ロケーションスケールファミリー

確率論、特に数理統計学において、位置スケール族とは、位置パラメータと非負のスケールパラメータによってパラメータ化された確率分布の族のことである。確率分布関数がこのような族に属する任意のランダム変数について、分布関数も族に属する（ここで、 は「分布が等しい」、つまり「 と同じ分布を持つ」ことを意味する）。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y{\stackrel {d}{=}}a+bX}$${\displaystyle {\stackrel {d}{=}}}$

言い換えると、すべての累積分布関数と任意の実数およびに対して、分布関数が のメンバーでもある場合、確率分布のクラスは位置スケール族です。 ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle F\in \Omega }$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle b>0}$${\displaystyle G(x)=F(a+bx)}$${\displaystyle \オメガ}$

• が累積分布関数を持つ場合、 は累積分布関数を持ちます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)}$${\displaystyle Y{=}a+bX}$${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}\left({\frac {ya}{b}}\right)}$
• が確率質量関数を持つ離散確率変数である場合、 は確率質量関数 を持つ離散確率変数です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{X}(x)=P(X=x)}$${\displaystyle Y{=}a+bX}$${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}\left({\frac {ya}{b}}\right)}$
• が確率密度関数を持つ連続ランダム変数である場合、 は確率密度関数 を持つ連続ランダム変数です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle Y{=}a+bX}$${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{b}}f_{X}\left({\frac {ya}{b}}\right)}$

さらに、および がその分布関数が族のメンバーである 2 つのランダム変数であり、最初の 2 つのモーメントが存在し、 が 平均 0 で分散が 1 であると仮定すると、 はと表すことができます。ここで、 およびは の平均と標準偏差です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y{\stackrel {d}{=}}\mu _{Y}+\sigma _{Y}X}$${\displaystyle \mu_{Y}}$${\displaystyle \sigma_{Y}}$${\displaystyle Y}$

意思決定理論では、意思決定者が利用できるすべての代替分布が同じ場所-スケール族に属し、最初の2つのモーメントが有限である場合、2モーメント意思決定モデルを適用でき、意思決定は分布の平均と分散の観点から組み立てられる。[ 1 ^{] [2] [3]}

多くの場合、位置スケール ファミリーは、すべてのメンバーが同じ関数形式を持つものに限定されます。ほとんどの位置スケール ファミリーは単変量ですが、すべてではありません。分布の機能形式がファミリー全体で一貫しているよく知られたファミリーには、次のものがあります。

• 正規分布
• 楕円分布
• コーシー分布
• 均一分布（連続）
• 一様分布（離散）
• ロジスティック分布
• ラプラス分布
• スチューデントのt分布
• 一般化極値分布

以下は、分布の「標準」バージョンの関数のみが利用可能な統計パッケージまたはプログラミング環境で、位置スケール ファミリを実装する方法を示しています。これはR用に設計されていますが、どの言語やライブラリにも一般化できます。

ここでの例は、スチューデントのt分布です。これは通常、R では単一の自由度パラメータを持つ標準形式でのみ提供されますdf。 を添付した以下のバージョンは、これを任意の位置パラメータとスケールパラメータを持つ一般化スチューデントの t 分布_lsに一般化する方法を示しています。 ms

s標準t分布の標準偏差は 1 ではない ため、一般化関数には標準偏差がないことに注意してください。

• http://www.randomservices.org/random/special/LocationScale.html