双曲線分布

双曲線

パラメータ	${\displaystyle \mu}$ 位置(実数) (実数)非対称パラメータ (実数)スケールパラメータ(実数) ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \delta}$ ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\gamma }{2\alpha \delta K_{1}(\delta \gamma )}}\;e^{-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x- \mu )^{2}}}+\beta (x-\mu )}}$ ${\displaystyle K_{\lambda}}$第二種修正ベッセル関数を表す
平均	${\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta K_{2}(\delta \gamma )}{\gamma K_{1}(\delta \gamma )}}}$
モード	${\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta }{\gamma }}}$
分散	${\displaystyle {\frac {\delta K_{2}(\delta \gamma )}{\gamma K_{1}(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{ 2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{3}(\delta \gamma )}{K_{1}(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{2}^{2}(\delta \gamma )}{K_{1}^{2}(\delta \gamma )}}\right)}$
MGF の	${\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma K_{1}(\delta {\sqrt {(\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2})}}) {{\sqrt {(\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2})}}K_{1}(\delta \gamma )}}}$

双曲分布は、確率密度関数の対数が双曲線であることを特徴とする連続確率分布です。したがって、分布は指数的に減少し、正規分布よりも緩やかです。したがって、数値的に大きな値が正規分布の場合よりも起こりやすい現象をモデル化するのに適しています。例としては、金融資産からの収益や乱流風速があります。双曲分布は、一般化双曲分布のサブクラスを形成します。

この分布の起源は、ラルフ・バグノルドが著書『吹き飛砂と砂漠の砂丘の物理学』（1941年）で発表した、砂の堆積物の経験的粒度分布のヒストグラムの対数は双曲線を形成する傾向があるという観察結果にあります。この観察結果は、1977年の論文^[1]でオーレ・バーンドルフ＝ニールセンによって数学的に形式化され、そこで彼は、双曲線分布が正規分布のランダムな混合であるという事実を利用して、 一般化双曲線分布も導入しました。