裾の重い分布

ファットテール分布とは、正規分布や指数分布に比べて歪度や尖度が大きい確率分布のことです。一般的には、ファットテールとヘビーテールという用語は同義語として使われることもありますが、ファットテールはヘビーテールの真部分集合として定義される場合もあります。研究コミュニティによってどちらか一方を好むのは、主に歴史的な理由によるものであり、それぞれの定義の正確さにも違いがあるかもしれません。

裾の厚い分布は、物理学、地球科学、経済学、政治学など、さまざまな分野で経験的に確認されています。裾の厚い分布のクラスには、裾がべき乗則のように減衰するものがあり、これは科学文献での使用における一般的な参照点となっています。しかし、裾の厚い分布には、対数正規分布など、他のゆっくりと減衰する分布も含まれます。^{[ 1 ]}

裾の厚い分布の反対のものは、裾の薄い分布であり、その説明も同様に曖昧である。

最も極端なファットテールのケースは、裾がべき乗則 のように減衰する分布によって与えられる。

つまり、確率変数Xの相補累積分布が次のように表現できる場合

${\displaystyle \Pr \left\{\ X>x\ \right\}\sim x^{-\alpha }\quad }$として${\displaystyle \quad x\to \infty \quad }$のために${\displaystyle \quad \alpha >0\;,}$

分布がファットテールであると言われるのは、${\displaystyle \alpha <2}$このような値の場合、分散と裾野の歪度は数学的に定義されず（べき乗則分布の特別な性質）、したがって正規分布や指数分布よりも大きくなります。${\displaystyle \ \alpha >2\ ,}$ファットテールの主張はより曖昧である。なぜなら、このパラメータ範囲では、分散、歪度、尖度は、の正確な値に応じて有限になる可能性があるからである。${\displaystyle \ \alpha \ ,}$そのため、高分散正規分布や指数分布の裾野よりも小さくなる可能性がある。この曖昧さは、何がファットテール分布であるか、あるいはそうでないかについての意見の相違につながることが多い。${\displaystyle \ k>\alpha -1\ ,}$の${\displaystyle \ k^{\mathsf {th}}\ }$モーメントは無限であるため、すべてのべき乗則分布に対して、いくつかのモーメントは定義されない。^{[ 2 ]}

注記

ここでチルダ表記「${\displaystyle \sim }$「」は、分布の裾野がべき乗則のように減衰することを意味します。より専門的に言えば、関数の漸近的等価性を指し、つまり、それらの比率が漸近的に定数に近づくことを意味します。

正規分布では、裾の厚い分布と比較して、平均値から標準偏差の5倍以上乖離する事象（「5シグマ事象」）の発生確率が低くなります。つまり、正規分布では、裾の厚い分布に比べて極端な事象が発生する可能性が低くなります。コーシー分布などの裾の厚い分布（および正規分布を除く他のすべての安定分布）では、「シグマが定義されていません」（より厳密に言えば、分散が定義されていません）。

その結果、データが基礎となる裾の厚い分布から生じる場合、リスクの「正規分布」モデルを無理やり当てはめ、有限のサンプルサイズに基づいて（必然的に）シグマを推定すると、予測の難しさ（およびリスク）の真の度合いを過小評価することになります。ブノワ・マンデルブロやナシム・タレブをはじめとする多くの人々が、正規分布モデルのこの欠点を指摘し、安定分布のような裾の厚い分布が金融でよく見られる資産収益を支配していると提唱しています。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

オプション価格設定のブラック・ショールズモデルは正規分布に基づいています。分布が実際には裾の厚い分布である場合、 5シグマまたは7シグマの事象が正規分布の予測よりもはるかに起こりやすいため、このモデルはアウトオブザマネーのオプションを過小評価することになります。^{[ 6 ]}

金融の世界では、ファットテールはしばしば発生しますが、それがもたらす追加リスクのため、望ましくないと考えられています。たとえば、ある投資戦略の1年後の期待収益率が、標準偏差の5倍になる場合があります。正規分布を仮定すると、その戦略が失敗する（マイナスの収益となる）確率は100万分の1未満ですが、実際にはそれよりも高くなる可能性があります。金融の世界で正規分布が現れるのは、資産の価値や価格に影響を与える要因が数学的に「扱いやすい」性質を持ち、中心極限定理がそのような分布を規定しているためです。しかし、現実世界の衝撃的な出来事（石油ショック、大企業の倒産、政治情勢の急激な変化など）は、通常、数学的に扱いやすい性質を持ちません。

歴史的な例としては、1929年のウォール街大暴落、ブラックマンデー（1987年）、ドットコムバブル、2008年の金融危機、2010年のフラッシュクラッシュ、2020年の株式市場暴落 、および一部の通貨のペッグ解除などが挙げられる。^{[ 7 ]}

市場収益率分布の裾野の広さには、投資家の過度の楽観主義や悲観主義が市場の大きな変動につながるなど、行動的な要因も関係しており、そのため行動ファイナンスで研究されている。

マーケティングにおいてよく見られる80対20の法則（例：「顧客の20％が収益の80％を占める」）は、データに潜むファットテール分布の現れである。^{[ 8 ]}

レコード業界、特にレコード市場では「ファットテール」が観察される。週ごとのレコード売上変化の対数の確率密度関数は、尖度が非常に高く、正規分布の場合よりも最大値が狭く大きく、裾が厚いという特徴がある。一方、この分布には、チャート入りした新譜のプロモーションによる売上増加に関連するファットテールが1つだけ存在する。^{[ 9 ]}

• テールリスク
• ブラックスワン理論
• 7つのランダムな状態
• タレブの分布

• 金融時系列におけるファットテールの例
• ファットテール分布 – ジョン・A・ロブ（ 2017年3月17日にウェイバックマシンにアーカイブ）