コーシー過程

確率論において、コーシー過程は確率過程の一種である。コーシー過程には対称形式と非対称形式がある。 ^[1] 不特定の用語「コーシー過程」は、対称コーシー過程を指すのによく使用される。^[2]

コーシー過程にはいくつかの特性があります:

1. これはレヴィ過程である^{[3] [4] [5]}
2. これは安定したプロセスである^{[1] [2]}
3. それは純粋なジャンププロセスである^[6]
4. その瞬間は無限です。

対称コーシー過程は、レヴィ従属関数に従うブラウン運動またはウィーナー過程によって記述できます。^[7] レヴィ従属関数は、位置パラメータが、スケールパラメータが であるレヴィ分布に関連付けられた過程です。^{[7]レヴィ分布は、}逆ガンマ分布 の特殊なケースです。したがって、 を使用してコーシー過程を表し、 を使用してレヴィ従属関数を表すと、対称コーシー過程は次のように記述できます。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle t^{2}/2}$${\displaystyle C}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle C(t;0,1)\;:=\;W(L(t;0,t^{2}/2)).}$

レヴィ分布はブラウン運動の最初の衝突時間の確率であり、したがってコーシー過程は本質的に2つの独立したブラウン運動過程の結果である。^[7]

対称コーシー過程のレヴィ・ヒンチン表現は、ドリフトと拡散がゼロの3つ組であり、 のレヴィ・ヒンチン3つ組を与える。 ここで である。^[8]${\displaystyle (0,0,W)}$${\displaystyle W(dx)=dx/(\pi x^{2})}$

対称コーシー過程の限界特性関数は次の式で表される: ^{[1] [8]}

${\displaystyle \operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t|\theta |}.}$

対称コーシー過程の周辺確率分布は密度が^{[8] [9]の}コーシー分布である。

${\displaystyle f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right].}$

非対称コーシー過程はパラメータ によって定義されます。ここで は 歪度パラメータであり、その絶対値は1 以下でなければなりません。^[1]過程が完全に非対称コーシー過程であると考えられる 場合。 ^[1]${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle |\beta |=1}$

レヴィ・ヒンチン三重項は の形を持ち、ここで、ここで、および である。^[1]${\displaystyle (0,0,W)}$${\displaystyle W(dx)={\begin{cases}Ax^{-2}\,dx&{\text{if }}x>0\\Bx^{-2}\,dx&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$${\displaystyle A\neq B}$${\displaystyle A>0}$${\displaystyle B>0}$

これを踏まえると、はおよびの関数です。 ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

非対称コーシー分布の特性関数は次の式で表される: ^[1]

${\displaystyle \operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t(|\theta |+i\beta \theta \ln |\theta |/(2\pi ))}.}$

非対称コーシー過程の周辺確率分布は、安定性の指標 (つまり、α パラメータ) が 1 に等しい安定した分布です。