ラップされたコーシー分布

ラップドコーシー

確率密度関数 サポートは[-π,π)に選択される。
累積分布関数 サポートは[-π,π)に選択される。
パラメータ	${\displaystyle \mu}$本物 ${\displaystyle \gamma >0}$
サポート	${\displaystyle -\pi \leq \theta <\pi }$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\,{\frac {\sinh(\gamma )}{\cosh(\gamma )-\cos(\theta -\mu )}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle \,}$
平均	${\displaystyle \mu}$（円形）
分散	${\displaystyle 1-e^{-\gamma }}$（円形）
エントロピ	${\displaystyle \ln(2\pi (1-e^{-2\gamma }))}$（差分）
CF	${\displaystyle e^{in\mu -|n|\gamma }}$

確率論と方向統計学において、ラップされたコーシー分布は、単位円の周囲にコーシー分布を「ラップ」することで得られるラップされた確率分布です。コーシー分布はローレンツ分布と呼ばれることもあり、ラップされたコーシー分布はラップされたローレンツ分布と呼ばれることもあります。

ラップされたコーシー分布は、回折パターンを分析するために使用される分光法の分野でよく見られます (例:ファブリ・ペロー干渉計を参照)。

ラップされたコーシー分布の確率密度関数は^[1]である。

${\displaystyle f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2} +(\theta -\mu +2\pi n)^{2})}}\qquad -\pi <\theta <\pi }$

ここで、はスケール係数、は「アンラップ」分布のピーク位置です。上記の pdf をコーシー分布の 特性関数で表すと、次のようになります。${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in( \theta -\mu )-|n|\gamma }={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\mu )}}}$

PDFは、円変数z = e ^iθと複素パラメータζ = e ^{i ( μ + iγ )}で表すこともできる。

${\displaystyle f_{WC}(z;\zeta )={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|z-\ゼータ |^{2}}}}$

ここで、以下に示すように、ζ = ⟨ z ⟩ です。

円変数に関して、ラップされたコーシー分布の円モーメントは、整数引数で評価されたコーシー分布の特性関数です。 ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )\,d\theta =e ^{in\mu -|n|\gamma }.}$

ここで、 は長さ の区間です。第 1 モーメントはzの平均値であり、平均結果または平均結果ベクトルとも呼ばれます。 ${\displaystyle \Gamma \,}$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \langle z\rangle =e^{i\mu -\gamma }}$

平均角度は

${\displaystyle \langle \theta \rangle =\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu }$

そして平均結果の長さは

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |=e^{-\gamma }}$

1 − Rの円分散が得られる。

ラップされたコーシー分布から抽出されたN個の測定値の系列は、分布の特定のパラメータを推定するために使用できます。系列の平均は次のように定義されます。 ${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$${\displaystyle {\overline {z}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

そしてその期待値は最初の瞬間だけになります。

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle =e^{i\mu -\gamma }}$

言い換えれば、は第 1 モーメントの不偏推定量です。ピーク位置が区間 内にあると仮定すると、 Arg はピーク位置 の (偏りのある) 推定量になります。 ${\displaystyle {\overline {z}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle [-\pi ,\pi )}$${\displaystyle ({\overline {z}})}$${\displaystyle \mu }$

を複素平面上のベクトルの集合として見ると、統計量は​​平均ベクトルの長さになります。 ${\displaystyle z_{n}}$${\displaystyle {\overline {R}}^{2}}$

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}}$

そしてその期待値は

${\displaystyle \langle {\overline {R}}^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}e^{-2\gamma }.}$

言い換えれば、統計

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\overline {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

は の不偏推定量となり、 はの (偏りのある) 推定量となります。 ${\displaystyle e^{-2\gamma }}$${\displaystyle \ln(1/R_{e}^{2})/2}$${\displaystyle \gamma }$

ラップされたコーシー分布の情報エントロピーは次のように定義される: [ 1 ^]

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )\,\ln(f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma ))\,d\theta }$

ここで、 は長さ の任意の区間です。ラップされたコーシー分布の密度の対数は、のフーリエ級数として表すことができます。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \theta \,}$

${\displaystyle \ln(f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )}$

どこ

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln \left({\frac {\sinh \gamma }{2\pi (\cosh \gamma -\cos \theta )}}\right)\cos(m\theta )\,d\theta }$

その結果は次のようになります。

${\displaystyle c_{0}=\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)}$

( Gradshteyn および Ryzhik ^[2] 4.224.15 を参照)

${\displaystyle c_{m}={\frac {e^{-m\gamma }}{m}}\qquad \mathrm {for} \,m>0}$

（GradshteynとRyzhik ^[2] 4.397.6を参照）。積分の左側のラップされたコーシー分布の特性関数表現は次のようになる。

${\displaystyle f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\cos(n\theta )\right)}$

ここで、これらの式をエントロピー積分に代入し、積分と合計の順序を入れ替え、余弦の直交性を利用すると、エントロピーは次のように表すことができます。 ${\displaystyle \phi _{n}=e^{-|n|\gamma }}$

${\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}c_{m}=-\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)-2\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{-2n\gamma }}{n}}}$

この級数はの対数のテイラー展開に等しいので、エントロピーは次のように閉じた形式で表すことができます。 ${\displaystyle (1-e^{-2\gamma })}$

${\displaystyle H=\ln(2\pi (1-e^{-2\gamma }))\,}$

Xが中央値μと尺度パラメータγを持つコーシー分布に従う場合、複素変数

${\displaystyle Z={\frac {X-i}{X+i}}}$

単位弾性率を持ち、密度が次の単位円上に分布している：^[3]

${\displaystyle f_{CC}(\theta ,\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|e^{i\theta }-\zeta |^{2}}}}$

どこ

${\displaystyle \zeta ={\frac {\psi -i}{\psi +i}}}$

ψはxに対する関連する線形コーシー分布の2つのパラメータを複素数として表します。

${\displaystyle \psi =\mu +i\gamma \,}$

円コーシー分布は、 zと ζ におけるラップされたコーシー分布と同じ関数形式 (つまり f _WC (z,ζ))を持つことがわかります。円コーシー分布は、再パラメータ化されたラップされたコーシー分布です。

${\displaystyle f_{CC}(\theta ,m,\gamma )=f_{WC}\left(e^{i\theta },\,{\frac {m+i\gamma -i}{m+i\gamma +i}}\right)}$

この分布はパラメータμとγを持つ円コーシー分布^{[3] [4]}（複素コーシー分布^{[3]とも呼ばれる）と呼ばれる。（関連する概念については、} McCullaghのコーシー分布のパラメータ化とポアソンカーネルも参照のこと。） ${\displaystyle f_{CC}(\theta ;\mu ,\gamma )}$

複素形式で表現された円コーシー分布は、すべての次数の有限モーメントを持つ。

${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{n}]=\zeta ^{n},\quad \operatorname {E} [{\bar {Z}}^{n}]={\bar {\zeta }}^{n}}$

整数n ≥ 1に対して。|φ| < 1の場合、変換

${\displaystyle U(z,\phi )={\frac {z-\phi }{1-{\bar {\phi }}z}}}$

は単位円上で正則であり、変換された変数U ( Z , φ )はパラメータU (ζ, φ )を持つ複素コーシー分布に従う。

サイズn > 2のサンプルz ₁ , ..., z _nが与えられた場合、最大尤度方程式

${\displaystyle n^{-1}U\left(z,{\hat {\zeta }}\right)=n^{-1}\sum U\left(z_{j},{\hat {\zeta }}\right)=0}$

単純な固定小数点反復によって解くことができます。

${\displaystyle \zeta ^{(r+1)}=U\left(n^{-1}U(z,\zeta ^{(r)}),\,-\zeta ^{(r)}\right)\,}$

ζ ⁽⁰⁾ = 0から始まる。尤度値のシーケンスは非減少であり、解は少なくとも3つの異なる値を含むサンプルに対して一意である。^[5]

実コーシー標本の中央値（ ）と尺度パラメータ（ ）の最大尤度推定値は、逆変換によって得られます。 ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}\pm i{\hat {\gamma }}=i{\frac {1+{\hat {\zeta }}}{1-{\hat {\zeta }}}}.}$

n ≤ 4の場合、 の閉じた形式の表現が知られています。^[6]単位円における tでの最大尤度推定量の密度は必然的に次の形式になります。${\displaystyle {\hat {\zeta }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}{\frac {p_{n}(\chi (t,\zeta ))}{(1-|t|^{2})^{2}}},}$

どこ

${\displaystyle \chi (t,\zeta )={\frac {|t-\zeta |^{2}}{4(1-|t|^{2})(1-|\zeta |^{2})}}}$。

p ₃とp ₄の計算式は入手可能である。^[7]

• ラップされた配布
• ディラックコム
• ラップされた正規分布
• 円形均一分布
• コーシー分布のマカラーのパラメータ化

• グレアム・ボラデール (2003)。地球科学データの統計。スプリンガー。ISBN 978-3-540-43603-4. 2009年12月31日閲覧。
• フィッシャー、NI（1996）。循環データの統計分析。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-56890-6. 2010年2月9日閲覧。