多変量t分布

多変量t

表記	${\displaystyle t_{\nu }({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$
パラメータ	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=[\mu _{1},\dots ,\mu _{p}]^{T}}$ 位置（実数 ベクトル）スケール行列（正定値実数行列）（実数）は自由度を表す${\displaystyle p\times 1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle \nu >0}$
サポート	${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p}\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2}}$
ドイツ連邦共和国	解析的な表現はないが、近似値については本文を参照
平均	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$場合; それ以外の場合未定義${\displaystyle \nu >1}$
中央値	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$
モード	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$
分散	${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}{\boldsymbol {\Sigma }}}$場合; それ以外の場合未定義${\displaystyle \nu >2}$
歪度	0

統計学において、多変量t分布（または多変量スチューデント分布）は、多変量確率分布です。これは、単変量ランダム変数に適用できる分布であるスチューデントのt分布をランダムベクトルに一般化したものです。ランダム行列の場合はこの構造内で処理できますが、行列t分布は異なり、行列構造を特に利用します。

多変量t分布を構築する一般的な方法の1つは、次元の場合、およびが独立で、それぞれおよび（つまり、多変量正規分布およびカイ2乗分布）として分布している場合、行列はp × p 行列 であり、が定数ベクトルである場合、ランダム変数の密度は^[1]であるという観察に基づいています。${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle u}$${\displaystyle N({\mathbf {0} },{\boldsymbol {\Sigma }})}$${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } \,}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\textstyle {\mathbf {x} }={\mathbf {y} }/{\sqrt {u/\nu }}+{\boldsymbol {\mu }}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2}}$

は、パラメータ を持つ多変量t分布として分布していると言われています。共分散は( に対して) で与えられるため、 は共分散行列ではないことに注意してください。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\mu }},\nu }$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle \nu /(\nu -2)\mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle \nu >2}$

多変量t分布の建設的な定義は、同時にサンプリング アルゴリズムとしても機能します。

1. および を独立して生成します。${\displaystyle u\sim \chi _{\nu }^{2}}$${\displaystyle \mathbf {y} \sim N(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})}$
2. 計算します。${\displaystyle \mathbf {x} \gets {\sqrt {\nu /u}}\mathbf {y} +{\boldsymbol {\mu }}}$

この定式化により、多変量t分布の階層的表現が正規分布のスケール混合として生成されます。ここで、 は密度が に比例するガンマ分布を示し、条件付きで に従います。 ${\displaystyle u\sim \mathrm {Ga} (\nu /2,\nu /2)}$${\displaystyle \mathrm {Ga} (a,b)}$${\displaystyle x^{a-1}e^{-bx}}$${\displaystyle \mathbf {x} \mid u}$${\displaystyle N({\boldsymbol {\mu }},u^{-1}{\boldsymbol {\Sigma }})}$

特殊なケースでは、分布は多変量コーシー分布になります。 ${\displaystyle \nu =1}$

実際には、スチューデントのt分布の多変量一般化の候補は数多くあります。この分野の広範な調査は、KotzとNadarajah (2004)によって行われています。本質的な問題は、単変量の場合の式の適切な一般化である、複数の変数の確率密度関数を定義することです。1次元( )、および では、確率密度関数は次のようになります。${\displaystyle p=1}$${\displaystyle t=x-\mu }$${\displaystyle \Sigma =1}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma [(\nu +1)/2]}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma [\nu /2]}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}}$

一つのアプローチは、複数の変数の対応する関数を使用することです。これは楕円分布理論の基本的な考え方で、変数の対応する関数を書き留め、それをすべての の2次関数に置き換えます。これは、すべての周辺分布が同じ自由度 を持つ場合にのみ意味をなすことは明らかです。 を使用すると、多変量密度関数の簡単な選択が得られます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t^{2}}$${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mathbf {A} ={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}$

${\displaystyle f(\mathbf {t} )={\frac {\Gamma ((\nu +p)/2)\left|\mathbf {A} \right|^{1/2}}{{\sqrt {\nu ^{p}\pi ^{p}\,}}\,\Gamma (\nu /2)}}\left(1+\sum _{i,j=1}^{p,p}A_{ij}t_{i}t_{j}/\nu \right)^{-(\nu +p)/2}}$

これは標準ですが、唯一の選択肢ではありません。

重要な特別なケースは、標準的な二変量t分布である。、p = 2:

${\displaystyle f(t_{1},t_{2})={\frac {\left|\mathbf {A} \right|^{1/2}}{2\pi }}\left(1+\sum _{i,j=1}^{2,2}A_{ij}t_{i}t_{j}/\nu \right)^{-(\nu +2)/2}}$

ご了承ください。 ${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\pi \ \nu \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\pi }}}$

さて、が単位行列であれば、密度は ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle f(t_{1},t_{2})={\frac {1}{2\pi }}\left(1+(t_{1}^{2}+t_{2}^{2})/\nu \right)^{-(\nu +2)/2}.}$

標準表現の難しさはこの式から明らかです。この式は、周辺 1 次元分布の積に因数分解されません。 が対角の場合、標準表現は相関がゼロであることが示されますが、周辺分布は統計的に独立ではありません。 ${\displaystyle \Sigma }$

楕円多変量分布の注目すべき自発的出現は、資産ポートフォリオの古典的なマルコウィッツ最小分散計量経済学的解のような多変量正規データに最小二乗法を適用したときに正式な数学的出現となることである。^[2]

1 次元の累積分布関数(cdf)の定義は、次の確率 (ここでは実数ベクトル) を定義することによって、複数の次元に拡張できます。${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle F(\mathbf {x} )=\mathbb {P} (\mathbf {X} \leq \mathbf {x} ),\quad {\textrm {where}}\;\;\mathbf {X} \sim t_{\nu }({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}).}$

には簡単な公式はないが、モンテカルロ積分によって数値的に近似することはできる。^{[3] [4] [5]}${\displaystyle F(\mathbf {x} )}$

^{これはMuirhead [6]} とCornish ^[7]によって開発されましたが、後にRoth ^{[1]とDing [8]}によって上記のより単純なカイ2乗比表現を使用して導出されました。 ベクトルが多変量t分布に従い、2つの要素 のサブベクトルに分割されるとします。${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{1},p_{2}}$

${\displaystyle X_{p}={\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\end{bmatrix}}\sim t_{p}\left(\mu _{p},\Sigma _{p\times p},\nu \right)}$

ここで、既知の平均ベクトルは であり、スケール行列は です。 ${\displaystyle p_{1}+p_{2}=p}$${\displaystyle \mu _{p}={\begin{bmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \Sigma _{p\times p}={\begin{bmatrix}\Sigma _{11}&\Sigma _{12}\\\Sigma _{21}&\Sigma _{22}\end{bmatrix}}}$

Roth と Ding は、条件付き分布がパラメータが変更された新しい t分布であることを発見しました。 ${\displaystyle p(X_{1}|X_{2})}$

${\displaystyle X_{1}|X_{2}\sim t_{p_{1}}\left(\mu _{1|2},{\frac {\nu +d_{2}}{\nu +p_{2}}}\Sigma _{11|2},\nu +p_{2}\right)}$

Kotz らによる同等の表現は、やや簡潔ではありません。

このように、条件付き分布は2段階の手順として最も簡単に表現されます。まず上記の中間分布を作成し 、次に以下のパラメータを使用して明示的な条件付き分布を作成します。 ${\displaystyle X_{1}|X_{2}\sim t_{p_{1}}\left(\mu _{1|2},\Psi ,{\tilde {\nu }}\right)}$

${\displaystyle f(X_{1}|X_{2})={\frac {\Gamma \left[({\tilde {\nu }}+p_{1})/2\right]}{\Gamma ({\tilde {\nu }}/2)(\pi \,{\tilde {\nu }})^{p_{1}/2}\left|{\boldsymbol {\Psi }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\tilde {\nu }}}(X_{1}-\mu _{1|2})^{T}{\boldsymbol {\Psi }}^{-1}(X_{1}-\mu _{1|2})\right]^{-({\tilde {\nu }}+p_{1})/2}}$

どこ

${\displaystyle {\tilde {\nu }}=\nu +p_{2}}$ 有効自由度は、使用されない変数の数によって増加します。${\displaystyle \nu }$${\displaystyle p_{2}}$

${\displaystyle \mu _{1|2}=\mu _{1}+\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\left(X_{2}-\mu _{2}\right)}$は、${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle \Sigma _{11|2}=\Sigma _{11}-\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\Sigma _{21}}$は のシュアー補集合です。${\displaystyle \Sigma _{22}{\text{ in }}\Sigma }$

${\displaystyle d_{2}=(X_{2}-\mu _{2})^{T}\Sigma _{22}^{-1}(X_{2}-\mu _{2})}$スケール行列からのマハラノビス距離の2乗${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle \mu _{2}}$${\displaystyle \Sigma _{22}}$

${\displaystyle \Psi ={\frac {\nu +d_{2}}{\nu +p_{2}}}\Sigma _{11|2}}$は の条件付き共分散です。${\displaystyle {\tilde {\nu }}>2}$

このような分布の使用は、数理ファイナンスへの応用、特にスチューデントのt コピュラの使用により新たな関心を集めています。^[9]

楕円分布として構築され、^[10]球対称でスケーリングのない最も単純な中心化ケースをとると、多変量t -PDFは次の形になります。 ${\displaystyle \Sigma =\operatorname {I} \,}$

${\displaystyle f_{X}(X)=g(X^{T}X)={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}(\nu +p)\,{\big )}}{(\nu \pi )^{\,p/2}\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}}{\bigg (}1+\nu ^{-1}X^{T}X{\bigg )}^{-(\nu +p)/2}}$

ここで、およびは ミュアヘッド^[6]のセクション1.5で定義された自由度である。の共分散は ${\displaystyle X=(x_{1},\cdots ,x_{p})^{T}{\text{ is a }}p{\text{-vector}}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(XX^{T}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x_{1},\dots ,x_{p})XX^{T}\,dx_{1}\dots dx_{p}={\frac {\nu }{\nu -2}}\operatorname {I} }$

目的は、直交座標のPDFを放射状に変換することである。KibriaとJoarder ^[11]は放射状測度を定義し 、密度がr ₂のみに依存することに注目して、次式を得る。${\displaystyle r_{2}=R^{2}={\frac {X^{T}X}{p}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [r_{2}]=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x_{1},\dots ,x_{p}){\frac {X^{T}X}{p}}\,dx_{1}\dots dx_{p}={\frac {\nu }{\nu -2}}}$

これは、相関はないが統計的に依存する要素を持つ単変量重裾ゼロ平均ランダムシーケンスとして扱われる 要素ベクトルの分散に相当します。${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {X^{T}X}{p}}}$フィッシャー・スネデコール分布または分布に従います。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle r_{2}\sim f_{F}(p,\nu )=B{\bigg (}{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}^{-1}{\bigg (}{\frac {p}{\nu }}{\bigg )}^{p/2}r_{2}^{p/2-1}{\bigg (}1+{\frac {p}{\nu }}r_{2}{\bigg )}^{-(p+\nu )/2}}$

平均値を持つ。 分布は、標本標準偏差で正規化した後の標本データの二乗和の検定で自然に発生します。 ${\displaystyle \operatorname {E} [r_{2}]={\frac {\nu }{\nu -2}}}$${\displaystyle F}$

上の式で確率変数を に変更し、 -ベクトルを保持すると、確率分布は 次のようになります。${\displaystyle y={\frac {p}{\nu }}r_{2}={\frac {X^{T}X}{\nu }}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} [y]=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(X){\frac {X^{T}X}{\nu }}\,dx_{1}\dots dx_{p}={\frac {p}{\nu -2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y|\,p,\nu )&=\left|{\frac {p}{\nu }}\right|^{-1}B{\bigg (}{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}^{-1}{\big (}{\frac {p}{\nu }}{\big )}^{\,p/2}{\big (}{\frac {p}{\nu }}{\big )}^{-p/2-1}y^{\,p/2-1}{\big (}1+y{\big )}^{-(p+\nu )/2}\\\\&=B{\bigg (}{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}^{-1}y^{\,p/2-1}(1+y)^{-(\nu +p)/2}\end{aligned}}}$

これは平均値を持つ正規ベータプライム分布 です。 ${\displaystyle y\sim \beta \,'{\bigg (}y;{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}}$${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{2}}p}{{\frac {1}{2}}\nu -1}}={\frac {p}{\nu -2}}}$

ベータプライム分布が与えられた場合、の放射状累積分布関数は次のように知られています。 ${\displaystyle y}$

${\displaystyle F_{Y}(y)\sim I\,{\bigg (}{\frac {y}{1+y}};\,{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}B{\bigg (}{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}^{-1}}$

ここで、は不完全ベータ関数であり、球面仮定のもとに適用されます。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle \Sigma }$

スカラーの場合、 分布は という同値を持つStudent -tに等しく、変数t はCDF の目的で両側の裾を持ちます (つまり、「両側 t 検定」)。 ${\displaystyle p=1}$${\displaystyle t^{2}=y^{2}\sigma ^{-1}}$

動径分布は、直交座標から球面座標への簡単な座標変換によっても導出できます。PDF を持つ における一定半径の表面は、等密度表面です。この密度値を考えると、 における表面積と厚さのシェル上の確率量子は です。 ${\displaystyle R=(X^{T}X)^{1/2}}$${\displaystyle p_{X}(X)\propto {\bigg (}1+\nu ^{-1}R^{2}{\bigg )}^{-(\nu +p)/2}}$${\displaystyle A_{R}}$${\displaystyle \delta R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \delta P=p_{X}(R)\,A_{R}\delta R}$

半径 の閉じた球の表面積は である 。 を に代入すると、殻には確率の要素があり、これは半径密度関数と等価であること が分かる。${\displaystyle p}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A_{R}={\frac {2\pi ^{p/2}R^{\,p-1}}{\Gamma (p/2)}}}$${\displaystyle \delta P}$${\displaystyle \delta P=p_{X}(R){\frac {2\pi ^{p/2}R^{p-1}}{\Gamma (p/2)}}\delta R}$

${\displaystyle f_{R}(R)={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}(\nu +p)\,{\big )}}{\nu ^{\,p/2}\pi ^{\,p/2}\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}}{\frac {2\pi ^{p/2}R^{p-1}}{\Gamma (p/2)}}{\bigg (}1+{\frac {R^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{-(\nu +p)/2}}$

これはさらに簡略化されて、 となり、はベータ関数となります。 ${\displaystyle f_{R}(R)={\frac {2}{\nu ^{1/2}B{\big (}{\frac {1}{2}}p,{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}}{\bigg (}{\frac {R^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{(p-1)/2}{\bigg (}1+{\frac {R^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{-(\nu +p)/2}}$${\displaystyle B(*,*)}$

ラジアル変数を に変更すると、以前のベータプライム分布が返されます。 ${\displaystyle y=R^{2}/\nu }$

${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{B{\big (}{\frac {1}{2}}p,{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}}y^{\,p/2-1}{\bigg (}1+y{\bigg )}^{-(\nu +p)/2}}$

放射形状関数を変えずに放射変数をスケールするには、スケール行列を定義し、3パラメータの直交座標密度関数を生成します。つまり、体積要素の確率は ${\displaystyle \Sigma =\alpha \operatorname {I} }$${\displaystyle \Delta _{P}}$${\displaystyle dx_{1}\dots dx_{p}}$

${\displaystyle \Delta _{P}{\big (}f_{X}(X\,|\alpha ,p,\nu ){\big )}={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}(\nu +p)\,{\big )}}{(\nu \pi )^{\,p/2}\alpha ^{\,p/2}\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}}{\bigg (}1+{\frac {X^{T}X}{\alpha \nu }}{\bigg )}^{-(\nu +p)/2}\;dx_{1}\dots dx_{p}}$

あるいは、スカラーの動径変数で言えば、 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f_{R}(R\,|\alpha ,p,\nu )={\frac {2}{\alpha ^{1/2}\;\nu ^{1/2}B{\big (}{\frac {1}{2}}p,{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}}{\bigg (}{\frac {R^{2}}{\alpha \,\nu }}{\bigg )}^{(p-1)/2}{\bigg (}1+{\frac {R^{2}}{\alpha \,\nu }}{\bigg )}^{-(\nu +p)/2}}$

球状分布の仮定のもとで、すべての動径変数のモーメントはベータプライム分布から導くことができる。 ならば 、既知の結果となる 。したがって、変数 については、${\displaystyle Z\sim \beta '(a,b)}$${\displaystyle \operatorname {E} (Z^{m})={\frac {B(a+m,b-m)}{B(a,b)}}}$${\displaystyle y={\frac {p}{\nu }}R^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (y^{m})={\frac {B({\frac {1}{2}}p+m,{\frac {1}{2}}\nu -m)}{B({\frac {1}{2}}p,{\frac {1}{2}}\nu )}}={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}p+m{\big )}\;\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}\nu -m{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}p{\big )}\;\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}},\;\nu /2>m}$

の瞬間 は ${\displaystyle r_{2}=\nu \,y}$

${\displaystyle \operatorname {E} (r_{2}^{m})=\nu ^{m}\operatorname {E} (y^{m})}$

スケールマトリックスを導入すると、 ${\displaystyle \alpha \operatorname {I} }$

${\displaystyle \operatorname {E} (r_{2}^{m}|\alpha )=\alpha ^{m}\nu ^{m}\operatorname {E} (y^{m})}$

ラジアル変数に関連するモーメントは、設定することによって見つけられ、 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R=(\alpha \nu y)^{1/2}}$${\displaystyle M=2m}$

${\displaystyle \operatorname {E} (R^{M})=\operatorname {E} {\big (}(\alpha \nu y)^{1/2}{\big )}^{2m}=(\alpha \nu )^{M/2}\operatorname {E} (y^{M/2})=(\alpha \nu )^{M/2}{\frac {B{\big (}{\frac {1}{2}}(p+M),{\frac {1}{2}}(\nu -M){\big )}}{B({\frac {1}{2}}p,{\frac {1}{2}}\nu )}}}$

これは多変量正規分布法と密接に関連しており、KotzとNadarajah、Kibria、Joarder、Roth、およびCornishで説明されています。中心MV-t pdfのやや簡略化されたバージョンから始めます。ここで、は定数で、は任意ですが固定です。をフルランク行列とし、ベクトル を形成します。次に、変数の単純な変更により、 ${\displaystyle f_{X}(X)={\frac {\mathrm {K} }{\left|\Sigma \right|^{1/2}}}\left(1+\nu ^{-1}X^{T}\Sigma ^{-1}X\right)^{-\left(\nu +p\right)/2}}$${\displaystyle \mathrm {K} }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \Theta \in \mathbb {R} ^{p\times p}}$${\displaystyle Y=\Theta X}$

${\displaystyle f_{Y}(Y)={\frac {\mathrm {K} }{\left|\Sigma \right|^{1/2}}}\left(1+\nu ^{-1}Y^{T}\Theta ^{-T}\Sigma ^{-1}\Theta ^{-1}Y\right)^{-\left(\nu +p\right)/2}\left|{\frac {\partial Y}{\partial X}}\right|^{-1}}$

偏微分行列は であり、ヤコビアンは となる。したがって ${\displaystyle {\frac {\partial Y_{i}}{\partial X_{j}}}=\Theta _{i,j}}$${\displaystyle \left|{\frac {\partial Y}{\partial X}}\right|=\left|\Theta \right|}$

${\displaystyle f_{Y}(Y)={\frac {\mathrm {K} }{\left|\Sigma \right|^{1/2}\left|\Theta \right|}}\left(1+\nu ^{-1}Y^{T}\Theta ^{-T}\Sigma ^{-1}\Theta ^{-1}Y\right)^{-\left(\nu +p\right)/2}}$

分母は

${\displaystyle \left|\Sigma \right|^{1/2}\left|\Theta \right|=\left|\Sigma \right|^{1/2}\left|\Theta \right|^{1/2}\left|\Theta ^{T}\right|^{1/2}=\left|\Theta \Sigma \Theta ^{T}\right|^{1/2}}$

全文:

${\displaystyle f_{Y}(Y)={\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\,(\nu \,\pi )^{\,p/2}\left|\Theta \Sigma \Theta ^{T}\right|^{1/2}}}\left(1+\nu ^{-1}Y^{T}\left(\Theta \Sigma \Theta ^{T}\right)^{-1}Y\right)^{-\left(\nu +p\right)/2}}$

これは正規のMV- t分布です。

一般に、およびが完全階数を持つ場合、 ${\displaystyle X\sim t_{p}(\mu ,\Sigma ,\nu )}$${\displaystyle \Theta ^{p\times p}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \Theta X+c\sim t_{p}(\Theta \mu +c,\Theta \Sigma \Theta ^{T},\nu )}$

これは、以下のランク削減線形変換の特殊なケースです。Kotz は、周辺分布を次のように定義しています。要素 の 2 つのサブベクトルに分割します。${\displaystyle X\sim t(p,\mu ,\Sigma ,\nu )}$${\displaystyle p_{1},p_{2}}$

${\displaystyle X_{p}={\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\end{bmatrix}}\sim t\left(p_{1}+p_{2},\mu _{p},\Sigma _{p\times p},\nu \right)}$

、平均、スケール行列${\displaystyle p_{1}+p_{2}=p}$${\displaystyle \mu _{p}={\begin{bmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \Sigma _{p\times p}={\begin{bmatrix}\Sigma _{11}&\Sigma _{12}\\\Sigma _{21}&\Sigma _{22}\end{bmatrix}}}$

すると、​ ${\displaystyle X_{1}\sim t\left(p_{1},\mu _{1},\Sigma _{11},\nu \right)}$${\displaystyle X_{2}\sim t\left(p_{2},\mu _{2},\Sigma _{22},\nu \right)}$

${\displaystyle f(X_{1})={\frac {\Gamma \left[(\nu +p_{1})/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\,(\nu \,\pi )^{\,p_{1}/2}\left|{{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {X} _{1}}-{{\boldsymbol {\mu }}_{1}})^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}^{-1}({\mathbf {X} _{1}}-{{\boldsymbol {\mu }}_{1}})\right]^{-(\nu \,+\,p_{1})/2}}$

${\displaystyle f(X_{2})={\frac {\Gamma \left[(\nu +p_{2})/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\,(\nu \,\pi )^{\,p_{2}/2}\left|{{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {X} _{2}}-{{\boldsymbol {\mu }}_{2}})^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}^{-1}({\mathbf {X} _{2}}-{{\boldsymbol {\mu }}_{2}})\right]^{-(\nu \,+\,p_{2})/2}}$

変換が次の形式で構築される場合

${\displaystyle \Theta _{p_{1}\times \,p}={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0\\0&\ddots &0&\cdots &0\\0&\cdots &1&\cdots &0\end{bmatrix}}}$

すると、ベクトル は、以下で説明するように、 の周辺分布と同じ分布になります。 ${\displaystyle Y=\Theta X}$${\displaystyle X_{1}}$

線形変換の場合、がランクの矩形行列 である場合、結果は次元削減になります。ここで、ヤコビ行列は一見矩形のように見えますが、分母のpdfの値は正しいです。Aitkenには矩形行列の積行列式に関する議論があります。^[12]一般に、およびがフルランクである場合、 ${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \Theta \in \mathbb {R} ^{m\times p},m<p}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \left|\Theta \right|}$${\displaystyle \left|\Theta \Sigma \Theta ^{T}\right|^{1/2}}$${\displaystyle X\sim t(p,\mu ,\Sigma ,\nu )}$${\displaystyle \Theta ^{m\times p}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle Y=\Theta X+c\sim t(m,\Theta \mu +c,\Theta \Sigma \Theta ^{T},\nu )}$

${\displaystyle f_{Y}(Y)={\frac {\Gamma \left[(\nu +m)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\,(\nu \,\pi )^{\,m/2}\left|\Theta \Sigma \Theta ^{T}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}(Y-c_{1})^{T}(\Theta \Sigma \Theta ^{T})^{-1}(Y-c_{1})\right]^{-(\nu \,+\,m)/2},\;c_{1}=\Theta \mu +c}$

極限では、m = 1 で行ベクトルになる場合、スカラーY は同じ自由度でによって定義される単変量両側スチューデント t 分布に従います。Kibria らは、アフィン変換を使用して、やはり MV- tである周辺分布を見つけます。 ${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle t^{2}=Y^{2}/\sigma ^{2}}$${\displaystyle \nu }$

• 楕円分布を持つ変数のアフィン変換中、すべてのベクトルは最終的に、要素が「絡み合った」まま統計的に独立していない1 つの初期等方性球面ベクトルから派生する必要があります。${\displaystyle Z}$
• 独立した学生tサンプルのベクトルは、多変量t分布と一致しません。
• 独立したカイ2乗サンプルと異なる 値 で生成された2つのサンプル多変量tベクトルを追加すると、 内部的に一貫した分布は生成されませんが、Behrens-Fisher問題は発生します。^[13]${\displaystyle \nu }$${\textstyle {1}/{\sqrt {u_{1}/\nu _{1}}},\;\;{1}/{\sqrt {u_{2}/\nu _{2}}}}$
• タレブは、楕円型分布と非楕円型分布の多変量分布の多くの例を比較している。

• 単変量統計学では、スチューデントのt検定はスチューデントのt分布を利用する。
• 楕円多変量t分布は、多変量正規分布ソースデータを含む線形制約最小二乗解で自然に発生します。たとえば、金融ポートフォリオ分析におけるマルコウィッツの全体的最小分散解です。^{[14] [15] [2]}これは、正規乱数ベクトルの集合またはランダム行列を扱います。これは、問題が適切に振る舞う正規誤差確率を生成する傾向がある、通常の最小二乗法（OLS）または固定従属変数と独立変数を持つ多重回帰では発生しません。
• ホテリングのT二乗分布は、多変量統計で発生する分布です。
• 行列t分布は、行列構造に配置されたランダム変数の分布です。

• 多変量正規分布、これは のときの多変量スチューデントの t 分布の極限ケースです。${\displaystyle \nu \uparrow \infty }$
• カイ分布、スチューデントの t 分布の構築におけるスケーリング係数のpdf、および多変量正規分布ベクトル (ゼロを中心とする) の 2 ノルム(またはユークリッド ノルム)。
  • レイリー分布#スチューデントの t 、多変量t分布のランダムベクトル長
• マハラノビス距離

• コピュラ法と標準多変量分布: 一般的な自由度を持つ多変量スチューデントT分布
• 多変量スチューデントのt分布