順序統計量

統計学において、統計標本のk番目の順序統計量は、その標本のk番目に小さい値に等しい。 ^{[ 1 ]} サイズが与えられた標本の場合${\displaystyle n}$k番目の順序統計量は次のように表される。${\displaystyle x_{(k)}}$、 と${\displaystyle 1\leq k\leq n}$順位統計量と並んで、順序統計量はノンパラメトリック統計と推論における最も基本的なツールの1つです。

順序統計量の重要な特殊ケースは、標本の最小値と最大値、および（後述するいくつかの条件付きで）標本の中央値とその他の標本分位数です。

連続分布からのランダムサンプルの順序統計量を分析するために確率論を使用する場合、累積分布関数を使用して分析を一様分布の順序統計量の場合に縮小します。

例えば、4つの数値が観測または記録され、標本サイズが4になったとします。標本値が

6、9、3、7

順序統計は次のようになります

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{(1)}&=3\\x_{(2)}&=6\\x_{(3)}&=7\\x_{(4)}&=9\end{aligned}}}$$

第一順序統計量（または最小順序統計量）は常に標本の最小値、つまり、

$${\displaystyle X_{(1)}=\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}}$$

ここで、一般的な慣例に従い、確率変数を表すには大文字を、実際の観測値を表すには小文字（上記参照）を使用します。

同様に、サンプルサイズがnの場合、n番目の順序統計量 (または最大の順序統計量) は最大値、つまり、

$${\displaystyle X_{(n)}=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}.}$$

標本範囲とは、最大値と最小値の差のことです。これは順序統計量の関数です。

$${\displaystyle {\rm {範囲}}\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}=X_{(n)}-X_{(1)}.}$$

探索的データ分析において、順序統計量と単純に関連している同様に重要な統計量として、標本四分位範囲があります。

標本中央値は順序統計量である場合もそうでない場合もある。なぜなら、中央値が1つだけなのは観測数nが奇数のときだけだからである。より正確には、n = 2m + 1 （ mは整数）の場合、標本中央値は${\displaystyle X_{(m+1)}}$そして、順序統計量でもあります。一方、nが偶数の場合、n = 2 mで、2 つの中央値があります。${\displaystyle X_{(m)}}$そして${\displaystyle X_{(m+1)}}$標本中央値は、上記2つの値（通常は平均値）の何らかの関数であり、順序統計量ではありません。同様のことが、すべての標本分位数にも当てはまります。

任意のランダム変数が与えられた場合${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ランダム変数${\displaystyle X_{(1)},X_{(2)},\ldots ,X_{(n)}}$ソートによって定義される${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$昇順。

ランダム変数の場合${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$独立かつ同一の分布に従う場合については、以下で扱います。一般に、${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$複数の母集団からサンプリングすることによって生じる可能性があります。次に、それらが独立しているが、必ずしも同一の分布ではない場合を考えます。その場合の同時確率分布は、バパット・ベグの定理によって与えられます。

以降、検討対象となる確率変数は連続であると仮定し、都合の良い場合には、確率密度関数（PDF）を持つ、すなわち絶対的に連続であると仮定します。点に質量を割り当てる分布（特に離散分布）の解析の特殊性については、最後に説明します。

興味深い疑問は、順序統計量が基礎となる分布の分位点の推定値としてどの程度有効であるかということである。

順序統計量間の相互情報量とfダイバージェンスも考慮されている。^{[ 10 ]}例えば、親分布が連続である場合、すべての${\displaystyle 1\leq r,m\leq n}$$${\displaystyle I(X_{(r)};X_{(m)})=I(U_{(r)};U_{(m)}),}$$ 言い換えれば、相互情報量は親分布とは無関係です。離散確率変数の場合、等式は成り立たず、次の式のみとなります。 $${\displaystyle I(X_{(r)};X_{(m)})\leq I(U_{(r)};U_{(m)}),}$$

一様順序統計量間の相互情報量は次のように与えられる。 $${\displaystyle I(U_{(r)};U_{(m)})=T_{m-1}+T_{n-r}-T_{m-r+1}-T_{n}}$$ どこ $${\displaystyle T_{k}=\log(k!)-kH_{k}}$$ どこ${\displaystyle H_{k}}$は${\displaystyle k}$第 1 次高調波数。

一次統計量の分布のモーメントは、ノンパラメトリック密度推定量を開発するために使用できます。^{[ 11 ]}密度を推定したいとします。${\displaystyle f_{X}}$その時点で${\displaystyle x^{*}}$確率変数について考えてみましょう。${\displaystyle Y_{i}=|X_{i}-x^{*}|}$分布関数を持つ独立同分布（iid）である。${\displaystyle g_{Y}(y)=f_{X}(y+x^{*})+f_{X}(x^{*}-y)}$。 特に、${\displaystyle f_{X}(x^{*})={\frac {g_{Y}(0)}{2}}}$。

一次統計量の期待値${\displaystyle Y_{(1)}}$サンプルが与えられた${\displaystyle N}$総観測値、

$${\displaystyle E(Y_{(1)})={\frac {1}{(N+1)g(0)}}+{\frac {1}{(N+1)(N+2)}}\int _{0}^{1}Q''(z)\delta _{N+1}(z)\,dz}$$

どこ${\displaystyle Q}$は、分布に関連付けられた分位関数です。${\displaystyle g_{Y}}$、 そして${\displaystyle \delta _{N}(z)=(N+1)(1-z)^{N}}$この方程式はジャックナイフ法と組み合わせることで、以下の密度推定アルゴリズムの基礎となる。

 入力: サンプル${\displaystyle N}$観察結果。${\displaystyle \{x_{\ell }\}_{\ell =1}^{M}}$密度評価ポイント。調整パラメータ${\displaystyle a\in (0,1)}$（通常は1/3） 出力：${\displaystyle \{{\hat {f}}_{\ell }\}_{\ell =1}^{M}}$評価地点における推定密度。

 1：セット${\displaystyle m_{N}=\operatorname {round} (N^{1-a})}$ 2：セット${\displaystyle s_{N}={\frac {N}{m_{N}}}}$ 3: 作成する${\displaystyle s_{N}\times m_{N}}$マトリックス${\displaystyle M_{ij}}$保持する${\displaystyle m_{N}}$サブセット${\displaystyle s_{N}}$それぞれの観察結果。 4：ベクトルを作成する${\displaystyle {\hat {f}}}$密度評価を保持する。5 :${\displaystyle \ell =1\to M}$6 : のために${\displaystyle k=1\to m_{N}}$7 ：最も近い距離を見つける${\displaystyle d_{\ell k}}$現在まで${\displaystyle x_{\ell }}$内部で${\displaystyle k}$番目の部分集合 8: end for 9: までの距離のサブセット平均を計算します${\displaystyle x_{\ell }:d_{\ell }=\sum _{k=1}^{m_{N}}{\frac {d_{\ell k}}{m_{N}}}}$ 10: 密度推定値を計算します${\displaystyle x_{\ell }:{\hat {f}}_{\ell }={\frac {1}{2(1+s_{N})d_{\ell }}}}$ 11: 終了 12:戻る${\displaystyle {\hat {f}}}$

ヒストグラムやカーネルベースのアプローチにおける帯域幅/長さに基づく調整パラメータとは対照的に、順序統計量に基づく密度推定量の調整パラメータはサンプルサブセットのサイズです。このような推定量は、ヒストグラムやカーネルベースのアプローチよりも頑健であり、例えばコーシー分布のような密度（有限モーメントを持たない）は、IQRベースの帯域幅などの特別な修正を必要とせずに推測できます。これは、基となる分布の期待値が存在する場合、順序統計量の1次モーメントが常に存在するが、その逆は必ずしも真ではないためです。^{[ 12 ]}

仮定する${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$は、累積分布関数を持つ離散分布からの独立同分布の確率変数である。${\displaystyle F(x)}$確率質量関数${\displaystyle f(x)}$確率を求めるには${\displaystyle k^{\text{th}}}$順序統計量の場合、まず3つの値が必要です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=\Pr(X<x)=F(x)-f(x),\\p_{2}&=\Pr(X=x)=f(x),{\text{ and }}\\p_{3}&=\Pr(X>x)=1-F(x).\end{aligned}}}$$

累積分布関数${\displaystyle k^{\text{th}}}$順序統計量は、次の点に注意することで計算できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X_{(k)}\leq x)&=\Pr({\text{there are at least }}k{\text{ observations less than or equal to }}x),\\&=\Pr({\text{there are at most }}n-k{\text{ observations greater than }}x),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{\binom {n}{j}}p_{3}^{j}(p_{1}+p_{2})^{n-j}.\end{aligned}}}$$

同様に、${\displaystyle P(X_{(k)}<x)}$は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X_{(k)}<x)&=\Pr({\text{there are at least }}k{\text{ observations less than }}x),\\&=\Pr({\text{there are at most }}n-k{\text{ observations greater than or equal to }}x),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{n \choose j}(p_{2}+p_{3})^{j}(p_{1})^{n-j}.\end{aligned}}}$$

確率質量関数は${\displaystyle X_{(k)}}$これはこれらの値の差、つまり

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X_{(k)}=x)&=\Pr(X_{(k)}\leq x)-\Pr(X_{(k)}<x),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{\binom {n}{j}}\left[p_{3}^{j}(p_{1}+p_{2})^{n-j}-(p_{2}+p_{3})^{j}(p_{1})^{n-j}\right],\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{\binom {n}{j}}\left[\left(1-F(x)\right)^{j}F(x)^{n-j}-\left(1-F(x)+f(x)\right)^{j}\left(F(x)-f(x)\right)^{n-j}\right].\end{aligned}}}$$

リストのk番目に小さい（または大きい）要素を計算する問題は選択問題と呼ばれ、選択アルゴリズムによって解決されます。この問題は非常に大きなリストでは困難ですが、リストが完全に順序付けされていない場合でも、リストの要素数に比例した時間でこの問題を解決できる高度な選択アルゴリズムが作成されています。データが特定の特殊なデータ構造に格納されている場合、この時間は O(log n ) に短縮できます。多くのアプリケーションではすべての順序統計量が必要であり、その場合はソートアルゴリズムを使用でき、所要時間は O( n log n ) です。

順序統計量は、信頼性理論、金融数学、生存分析、疫学、スポーツ、品質管理、保険数理リスクなどの分野で応用されています。これらの分野における順序統計量の応用に関する研究は、膨大な文献に収められています。

例えば、最近の保険数理リスクへの応用例は^{[ 13 ]}に見られ、そこでは記録請求額とk番目の記録請求額に関する加重保険料の原則がいくつか示されている。

• ランキット
• 箱ひげ図
• BRS不平等
• 付随的（統計）
• フィッシャー・ティペット分布
• 独立ではあるが必ずしも同一分布ではない確率変数の順序統計量に関するバパット・ベグの定理
• ベルンシュタイン多項式
• L推定量– 順序統計量の線形結合
• 順位サイズ分布
• 選択アルゴリズム

• PlanetMathの順序統計情報。 2005年2月2日取得。
• Weisstein, Eric W. 「順序統計量」 . MathWorld .2005年2月2日に取得
• C++ソースコード動的順序統計