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確率論において、確率変数の安定性とは、その変数の2つの独立したコピーの線形結合が、位置パラメータと尺度パラメータを除いて同じ分布を持つという性質のことである 。[ 1 ]この性質を持つ確率変数の分布は「安定分布」と呼ばれる。確率論で得られる結果によれば、この性質を持つすべての可能な分布は、4つのパラメータを持つ分布族に属する。安定分布に関する記事では、この分布族と、これらの分布のいくつかの性質について説明している。
確率論において「安定性」および安定な確率分布族が重要なのは、それらが独立同分布の確率変数の適切な正規化和に対する「アトラクター」となるからである。
安定分布の重要な特殊ケースとしては、正規分布、コーシー分布、レヴィ分布が挙げられます。詳細は「安定分布」の項を参照してください。
安定性とは何かについては、いくつかの基本的な定義が存在する。その中には、確率変数の総和に基づくものもあれば、特性関数の性質に基づくものもある。
フェラー[ 2 ]は、次のような基本的な定義をしています。確率変数Xは、 n個の独立したX iのコピーに対して、定数c n > 0およびd nが存在し、
ここで、この等式は分布の等式を指します。この出発点から導き出される結論は、定数列c n は次の形式でなければならないということです。
さらに、上記の分布恒等式がn = 2 およびn = 3の場合にのみ成り立つだけで十分であるという結論も得られます。[ 3 ]
安定性特性を持つ分布については、多くの数学的結果を導出できます。つまり、畳み込みに関して閉じているという特性を持つすべての可能な分布の族が考慮されています。[ 4 ]ここでは、安定分布という記事で説明されている分布を特に意味することなく、これらの分布を安定分布と呼ぶか、分布が安定性特性を持つと仮定すれば安定であると言うのが便利です。安定な単変量分布については、次の結果が得られます。
上記の安定性の概念は、ある分布のクラスが、確率変数に対する一連の演算（「総和」または「平均」）の下で閉じているという考えに基づいています。検討された他の演算には、次のものがあります。
