素数のリスト

バランスの取れた素数とは、前後の素数の間隔が等しい素数のことで、その素数は、次に大きい素数と次に小さい素数の算術平均となる。

• 5、53、157、173、211、257、263、373、563、593、607、653、733、947、977、1103、1123、1187、1223、1367、1511、1747、1753、1907、2287、2417、2677、2903、2963、3307、3313、3637、3733、4013、4409、4457、4597、4657、4691、4993、5107、5113、​​​​​​​​​​​ ​5303、5387、5393 ( OEIS : A006562  )。

ベル素数とは、ある有限集合の分割数でもある素数のことである。

2、5、877、27644437、35742549198872617291353508656626642567、359334085968622831041960188598043661065388726959079837。次の項は6,539桁です。（OEIS：A051131 ）

チェン素数とは、p + 2 が素数または半素数となるような素数pのことである。

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、67、71、83、89、101、107、109、113、127、131、137、139、149、157、167、179、181、191、197、199、211、227、233、239、251、257、263、269、281、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 293、307、311、317、337、347、353、359、379、389、401、409 ( OEIS : A109611  )

循環素数とは、10進数の桁をどのような周期で回転させても素数のままである数のことである。

2、3、5、7、11、13、17、31、37、71、73、79、97、113、131、197、199、311、337、373、719、733、919、971、991、1193、1931、3119、3779、7793、7937、9311、9377、11939、19391、19937、37199、39119、71993、91193、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 93719、93911、99371、193939、199933、319993、331999、391939、393919、919393、933199、939193、939391、993319、999331 ( OEIS : A068652 )​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​

資料によっては、各サイクルの中で最小の素数のみを掲載しているものもあります。例えば、13は掲載しているものの、31は掲載していないといった具合です。

2、3、5、7、11、13、17、37、79、113、197、199、337、1193、3779、11939、19937、193939、199933、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​1111111111111111111、11111111111111111111111 ( OEIS : A016114  )

クラスター素数とは、 p ≤ p − 3のすべての偶数の自然数kがpを超えない 2 つの素数の差となるような素数pのことである。

3、5、7、11、13、17、19、23 、 ... （ OEIS ： A038134 ）​​​​​​​​​​​​ 

3から89までのすべての素数はクラスター素数です。クラスター素数ではない最初の10個の素数は次のとおりです。

2、97、127、149、191、211、223、227、229、251。​​​​​​​​​​​​​​​​​​

いとこ素数とは、互いに4だけ異なる素数の組のことである。

( 3 , 7 )、 ( 7 , 11 )、 ( 13 , 17 )、 ( 19 , 23 )、 ( 37 , 41 )、 ( 43 , 47 )、 ( 67 , 71 )、 ( 79 , 83 )、 ( 97 , 101 )、 ( 103 , 107 ) )、( 109、113 )、 ( 127、131 )、 ( 163、167 )、 ( 193、197 )、 ( 223、227 )、 ( 229、233 )、 ( 277、281 ) ( OEIS : A023200 、OEIS : A046132  )

キューバの素数は素数である${\displaystyle p}$形式${\displaystyle p=k^{3}-(k-1)^{3},}$どこ${\displaystyle k}$自然数です。

7、19、37、61、127、271、331、397、547、631、919、1657、1801、1951、2269、2437、2791、3169、3571、4219、4447、5167、5419、6211、7057、7351、8269、9241、10267、11719、12097、13267、13669、16651、19441、19927、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 22447、23497、24571、25117、26227、27361、33391、35317 ( OEIS : A002407  )

この用語は素数を指す場合にも使用されます。${\displaystyle p}$形式${\displaystyle p=(k^{3}-(k-2)^{3})/2,}$どこ${\displaystyle k}$自然数です。

13、109、193、433、769、1201、1453、2029、3469、3889、4801、10093、12289、13873、18253、20173、21169、22189、28813、37633、43201、47629、60493、63949、65713、69313、73009、76801、84673、106033、108301、112909、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 115249 ( OEIS : A002648  )

カレン素数とは、ある自然数kに対してp = k 2 ^k + 1の形の素数pのことである。

3、393050634124102232869567034555427371542904833 ( OEIS : A050920  )

デリケート素数とは、10進数の桁をどれか一つ変えても必ず合成数になる素数のことである。

294001、505447、584141、604171、971767、1062599、1282529、1524181、2017963、2474431、2690201、3085553、3326489、 4393139 ( OEIS : A050249  )

二面角素数とは、7セグメントディスプレイ上で180°回転対称性と鏡面対称性を満たす素数のことです。

2、5、11、101、181、1181、1811、18181、108881、110881、118081、120121、121021、121151、150151、151051​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​​​​​​​、151121、180181、180811、181081 ( OEIS : A134996 )​​​​​​ 

実アイゼンシュタイン素数とは、既約な実アイゼンシュタイン整数のことである。言い換えれば、正の整数kに対して 3 k − 1の形の素数である。  

2、5、11、17、23、29、41、47、53、59、71、83、89、101、107、113、131、137、149、167、173、179、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 191、197、227、233、239、251、257、263、269、281、293、311、317、347、353、359、383、389、401 ( OEIS : A003627  )

エミールプとは、10進数の桁を逆にした素数のことです。「エミールプ」という名前は、「素数」を逆にしたものです。

13、17、31、37、71、73、79、97、107、113、149、157、167、179、199、311、337、347、359、389、701​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​、709、733、739、743、751、761、769、907、937、941、953、967、971、983、991 ( OEIS : A006567  )

ユークリッド素数とは、p −1 が原始数となるような素数pのことである。

3、7、31、211、2311、 200560490131 ( OEIS : A018239  ^{[ 5 ]} )

オイラー不規則素数は素数である${\displaystyle p}$オイラー数を割り切る${\displaystyle E_{2n},}$一部の人にとって${\displaystyle 0\leq 2n\leq p-3.}$

19、31、43、47、61、67、71、79、101、137、139、149、193、223、241、251、263、277、307、311、349、353、359、373、379、419、433、461、463、491、509、541、563、571、577、587 ( OEIS : A120337 )​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​

階乗素数はn ! ± 1の形をとります。

2、3、5、7、23、719、5039、39916801、479001599、87178291199、10888869450418352160768000001、265252859812191058636308479999999、263130836933693530167218012159999999、8683317618811886495518194401279999999 ( OEIS : A088054 )​​​​​​​​​​​​​​​​ 

フェルマー素数とは、非負整数kに対してp = 2 ^{2 k} + 1の形の素数pのことである。2024年6月現在     これまでに発見されたフェルマー素数はわずか5個である。

3、5、17、257、65537 ( OEIS : A019434  )

フィボナッチ素数とは、フィボナッチ数列に現れる素数のことです。

2、3、5、13、89、233、1597、28657、514229、433494437、2971215073、99194853094755497、​​​​​​​​​​​ ​1066340417491710595814572169、19134702400093278081449423917 ( OEIS : A005478  )

幸運素数とは、幸運数でもある素数のことです。合成数の幸運数は知られていません。

3、5、7、13、17、19、23、37、47、59、61、67、71、79、89、101、103、107、109、127、151、157、163、167、191、197、199、223、229、233、239、271、277、283、293、307、311、313、331、353、373、379、383、397 (​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ OEIS : A046066  )

ガウス素数とは、非負整数kに対してp = 4 k + 3の形の素数pのことである。    

3、7、11、19、23、31、43、47、59、67、71、79、83、103、107、127、131、139、151、163、167、179、191、199、211、223、227、239、251、263、271、283、307、311、331、347、359、367、379、383、419、431、439、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 443、463、467、479、487、491、499、503 ( OEIS : A002145  )

素数の列をインデックス付けします${\displaystyle p_{1}=2,p_{2}=3,p_{3}=5,\ldots }$良い素数とは、すべてのi < nに対してp _{n − i} · p _{n + i} < p _n ²を満たす素数p _{n の}ことです。    

5、11、17、29、37、41、53、59、67、71、97、101、127、149、179、191、223、227、251、257、269、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 307 ( OEIS : A028388  )

ハッピー素数とは、素数でありながらハッピー数でもある数のことである。

7、13、19、23、31、79、97、103、109、139、167、193、239、263、293、313、331、367、379、383、397​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​、409、487、563、617、653、673、683、709、739、761、863、881、907、937、1009、1033、1039、1093 ( OEIS : A035497  )

調和素数とは、1 ≤ k ≤ p −2に対してH _k ≡ 0 (mod p ) およびH _k ≡ − ω _p (mod p )の解が存在しない素数pのことである。ここで、 H _kはk番目の調和数、ω _pはWolstenholme 商を表す。^{[ 6 ]}            

5、13、17、23、41、67、73、79、107、113、139、149、157、179、191、193、223、239、241、251、263、277、281、293 ​​、307、311、317、331、337、349 ( OEIS : A092101 )​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 

ヒッグス素数とは、 p − 1 がそれ​​より小さいすべてのヒッグス素数の積の二乗を割り切るような素数pのことである。

2、3、5、7、11、13、19、23、29、31、37、43、47、53、59、61、67、71、79、101、107、127、131、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 139、149、151、157、173、181、191、197、199、211、223、229、263、269、277、283、311、317、331、347​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​、349 ( OEIS : A007459  )

高コトシェント素数とは、1を除くそれより小さいどの整数よりもコトシェントである頻度が高い素数のことである。

2、23、47、59、83、89、113、167、269、389、419、509、659、839、1049、1259、1889 ( OEIS : A105440  )

n ≥ 2の場合、 nの素因数分解を10 進数で書き出し、因数を連結します。素数に達するまで繰り返します。

非負整数の場合、その素因数を昇順に繰り返し連結して素数になるまで続けることで、その素数のホームプライムが得られます。

2, 3, 211, 5, 23, 7, 3331113965338635107, 311, 773, 11, 223, 13, 13367, 1129, 31636373, 17, 233, 19, 3318308475676071413, 37, 211, 23, 331319, 773, 3251, 13367, 227, 29, 547, 31, 241271, 311, 31397, 1129, 71129, 37, 373, 313, 3314192745739, 41, 379、43、22815088913、3411949、223、47、6161791591356884791277 ( OEIS : A037274  )

不規則素数とは、 p番目の円分体の類数を割り切る奇素数pのことである。

37、59、67、101、103、131、149、157、233、257、263、271、283、293、307、311、347、353、379、389、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 401、409、421、433、461、463、467、491、523、541、547、557、577、587、593、607、613 ( OEIS : A000928  )

孤立素数とは、p − 2 とp + 2の両方が合成数であるような素数pのことである。

2、23、37、47、53、67、79、83、89、97、113、127、131、157、163、167、173、211、223、233、251、257、263、277、293、307、317、331、337、353、359、367、373、379、383、389、397、401、409、439、443、449、457​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​、467、479、487、491、499、503、509、541、547、557、563、577、587、593、607、613、631、647、653、673、677、683、691、701、709、719、727、733、739、743、751、757、761、769、773、787、797、839、853、863、877​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​、887、907、911、919、929、937、941、947、953、967、971、977、983、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​991、997（OEIS：A007510）​​ 

レイランド素数とは、p = a ^b + b ^aの形の素数pであり、aとb は1 より大きい整数である。    

17、593、32993、2097593、8589935681、59604644783353249、523347633027360537213687137、​​ 43143988327398957279342419750374600193 ( OEIS : A094133  )

長い素数、または完全な反復素数とは、次のような奇素数pのことである。${\displaystyle (10^{p-1}-1)/p}$は循環数である。10以外の基数も使用される。

7、17、19、23、29、47、59、61、97、109、113、131、149、167、179、181、193、223、229、233、257、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 263、269、313、337、367、379、383、389、419、433、461、487、491、499、503、509、541、571、577、593 ( OEIS : A001913  )

ルーカス素数とは、ルーカス数列に現れる素数のことである。

2、^{[ 8 ]} 3、7、11、29、47、199、521、2207、3571、9349、3010349、54018521、370248451、6643838879、​​​​​​​​​​​​​​​ ​119218851371、5600748293801、688846502588399、32361122672259149 ( OEIS : A005479  )

ラッキープライムとは、素数でありながら幸運な数字でもある数のことです。

3、7、13、31、37、43、67、73、79、127、151、163、193、211、223、241、283、307、331、349、367、409、421、433、463、487、541、577、601、613、619、631、643、673、727、739、769、787、823、883、937、991、997 (​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ OEIS : A031157  )

メルセンヌ素数は、ある非負整数kに対してp = 2 ^k − 1の形の素数pです。

3、7、31、127、8191、131071、524287、2147483647、2305843009213693951、618970019642690137449562111、​​​​​​​​​​​​​ ​162259276829213363391578010288127、170141183460469231731687303715884105727 ( OEIS : A000668  )

2024年現在既知のメルセンヌ素数は 52 個あります。^{[ 9 ]} 13 番目、14 番目、52 番目の素数はそれぞれ 157 桁、183 桁、41,024,320 桁です。^{[ 9 ]} 1992 年以降に知られている最大の素数はすべてメルセンヌ素数であり、2026 年時点で最大の素数は 2 ^136,279,841 −1 で、52 番目のメルセンヌ素数です。^{[ 10 ]}

形式は ⌊θ ^{3 n} ⌋ で、θ はミルズ定数です。この形式はすべての正の整数nに対して素数です。

2、11、1361、2521008887、16022236204009818131831320183 ( OEIS : A051254 )​​​​ 

素数を構成する10進数の桁のより短い部分列が存在しない素数。最小素数はちょうど26個あります。

2、3、5、7、11、19、41、61、89、409、449、499、881、991、6469、6949、9001、9049、9649、9949、60649、666649、946669、60000049、66000049、66600049 ( OEIS : A071062 )​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 

ニューマン・シャンクス・ウィリアムズ数のうち素数であるもの。

7、41、239、9369319、63018038201、489133282872437279、19175002942688032928599 ( OEIS : A088165 )​​​​ 

最小の正の原始根がp ²の原始根ではない素数p。そのような素数は 3 つ知られていますが、それ以上あるかどうかはわかりません。^{[ 14 ]}

2、40487、6692367337 ( OEIS : A055578  )

10進数の桁を逆順に読んでも変化しない素数。

2、3、5、7、11、101、131、151、181、191、313、353、373、383、727、757、787、797、919、929、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​10301、10501、10601、11311、11411、12421、12721、12821、13331、13831、13931、14341、14741 ( OEIS : A002385  )

の形の素数$\displaystyle {\frac {a{\big (}10^{m}-1{\big )}}{9}}\pm b\times 10^{\frac {m-1}{2}}}$と${\displaystyle 0\leq a\pm b<10}$[ ^{15 ]これは、}真ん中の桁を除くすべての桁が等しいことを意味します。

101、131、151、181、191、313、353、373、383、727、757、787、797、919、929、11311、11411、33533、77377、77477、77977、1114111、1117111、3331333、3337333、7772777、7774777、7778777、111181111、111191111、777767777、77777677777、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​99999199999 ( OEIS : A077798  )

素数である分割関数の値。

2、3、5、7、11、101、17977、10619863、6620830889、80630964769、228204732751、1171432692373、1398341745571、​​​​​​​​​ ​10963707205259、15285151248481、10657331232548839、790738119649411319、18987964267331664557 ( OEIS : A049575  )

ペル数列の素数はP ₀  =  0、P ₁  =  1、 P _n  =  2 P _{n −1}  + P _{n −2}です。 

2、5、29、5741、33461、44560482149、1746860020068409、68480406462161287469、13558774610046711780701、​​​ ​4125636888562548868221559797461449 ( OEIS : A086383  )

10進数の数字の順列はすべて素数である。

2、3、5、7、11、13、17、31、37、71、73、79、97、113、131、199、311、337、373、733、919、991、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​1111111111111111111、11111111111111111111111 ( OEIS : A003459  )

ペリン数列の素数はP (0)  =  3、P (1)  =  0、P (2)  =  2、 P ( n )  = P ( n −2) + P ( n −3) です。   

2、3、5、7、17、29、277、367、853、14197、43721、1442968193、792606555396977、187278659180417234321、​​​​​​​​​​​​​​​ ​66241160488780141071579864797 ( OEIS : A074788  )

ある整数u , v ≥ 0 に対して、2 ^u 3 ^v  + 1の形をとる。   

これらもクラス1の素数です。

2、3、5、7、13、17、19、37、73、97、109、163、193、257、433、487、577、769、1153、1297、1459、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 2593、2917、3457、3889、 10369 、 12289 、 17497 、 18433 、 39367 、 52489 、65537、 139969 、 147457 ( OEIS : A005109  )

pに対して、 n  >  0が存在し、p がn ! + 1を割り切り、 nがp − 1を割り切らないような素数p 。

23、29、59、61、67、71、79、83、109、137、139、149、193、227、233、239、251、257、269、271、277、293、307、311、317、359、379、383、389、397、401、419、431、449、461、463、467、479、499 ( OEIS : A063980  )

n ⁴ + 1 の形である。^{[ 16 ] [ 17 ]}

2、17、257、1297、65537、160001、331777、614657、1336337、4477457、5308417、8503057、9834497、29986577、​​​​​​​ ​40960001、45212177、59969537、65610001、126247697、193877777、303595777、384160001、406586897、562448657、655360001 ( OEIS : A037896  )

10進数の一部または全部の素数順列の数が、それより小さいどの数よりも多い素数。

2、13、37、107、113、137、1013、1237、1367、10079 ( OEIS : A119535 )​​​​​​​​​​​​​​​​ 

p _n #  ± 1の形式。

3、5、7、29、31、211、2309、2311、30029、200560490131、304250263527209、23768741896345550770650537601358309 ( OEIS : A057705とOEIS : A018239の結合[ 5 ] )​​​​​​​​^​​​​  

k ×2 ⁿ  +  1の形式で、 kは奇数で、k  <  2 ⁿです。

3、5、13、17、41、97、113、193、241、257、353、449、577、641、673、769、929、1153、1217、1409、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 1601、2113、2689、2753、3137、3329、3457、 4481 、 4993 、 6529 、 7297 、 7681 、 7937 、 9473 、 9601 、 9857 ( OEIS : A080076  )

4n + 1の形。

5、13、17、29、37、41、53、61、73、89、97、101、109、113、137、149、157、173、181、193、197、​​​​​​ ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 229、233、241、257、269、277、281、293 ​​、313、317、337、349、353、373、389、397、401、409、421、433​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​、449 ( OEIS : A002144  )

ここで、( p、p +2、p +6、p +8)はすべて素数である。

( 5 , 7 , 11 , 13 ), (11, 13, 17 , 19 ), ( 101 , 103 , 107 , 109 ), ( 191 , 193 , 197 , 199 ), ( 821 , 823 , 827 , 829 ), ( 1481 , 1483 , 1487 , 1489 ), ( 1871 , 1873 , 1877 , 1879 ), ( 2081 , 2083 , 2087 , 2089 ), ( 3251 , 3253 , 3257 , 3259 ), ( 3461 , 3463 , 3467、3469 )、 (5651、 5653、 5657、 5659)、 (9431、 9433、 9437、 9439) ( OEIS : A007530 、OEIS : A136720 、OEIS : A136721 、OEIS : A090258  )

x ⁴  + y ⁴の形であり、x、y > 0 である。   

2、17、97、257、337、641、881 ( OEIS : A002645  )

すべての x ≥ R n に対して、x / 2_からxまでの素数を少なくともn個与える最小の整数R _n (そのような整数はすべて素数です)。  

2、11、17、29、41、47、59、67、71、97、101、107、127、149、151、167、179、181、227、229、233、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 239、241、263、269、281、307、311、347、349、367、373、401、409、419、431、433、439、461、487、491 ( OEIS : A104272 ）

p番目の円分体の類数を割り切らない素数p。

3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、43、47、53、61、71、73、79、83、89、97、107、109、113、127、137、139、151、163、167、173、179、181、191、193、197、199、211、223、227、229、239、241、251、269、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 277、281（OEIS：A007703）​​ 

10進数の数字1のみを含む素数。

11、1111111111111111111 (19 桁)、1​​11111111111111111111111 (23 桁) ( OEIS : A004022  )

次の番号はそれぞれ317、1031、49081、86453、109297、270343桁です（OEIS：A004023 ）。

固定された整数aとdに対してan + d の形をとる。dを法とするaに合同な素数とも呼ばれる。

2 n +1の形の素数は奇素数で、2 以外のすべての素数を含みます。数列には別の名前があります。4 n +1 はピタゴラス素数、4 n +3 は整数ガウス素数、6 n +5 はアイゼンシュタイン素数 (2 を除く) です。10 n + d ( d = 1, 3, 7, 9)のクラスは、10 進数のdで終わる素数です。

aとdが互いに素である場合、等差数列には無限個の素数が含まれる。

2 n +1: 3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 ( OEIS : A065091  ) 4 n +1: 5、13、 17 、 29、 37, 41, 53, 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , 137 ( OEIS : A002144  ) 4 n +3: 3 , 7 , 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59 , 67 , 71、79、83、​​​​ 103、107 ( OEIS : A002145 ) 6 n +1 : 7、13、19、31、37、43、61、67、73、79、97、103、109、127、139 ( OEIS : A002476 ) 6 n +5 : 5、11、17、23、29、41、47、53、59、71、83、89、101、107、113 ( OEIS : A007528 ) 8 n +1 : 17、41、73、89、97、113、137、193、233、241​​​​​​​、257、281、313、337、353 ( OEIS : A007519 ) 8 n +3 : 3、11、19、43、59、67、83、107、131、139、163、179、211、227​​​​ ​​​​​​​​​​​​​、251 ( OEIS : A007520 ) 8 n +5: 5、13、 29 、 37 、 53 、 61 、 101 、 109 、149、157、173、181、197、229、269 ( OEIS : A007521      ) 8 n +7: 7 , 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151 , 167 , 191 , 199 , 223 , 239 , 263 ( OEIS : A007522 )  10 n +1 : 11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, 211, 241, 251, 271 , 281 ( OEIS : A030430  ) 10 n +3: 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, 173, 193, 223, 233, 263 ( OEIS : A030431  ) 10 n +7: 7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, 167, 197, 227, 257, 277 ( OEIS : A030432  ) 10 n +9: 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, 229, 239, 269, 349 , 359 ( OEIS : A030433  ) 12 n +1: 13, 37, 61, 73, 97, 109、157、181、193、229、241、277、313、337、349 ( OEIS : A068228  ) 12 n +5: 5、17、29、41、53、89、101、113、137、149、 173, 197, 233, 257, 269 ( OEIS : A040117  ) 12 n +7: 7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, 163, 199, 211, 223, 271 ( OEIS : A068229  ) 12n​ +11: 11、23、47、59、71、83、107、131、167、179、191、227、239、251、263 ( OEIS : A068231  )

pと( p -1)  / 2はどちら も素数である。

5、7、11、23、47、59、83、107、167、179、227、263、347、359、383、467、479、503、563、587、719、839、863、887、983、1019、1187、1283、1307、1319、1367、1439、1487、1523、1619、1823、1907 ( OEIS : A005385 )​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​

整数の各桁の10進数の合計によって生成できない素数。

3、5、7、31、53、97、211、233、277、367、389、457、479、547、569、613、659、727、839、883、929、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 1021、1087、1109、1223、1289、1447、1559、1627、1693、1783、1873 ( OEIS : A006378  )

ここで、( p , p + 6) は両方とも素数である。

( 5 , 11 ), ( 7 , 13 ), (11, 17 ), (13, 19 ), (17, 23 ), (23, 29 ), ( 31 , 37 ), (37, 43 ), ( 41 , 47 ), (47, 53 ), (53, 59 ), ( 61 , 67 ), (67, 73 ), (73, 79 ), ( 83 , 89 ), ( 97 , 103 ), ( 101 , 107 ), (103, 109 ), (107, 113 ), ( 131 , 137 ), ( 151 , 157 ), (157, 163 ), ( 167 , 173 ), (173, 179 )、( 191 , 197 )、( 193 , 199 ) ( OEIS : A023201 、OEIS : A046117  )

最初のn個の素数を 10 進数で連結した素数。

2、23、2357 ( OEIS : A069151  )

4番目のスマランダチェ・ウェリン素数は、末尾が719である最初の128個の素数を連結した355桁の数字である。

形式の素数${\displaystyle f(2^{m})}$、 どこ${\displaystyle f(x)}$は、小さな整数係数を持つ低次多項式です。

• 3、5、7、11、13（OEIS： A165255 ；次の形式の素数）​​ ${\displaystyle 2^{a}\pm 2^{b}\pm 1}$）
• 2 ³²  −  5 は、32 ビットのメモリに収まる最大の素数です。^{[ 18 ]}
• 2 ⁶⁴  −  59 は、64 ビットのメモリに収まる最大の素数です。

pと2p + 1 はどちらも素数です。ソフィー・ジェルマン素数には対応する安全素数があります。

2、3、5、11、23、29、41、53、83、89、113、131、173、179、191、233、239、251、281、293 ​​、359、419​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​、431、443、491、509、593、641、653、659、683、719、743、761、809、911、953 ( OEIS : A005384 ) 

より小さい素数と、ゼロでない整数の2乗の2倍の和ではない素数。

2、3、17、137、227、977、1187、1493 ( OEIS : A042978 )​​​​​​​​​​​​​​ 

2011年現在これらは既知の唯一のスターン素数であり、おそらく現存する唯一の素数である。

素数列における素数インデックスを持つ素数（2番目、3番目、5番目、…素数）。

3、5、11、17、31、41、59、67、83、109、127、157、179、191、211、241、277、283、331、353、367、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 401、431、461、509、547、563、587、599、617、709、739、773、797、859、877、919、967、991 ( OEIS : A006450  )

超特異素数はちょうど15個存在する。

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、47、59、71 ( OEIS : A002267  )

^{3×2 n} − 1の形。

2、5、11、23、47、191、383、6143、786431、51539607551、824633720831、26388279066623、108086391056891903、55340232221128654847、226673591177742970257407 ( OEIS : A007505 )​​​​​​​​​​​​ 

^{3×2 n} + 1の形の素数は関連している。

7、13、97、193、769、 12289 、 786433 、 3221225473 、 206158430209 、 6597069766657 ( OEIS : A039687  )

ここで、( p , p +2, p +6) または ( p , p +4, p +6) はすべて素数です。

( 5 , 7 , 11 ), (7, 11, 13 ), (11, 13, 17 ), (13, 17, 19 ), (17, 19, 23 ), ( 37 , 41 , 43 ), (41, 43, 47 ), ( 67 , 71 , 73 ), ( 97 , 101 , 103 ), (101, 103, 107 ), (103, 107, 109 ), (107, 109, 113 ), ( 191 , 193 , 197 ), (193, 197, 199 ), ( 223 , 227 , 229 ), (227, 229, 233 ), ( 277、281、283 )、 ( 307、311、313 )、 (311、 313、317 )、 ( 347、349、353 ) ( OEIS : A007529 、OEIS : A098414 、OEIS : A098415  )

ここで、( p , p +2)は両方とも素数である。

( 3 , 5 ), (5, 7 ), ( 11 , 13 ), ( 17 , 19 ), ( 29 , 31 ), ( 41 , 43 ), ( 59 , 61 ), ( 71 , 73 ), ( 101 , 103 ), ( 107 , 109 ), ( 137 , 139 ), ( 149 , 151 ), ( 179 , 181 ), ( 191 , 193 ), ( 197 , 199 ), ( 227 , 229 ), ( 239 , 241 ), ( 269 , 271 ), ( 281 , 283 ), ( 311 , 313 ), ( 347 , 349 )、( 419、421 )、 ( 431、433 )、 ( 461、463 ) ( OEIS : A001359 、OEIS : A006512  )

1/ pの小数展開の周期の長さが一意である素数pのリスト(他の素数では同じ周期は与えられない)。

3、11、37、101、9091、9901、333667、909091、99990001、999999000001、9999999900000001、909090909090909091、​​​​​ ​1111111111111111111、11111111111111111111111、900900900900990990990991 ( OEIS : A040017  )

^{(2 n} + 1) / 3の形式。

3、11、43、683、2731、43691、174763、2796203、715827883、2932031007403、768614336404564651 、​​​​​​​ ​201487636602438195784363、845100400152152934331135470251、56713727820156410577229101238628035243 ( OEIS : A000979 ) 

nの値：

3、5、7、11、13、17、19、23、31、43、61、79、101、127、167、191、199、313、347、701、1709、2617 、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 3539、5807、10501、10691、11279、12391、14479、42737、83339、95369、117239、127031、138937、141079、267017、​​​ ​269987、374321 ( OEIS) : A000978  )

p  > 5 の素数 とは、p ^{2 が}フィボナッチ数を割り切る場合をいう。${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}}$ルジャンドル記号${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)}$は次のように定義される。

${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1&{\textrm {if}}\;p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1&{\textrm {if}}\;p\equiv \pm 2{\pmod {5}}.\end{cases}}}$

2022年現在以下のWall-Sun-Sun素数は見つかりませんでした${\displaystyle 2^{64}}$（について${\displaystyle 18\cdot 10^{18}}$) ^{[ 19 ]}

固定された整数a > 1 に対してa ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² )となる素数p。

2 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 1093 , 3511 ( OEIS : A001220  ) 3 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 11 , 1006003 ( OEIS : A014127  ) ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} 4 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 1093 , 3511 5 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 2 , 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801 ( OEIS : A123692  ) 6 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 66161, 534851, 3152573 ( OEIS : A212583  ) 7 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 5 , 491531 ( OEIS : A123693  ) 8 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 3 , 1093 , 3511 9 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 2 , 11 , 1006003 10 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 3 , 487 , 56598313 ( OEIS : A045616  ) 11 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 71 ^{[ 23 ]} 12 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 2693 , 123653 ( OEIS : A111027  ) 13 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 2 , 863 , 1747591 ( OEIS : A128667  ) ^{[ 23 ]} 14 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ²): 29 , 353 , 7596952219 ( OEIS : A234810  ) 15 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 29131, 119327070011 ( OEIS : A242741  ) 16 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ^{2 )} ): 1093 , 3511 17 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 2 , 3 , 46021, 48947 ( OEIS : A128668  ) ^{[ 23 ]} 18 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 5 , 7 , 37 , 331、33923、1284043 ( OEIS : A244260  ) 19 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 3 , 7 , 13 , 43 , 137 , 63061489 ( OEIS : A090968  ) ^{[ 23 ]} 20 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 281 , 46457, 9377747, 122959073 ( OEIS : A242982  ) 21 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 2 22 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 13 , 673 , 1595813, 492366587, 9809862296159 ( OEIS : A298951  ) 23 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 13 , 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329 ( OEIS : A128669  ) 24 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 5 , 25633 25 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 2、20771、40487、53471161、1645333507、6692367337、188748146801

2018年現在これらはすべて、a ≤ 25 の既知のヴィーフェリッヒ素数です。

p ^{2 が}( p −1)! + 1を割り切る素数p 。

5、13、563 ( OEIS : A007540  )

2018年現在これらは、知られている唯一のウィルソン素数である。

二項係数が${\displaystyle {{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}.}$

16843、2124679 ( OEIS : A088164  )

2018年現在これらは、知られている唯一のウォルステンホルム素数である。

n ×2 ⁿ − 1の形。

7、23、383、32212254719、2833419889721787128217599、195845982777569926302400511、​​ 4776913109852041418248056622882488319 ( OEIS : A050918  )