Y では、 Y が 有限確率でゼロになる場合があり、 R が定義されないという問題があります。これに対処するため、 Y のゼロサンプルを無視した、打ち切りまたは検閲された比率R ′ = X / Y を検討します。さらに、多くの医療系の調査では、 X とY の両方のゼロサンプルの信頼性に系統的な問題があり、いずれにせよゼロサンプルを無視するのが良い方法かもしれません。
ポアソン分布の帰無標本となる確率は e − λ {\displaystyle e^{-\lambda }} PDFは次のようになります 。 p ～ x （ x ; λ ） = 1 1 − e − λ e − λ λ x x ! 、 x ∈ 1 、 2 、 3 、 ⋯ {\displaystyle {\tilde {p}}_{x}(x;\lambda )={\frac {1}{1-e^{-\lambda }}}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}},\;\;\;x\in 1,2,3,\cdots } に従って、 n個 の独立した試行の場合、多次元切り捨てPDF は次のようになる。 p ～ （ x 1 、 x 2 、 … 、 x n ; λ ） = 1 （ 1 − e − λ ） n ∏ 私 = 1 n e − λ λ x 私 x 私 ! 、 x 私 ∈ 1 、 2 、 3 、 ⋯ {\displaystyle {\tilde {p}}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n};\lambda )={\frac {1}{\left(1-e^{-\lambda }\right)^{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{i}}}{x_{i}!}},\;\;\;x_{i}\in 1,2,3,\cdots } L = ln （ p ～ ） = − n ln （ 1 − e − λ ） − n λ + ln （ λ ） ∑ 私 = 1 n x 私 − ln ∏ 私 = 1 n （ x 私 ! ） 、 x 私 ∈ 1 、 2 、 3 、 ⋯ {\displaystyle L=\ln({\tilde {p}})=-n\ln \left(1-e^{-\lambda }\right)-n\lambda +\ln(\lambda )\sum _{i=1}^{n}x_{i}-\ln \prod _{i=1}^{n}(x_{i}!),\;\;\;x_{i}\in 1,2,3,\cdots } d L d λ = − n 1 − e − λ + 1 λ ∑ 私 = 1 n x 私 {\displaystyle {\frac {dL}{d\lambda }}={\frac {-n}{1-e^{-\lambda }}}+{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} λ ^ ML {\displaystyle {\hat {\lambda }}_{\text{ML}}} λ ^ ML 1 − e − λ ^ ML = 1 n ∑ 私 = 1 n x 私 = x ¯ {\displaystyle {\frac {{\hat {\lambda }}_{\text{ML}}}{1-e^{-{\hat {\lambda }}_{\text{ML}}}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\bar {x}}}
として注意λ ^ → 0 {\displaystyle {\hat {\lambda }}\to 0} x ¯ → 1 {\displaystyle {\bar {x}}\to 1} λ {\displaystyle \lambda } 切り捨てられた平均値を与える。 x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} は十分な統計量 であるλ {\displaystyle \lambda } λ ^ M L {\displaystyle {\hat {\lambda }}_{ML}} x ¯ = 1 n ∑ 私 = 1 n x 私 {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} これは、従来のポアソン分布 の方法論と一致する前の式です。
閉形式解が存在しないため、切り捨てられた以下の近似逆変換λ {\displaystyle \lambda } です 0 ≤ λ ≤ ∞ ; 1 ≤ x ¯ ≤ ∞ {\displaystyle 0\leq \lambda \leq \infty ;\;1\leq {\bar {x}}\leq \infty } λ ^ = x ¯ − e − （ x ¯ − 1 ） − 0.07 （ x ¯ − 1 ） e − 0.666 （ x ¯ − 1 ） + ε 、 | ε | < 0.006 {\displaystyle {\hat {\lambda }}={\bar {x}}-e^{-({\bar {x}}-1)}-0.07({\bar {x}}-1)e^{-0.666({\bar {x}}-1)}+\varepsilon ,\;\;\;|\varepsilon |<0.006} λ ^ = x ¯ {\displaystyle {\hat {\lambda }}={\bar {x}}} R = λ ^ X / λ ^ Y {\displaystyle R={\hat {\lambda }}_{X}/{\hat {\lambda }}_{Y}} λ ^ X {\displaystyle {\hat {\lambda }}_{X}} λ ^ Y {\displaystyle {\hat {\lambda }}_{Y}}
漸近的な大きなn λ {\displaystyle n\lambda } λ ^ {\displaystyle {\hat {\lambda }}} クラメール・ラオ境界 ）は V 1 r （ λ ^ ） ≥ − （ E [ δ 2 L δ λ 2 ] λ = λ ^ ） − 1 {\displaystyle \mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})\geq -\left(\mathbb {E} \left[{\frac {\delta ^{2}L}{\delta \lambda ^{2}}}\right]_{\lambda ={\hat {\lambda }}}\right)^{-1}}
ここでL を代入すると δ 2 L δ λ 2 = − n [ x ¯ λ 2 − e − λ （ 1 − e − λ ） 2 ] {\displaystyle {\frac {\delta ^{2}L}{\delta \lambda ^{2}}}=-n\left[{\frac {\bar {x}}{\lambda ^{2}}}-{\frac {e^{-\lambda }}{(1-e^{-\lambda })^{2}}}\right]} x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} V 1 r （ λ ^ ） ≥ λ ^ n （ 1 − e − λ ^ ） 2 1 − （ λ ^ + 1 ） e − λ ^ {\displaystyle \mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})\geq {\frac {\hat {\lambda }}{n}}{\frac {(1-e^{-{\hat {\lambda }}})^{2}}{1-({\hat {\lambda }}+1)e^{-{\hat {\lambda }}}}}}
平均 λ {\displaystyle \lambda } n 回の試行に基づくと、 nが 無限 λ {\displaystyle \lambda } V 1 r （ λ ） = λ / n 1 − e − λ [ 1 − λ e − λ 1 − e − λ ] {\displaystyle \mathbb {Var} (\lambda )={\frac {\lambda /n}{1-e^{-\lambda }}}\left[1-{\frac {\lambda e^{-\lambda }}{1-e^{-\lambda }}}\right]} n 個のサンプル について。コーエンは、pdfの分散に対する推定値の分散が、V 1 r （ λ ^ ） / V 1 r （ λ ） {\displaystyle \mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})/\mathbb {Var} (\lambda )} λ {\displaystyle \lambda } λ {\displaystyle \lambda }
これらの平均と分散のパラメータ推定値は、 X の並行推定値とともに、ポアソン比の正規近似または二項近似に適用できます。試行からのサンプルはポアソン過程にうまく適合しない場合があります。ポアソン切断に関する詳細な議論は、Dietz と Bohning によって行われ、ゼロ切断ポアソン分布の Wikipedia エントリがあります。
ダブルロマックス分布 この分布は、2 つのラプラス分布 の比です。 X とY を標準ラプラス分布に従う同一の確率変数とし、 z = X / Yとします。すると、 z の確率分布は次のようになります。
f （ x ） = 1 2 （ 1 + | z | ） 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\left(1+|z|\right)^{2}}}}
X とY の平均をa とする。すると、標準二重ロマックス分布は aを 中心に対称になる。
この分布は、平均値と分散が無限大である。
Zが 標準二重ロマックス分布に従う場合、1/ Z も標準二重ロマックス分布に従う。
標準的なロマックス分布は単峰性であり、ラプラス分布よりも裾が重い。
0 < a < 1 の場合、a 番目のモーメントが存在する。
Λ = | X | | X + Y | {\displaystyle \Lambda ={\frac {|\mathbf {X} |}{|\mathbf {X} +\mathbf {Y} |}}} E （ Z 1 ） = Γ （ 1 + 1 ） Γ （ 1 − 1 ） {\displaystyle E(Z^{a})={\frac {\Gamma (1+a)}{\Gamma (1-a)}}}
ここでΓは ガンマ関数 である。
多変量解析における比率分布 比率分布は多変量解析 にも現れる。ランダム行列X Yが ウィシャート分布 に従う場合、行列式 の比率はφ = | X | | Y | {\displaystyle \varphi ={\frac {|\mathbf {X} |}{|\mathbf {Y} |}}} は、独立したF 個の確率変数 の積に比例します。Xと Y が ウィシャート分布 から得られる場合、比率は Λ = | X | | X + Y | {\displaystyle \Lambda ={\frac {|\mathbf {X} |}{|\mathbf {X} +\mathbf {Y} |}}} ウィルクスのラムダ分布を 持つ。
ウィシャート行列分布に関して、S ～ W p （ Σ 、 ν + 1 ） {\displaystyle S\sim W_{p}(\Sigma ,\nu +1)} V {\displaystyle V} V T S V V T Σ V ～ χ ν 2 。 {\displaystyle {\frac {V^{T}SV}{V^{T}\Sigma V}}\sim \chi _{\nu }^{2}.}
サンプル数の 1 のずれは、サンプル共分散を形成する際のサンプル平均の推定から生じるものであり、これはコックランの定理 の結果である。同様に、 V T Σ − 1 V V T S − 1 V ～ χ ν − p + 1 2 、 {\displaystyle {\frac {V^{T}\Sigma ^{-1}V}{V^{T}S^{-1}V}}\sim \chi _{\nu -p+1}^{2},}
注記 ↑ これは正式には証明されていないが、ギアリーによって使用されたようだ。 ↑ ただし、X 1 {\displaystyle X_{1}} X 2 {\displaystyle X_{2}} 対数正規分布 に従う可能性がある。 ↑ もちろん、中心極限定理 を適用する際には、有限分散などの適切な、一般的に満たされる正則条件を前提としています。 ↑
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![{\displaystyle f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left[\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/692b61ad3c87cd15d2b1aa11783adcc25deb0fb2)
![{\displaystyle \operatorname {E} [(UV)^{p}]=\operatorname {E} [U^{p}]\cdot \operatorname {E} [V^{p}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fad3372488c92476bf1b81bb97cc9249a3196e9)
![{\displaystyle \operatorname {E} [(X/Y)^{p}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7171539fbc3f6d567bf2a5ab705e9bfe62cc713)
![{\displaystyle \operatorname {E} [(XZ)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\cdot \operatorname {E} [Y^{-p}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a421aa33382653b1de843512c6e0ac28392621)
![{\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [Y^{-p}]=\int _{0}^{\infty }y^{-p}f_{y}(y)dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412067880bfa6281aaec4e11c4326627640541a3)
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z^{p}]=\operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183100f28d21720a9011434eef53b9547324ef47)
![{\displaystyle \operatorname {E} [(X/Y)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\cdot \operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c10f10766dac1fb3545b483c922aa408510c130f)
![{\displaystyle \operatorname {E} [R^{p}]={\frac {\mathrm {B} (\alpha +p,\beta -p)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9521a477b1add5a025628abac55322ccd643355f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [R^{p}]&=\left.{\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\right/{\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\\[.5em]&={\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13fdd9b7198c71074a45ecdb424245554f112ea8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X/Y)&=\operatorname {E} ([X/Y]^{2})-\operatorname {E^{2}} (X/Y)\\&=\operatorname {E} (X^{2})\cdot \operatorname {E} (1/Y^{2})-\operatorname {E} ^{2}(X)\cdot \operatorname {E} ^{2}(1/Y).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7122274773fdc8cb9eac42878182f3adf5a6636c)
![{\displaystyle [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348d40bf3f8b7e1c00c4346440d7e2e4f0cc9b91)
![{\displaystyle p_{Z}^{\dagger }(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {p}{\mathrm {erf} [q]}}{\frac {1}{r}}{\frac {1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}{\frac {z}{r}}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\left[{\frac {z}{r}}\right]^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\exp \left({-{\frac {p^{2}\left({\frac {z}{r}}-1\right)^{2}}{1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\left[{\frac {z}{r}}\right]^{2}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a3a11761434a06fc5a8facb3f3babbb56029bd)
![{\displaystyle x/y\in [r,r+\delta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704f8600b0cdc241fbe2ba308a02114da721ea16)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{z}(z_{r},z_{i})&={\frac {1-|\rho |^{2}}{\pi \sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{2}}}\left({\frac {|z|^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{y}^{2}}}-2{\frac {\rho _{r}z_{r}-\rho _{i}z_{i}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}\right)^{-2}\\[1ex]&={\frac {1-|\rho |^{2}}{\pi \sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{2}}}\left(\left|{\frac {z}{\sigma _{x}}}-{\frac {\rho ^{*}}{\sigma _{y}}}\right|^{2}+{\frac {1-|\rho |^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}\right)^{-2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c596ff0fc00e1b363fe3b71c14842adc236903)
![{\displaystyle p_{Z}(z)={\begin{cases}{\frac {\left[\varphi (0)-\varphi (z)\right]}{z^{2}}},&z\neq 0\\{\frac {\varphi (0)}{2}},&z=0,\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ccefe7f476b40f274fe9c1e315aef0efeb9b309)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {U}{U+V}}&\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{ 期待値 }}&={\tfrac {\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}};\\[1ex]{\tfrac {U}{V}}&\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{ 期待値 }}&={\tfrac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}},\;\alpha _{2}>1;\\[1ex]{\tfrac {V}{U}}&\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1}),&{\text{ 期待値 }}&={\tfrac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}-1}},\;\alpha _{1}>1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ee9c915864716f0d645804cae32525660fcea1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {U}{V}}&\sim \beta '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[{\frac {U}{V}}\right]&={\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80bdd1c56ff028b83ed03623b77abe25a5c5593)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f_{A}(y|0<y\leq 1)={\frac {1}{B(\alpha _{1},\beta _{1})(\alpha _{2},\beta _{2})}}y^{\alpha _{1}-1}\int _{0}^{1}dp\;p^{\alpha 1+\alpha _{2}-1}(1-p)^{\beta _{2}-1}(1-py)^{\beta _{1}-1}\\[6pt]&f_{B}(y|1<y<\infty )={\frac {1}{B(\alpha _{1},\beta _{1})(\alpha _{2},\beta _{2})}}{\frac {1}{y^{\alpha _{2}+1}}}\int _{0}^{1}dp\;p^{\alpha 1+\alpha _{2}-1}(1-p)^{\beta _{1}-1}\left(1-{\frac {y}{p}}\right)^{\beta _{2}-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f021ecda3228bc47ce629b3b7d4a1cf5089480)
![{\displaystyle f_{Y}(Y)={\frac {f_{X}(X)}{|dY/dX|}}={\frac {\beta (X,\alpha _{1},\alpha _{2})}{\varphi /[\varphi +(1-\varphi )X]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d4f4aca532e9dffd0e39495cd1f3f0f2e961b8)
![{\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi )={\frac {\varphi }{[1-(1-\varphi )Y]^{2}}}\beta {\left({\frac {\varphi Y}{1-(1-\varphi )Y}},\alpha _{1},\alpha _{2}\right)},\;\;\;0\leq Y\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d13c2cd22626247619b503d34228258861f2f3e)
![{\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi ,\Theta )={\frac {\varphi /\Theta }{[1-(1-\varphi )Y/\Theta ]^{2}}}\beta \left({\frac {\varphi Y/\Theta }{1-(1-\varphi )Y/\Theta }},\alpha _{1},\alpha _{2}\right),\;\;\;0\leq Y\leq \Theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d2227af45c98a5fe264bacbd94b8119e6728d7)
![{\displaystyle \mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})\geq -\left(\mathbb {E} \left[{\frac {\delta ^{2}L}{\delta \lambda ^{2}}}\right]_{\lambda ={\hat {\lambda }}}\right)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c158b23e75d9fda80844a9340b3de19e20a75d)
![{\displaystyle {\frac {\delta ^{2}L}{\delta \lambda ^{2}}}=-n\left[{\frac {\bar {x}}{\lambda ^{2}}}-{\frac {e^{-\lambda }}{(1-e^{-\lambda })^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d08fb02fe61e2bc49dfc51bacefce9a92533b0)
![{\displaystyle \mathbb {Var} (\lambda )={\frac {\lambda /n}{1-e^{-\lambda }}}\left[1-{\frac {\lambda e^{-\lambda }}{1-e^{-\lambda }}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d5b4a7490a4da12f5d1e255df20fdc384d95fd)
