ヴィーフェリヒペア

数学において、ヴィーフェリッヒ対とは、pとqの素数 のペアであり、

p ^{q − 1} ≡ 1 ( mod q ² ) かつq ^{p − 1} ≡ 1 ( mod p ² )

ヴィーフェリッヒ対はドイツの 数学者 アーサー・ヴィーフェリッヒにちなんで名付けられました。ヴィーフェリッヒ対は、プレダ・ミハイレスクによる2002年のミハイレスクの定理（以前はカタランの予想として知られていました）の証明^[1]で重要な役割を果たします。^[2]

ヴィーフェリヒペアは7組しか知られていない: ^{[3] [4]}

(2, 1093)、(3, 1006003)、(5, 1645333507)、(5, 188748146801)、(83, 4871)、(911, 318917)、(2903, 18787)。( OEIS内のシーケンスOEIS : A124121およびOEIS : A124122 )

ヴィーフェリッヒ・トリプルとは 、 p、q、rの3つの素数のうち、

p ^{q − 1} ≡ 1 (mod q ² )、q ^{r − 1} ≡ 1 (mod r ² )、r ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² )。

ヴィーフェリッヒ三つ組は 17 個知られています:

(2, 1093, 5)、(2, 3511, 73)、(3, 11, 71)、(3, 1006003, 3188089)、(5, 20771, 18043)、(5, 20771, 950507)、(5) 、53471161、193）、 (5、6692367337、1601)、(5、6692367337、1699)、(5、188748146801、8807)、(13、863、23)、(17、478225523351、2311)、(41、 138200401、2953)、(83、 13691, 821)、(199, 1843757, 2251)、(431, 2393, 54787)、(1657, 2281, 1667)。( OEIS内のシーケンスOEIS : A253683、OEIS : A253684、OEIS : A253685 )

バーカー数列またはヴィーフェリッヒn組は、ヴィーフェリッヒペアとヴィーフェリッヒトリプルの一般化である。これは、次のような素数（p ₁、p ₂、p ₃、...、p _n） である。

p ₁ ^{p ₂ − 1} ≡ 1 (mod p ₂ ² )、p ₂ ^{p ₃ − 1} ≡ 1 (mod p ₃ ² )、p ₃ ^{p ₄ − 1} ≡ 1 (mod p ₄ ² )、...、p _{n −1} ^{p _n − 1} ≡ 1 (mod p _n ² )、p _n ^{p ₁ − 1} ≡ 1 (mod p ₁ ² )。^[5]

たとえば、(3, 11, 71, 331, 359) は Barker シーケンス、つまり Wieferich 5 組です。(5, 188748146801, 453029, 53, 97, 76704103313, 4794006457, 12197, 3049, 41) は Barker シーケンス、つまり Wieferich 10 組です。

最小の Wieferich n組については、OEIS : A271100を参照してください。すべての Wieferich 組の順序付きセットについては、OEIS : A317721を参照してください。

ヴィーフェリッヒ数列は、バーカー数列の特殊なタイプです。すべての整数k >1 には、独自のヴィーフェリッヒ数列があります。整数k >1 のヴィーフェリッヒ数列を作成するには、まず a(1) = k、a( n ) = a( n -1) ^{p -1} = 1 (mod p ) かつ a( n -1) ≠ 1 または -1 (mod p ) となる最小の素数pです。すべての整数k >1 には周期的なヴィーフェリッヒ数列があるというのが推測です。たとえば、2 のヴィーフェリッヒ数列は次のようになります。

2、1093、5、20771、18043、5、20771、18043、5、...、循環します: {5、20771、18043}。(ヴィーフェリッヒ トリプル)

83 の Wieferich シーケンス:

83、4871、83、4871、83、4871、83、...、循環 {83、4871} になります。(ヴィーフェリッヒ ペア)

59 のヴィーフェリッヒ数列: (この数列は周期的であるためにはより多くの項が必要です)

59、2777、133287067、13、863、7、5、20771、18043、5、...これも5になります。

しかし、a(1) には不明な状態を持つ値が多数存在します。たとえば、3 の Wieferich シーケンスは次のようになります。

3、11、71、47、？（47を底とするヴィーフェリッヒ素数は知られていない）。

14 の Wieferich シーケンス:

14、29、？（29を底とするヴィーフェリッヒ素数は2以外には知られていないが、2 ² = 4は29 - 1 = 28を割り切る）

39 の Wieferich シーケンス:

39、8039、617、101、1050139、29、？（29も取得します）

kの Wieferich 列が周期的にならないようなkの値が存在するかどうかは不明です。結局のところ、 kの Wieferich 列が有限になるようなkの値が存在するかどうかは不明です。

a( n -1)= kのとき、a( n ) は ( k = 2から開始) 次のように表されます: 1093、11、1093、20771、66161、5、1093、11、487、71、2693、863、29、29131、1093、46021、5、7、281、?、13、13、25633、20771、71、11、19、?、7、7、5、233、46145917691、1613、66161、77867、17、8039、11、29、23、5、229、 1283、829、?、257、491531、?、...（k = 21、29、47、50の場合、次の値も不明）

• ヴィーフェリヒ素数
• フェルマー商

• ビル、ユーリ F. (2004)。 「カタルーニャ語の予想（ミハイレスク以後）」。アステリスク。294 : vii、1-26。ズブル 1094.11014。
• Ernvall, Reijo; Metsänkylä, Tauno (1997). 「フェルマー商の p 割り切れる可能性について」. Math. Comp. 66 (219): 1353–1365. Bibcode :1997MaCom..66.1353E. doi : 10.1090/S0025-5718-97-00843-0 . MR  1408373. Zbl  0903.11002.
• Steiner, Ray (1998). 「クラス数境界とカタラン方程式」. Math. Comp . 67 (223): 1317–1322. Bibcode :1998MaCom..67.1317S. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00966-1 . MR  1468945. Zbl  0897.11009.