65,537

65537は、 65536の次の整数であり、65538の前の整数です。

65537 は、既知の最大の素数です。${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$（${\displaystyle n=4}$）であり、おそらく最後のものです。^{[ 1 ]}したがって、65537 辺の正多角形は 、コンパスと目盛りのない定規で作図可能です。ヨハン・グスタフ・ヘルメスはこの多角形の最初の明示的な作図を行いました。数論では、この形の素数は、数学者ピエール・ド・フェルマーにちなんで フェルマー素数として知られています。既知のフェルマー素数は のみです。

${\displaystyle 2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3,}$

${\displaystyle 2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5,}$

${\displaystyle 2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17,}$

${\displaystyle 2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257,}$

${\displaystyle 2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537.}$^{[ 2 ]}

1732年、レオンハルト・オイラーは次のフェルマー数が合成数であることを発見した。

${\displaystyle 2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417}$

1880年、フォルトゥネ・ランドリーは、

${\displaystyle 2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=274177\times 67280421310721}$

65537 は 17 番目のヤコブスタール・ルーカス数でもあり、現在知られている最大の整数nで、その数が 65537 である。$10^n+27$は素数である可能性が高い。^{[ 3 ]}

65537 は、 RSA暗号システムで公開指数としてよく使われます。これは、 n = 4のフェルマー数F _n = 2 ^{2 n} + 1であるため、一般的な略記法は「F ₄」または「F4」です。^{[ 4 ]}この値が RSA で使われたのは、主に歴史的な理由からです。初期の生の RSA 実装 (適切なパディングなし) は非常に小さな指数に対して脆弱でしたが、大きな指数を使うと (適切なパディングを前提として) 計算コストが高くなり、セキュリティ上の利点はありませんでした。^{[ 5 ]}

65537 は、 ZX Spectrumで使用されているものなど、一部のLehmer 乱数発生器のモジュラスとしても使用されています^{[ 6 ]。}これにより、任意のシード値が互いに素であることが保証され (最大周期を保証するために不可欠) 、ビットシフトと減算を使用してモジュラスによる効率的な削減も可能になります。