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表には1 から 1000 までの 自然数の素因数分解が含まれています。
nが素数の場合、素因数分解はn自身となり、以下に太字で示されます。
数1は単位数と呼ばれます。素因数は存在せず、素数でも合成数でもありません。
プロパティ
自然数nの多くの特性は、 nの素因数分解から確認したり、直接計算したりできます。
- nの素因数pの重複度は、 p m がn を割り切れる最大の指数mです。表には各素因数の重複度が示されています。指数が書かれていない場合、重複度は 1 です ( p = p 1なので) 。n を割り切れない素数の重複度は0 と呼ばれるか、または未定義と見なされます。
- 素数オメガ関数Ω( n ) は、重複度で数えられたnの素因数の数です（つまり、すべての素因数の重複度の合計です）。
- 素数はΩ( n ) = 1 です。最初のものは 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37 です ( OEISのシーケンスA000040 )。素数には多くの特別な種類があります。
- 合成数はΩ( n ) > 1 です。最初の数: 4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21 ( OEISのシーケンスA002808 )。1 より大きい数はすべて素数か合成数です。1 はどちらでもありません。
- 半素数はΩ( n ) = 2 です (したがって合成数です)。最初の数: 4、6、9、10、14、15、21、22、25、26、33、34 ( OEISのシーケンスA001358 )。
- kはほぼ素数（自然数kに対して）であり、Ω( n ) = kです（したがって、 k > 1の場合は合成数です）。
- 偶数の素因数は 2 です。最初の数: 2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24 ( OEISのシーケンスA005843 )。
- 奇数には素因数 2 がありません。最初の数: 1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23 ( OEISのシーケンスA005408 )。すべての整数は偶数か奇数のいずれかです。
- 平方根はすべての素因数に対して偶数重複度を持ちます（いくつかのaに対してa 2の形をとります）。最初のもの：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144（OEISのシーケンスA000290）。
- 立方体には、 3 で割り切れるすべての重複度があります (何らかのaに対してa 3 という形式になります)。最初の重複度: 1、8、27、64、125、216、343、512、729、1000、1331、1728 ( OEISのシーケンスA000578 )。
- 完全累乗は、すべての重複度に対してm > 1 の公約数を持ちます( a > 1かつm > 1の場合、 a mの形式になります)。最初の公約数: 4、8、9、16、25、27、32、36、49、64、81、100 ( OEISのシーケンスA001597 )。1 が含まれる場合もあります。
- 強力数(平方数とも呼ばれる)は、すべての素因数に対して重複度が 1 を超えます。最初の数: 1、4、8、9、16、25、27、32、36、49、64、72 ( OEISのシーケンスA001694 )。
- 素数累乗には素因数が 1 つだけあります。最初の素因数は 2、3、4、5、7、8、9、11、13、16、17、19 です ( OEISのシーケンスA000961 )。1 が含まれる場合もあります。
- アキレス数は強力ですが、完全な累乗ではありません。最初の数: 72、108、200、288、392、432、500、648、675、800、864、968 ( OEISのシーケンスA052486 )。
- 平方でない整数には、重複度が 1 を超える素因数はありません。最初のものは、1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15、17 です ( OEISのシーケンスA005117 )。すべての素因数ではなく一部だけが重複度が 1 を超える数は、平方でない数でも平方でもありません。
- リウヴィル関数λ( n )は、Ω( n )が偶数の場合には1となり、Ω( n )が奇数の場合には-1となる。
- メビウス関数μ( n ) は、 nが平方でない場合 0 になります。それ以外の場合、 μ( n ) は、Ω( n ) が偶数の場合は 1 になり、Ω( n ) が奇数の場合は -1 になります。
- スフェニック数は Ω( n ) = 3 で、平方根を持ちません（つまり、3 つの異なる素数の積です）。最初の数: 30、42、66、70、78、102、105、110、114、130、138、154（OEISのシーケンスA007304）。
- a 0 ( n ) は、重複度を基準にn を割り切る素数の和です。これは加法関数です。
- ルース・アーロンペアは、 2 つの連続する数 ( x、x +1) で、0 ( x ) = 0 ( x +1) です。最初 ( x の値による)は、 5、8、15、77、125、714、948、1330、1520、1862、2491、3248 ( OEISのシーケンスA039752 ) です。別の定義では、同じ素数が 1 回だけカウントされます。その場合、最初 ( x の値による) は、5、24、49、77、104、153、369、492、714、1682、2107、2299 ( OEISのシーケンスA006145 ) です。
- 原始x # は、 2 から xまでのすべての素数の積です。最初のもの: 2、6、30、210、2310、30030、510510、9699690、223092870、6469693230、200560490130、7420738134810 ( OEISのシーケンスA002110 )。1# = 1 が含まれる場合もあります。
- 階乗x !は、 1 から xまでのすべての数の積です。最初の数: 1、2、6、24、120、720、5040、40320、362880、3628800、39916800、479001600 ( OEISのシーケンスA000142 )。0! = 1 が含まれる場合もあります。
- k滑らかな数(自然数kの場合) の素因数はk ≤ です (したがって、任意のj > kに対してj滑らかな数でもあります)。
- mの最大の素因数がnの最大値より小さい場合、 m はnよりも滑らかです。
- 通常の数は5を超える素因数を持ちません (したがって 5 滑らかです)。最初の数: 1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、16 ( OEISのシーケンスA051037 )。
- kべき乗平滑数は、p が重複度mの素因数である場合、すべてp m ≤ kとなります。
- 簡素数は、素因数分解の桁数よりも多くの桁数を持ちます (以下の表のように、1 を超える倍数を指数として表記した場合)。10進数で最初の数: 125、128、243、256、343、512、625、729、1024、1029、1215、1250 ( OEISのシーケンスA046759 )。
- 等桁数は、その素因数分解した数と同じ桁数を持ちます。10進数の最初の数: 1、2、3、5、7、10、11、13、14、15、16、17 ( OEISのシーケンスA046758 )。
- 奇数は、素因数分解した数よりも桁数が少なくなります。10進数の最初の数: 4、6、8、9、12、18、20、22、24、26、28、30 ( OEISのシーケンスA046760 )。
- 経済的な数は質素な数として定義されていますが、質素な数または等桁数としても定義されています。
- gcd( m , n ) ( mとnの最大公約数) は、 mとnの両方に含まれるすべての素因数の積です( mとnの重複度は最小です)。
- gcd( m , n ) = 1 の場合 (つまり、共通の素因数がない)、mとn は互いに素(互いに素とも呼ばれる)です。
- lcm( m , n ) ( mとnの最小公倍数) は、 mまたはnのすべての素因数の積です( mまたはnの重複度が最も高くなります)。
- gcd( m , n ) × lcm( m , n ) = m × n。素因数を見つけることは、既知の素因数分解を必要としない他のアルゴリズムを使用して gcd と lcm を計算することよりも難しいことがよくあります。
- mのすべての素因数がn内で少なくとも同じ重複度を持つ場合、 m はnの約数です（m がn を割り切る、またはn がmで割り切れるとも呼ばれます） 。
nの約数は、nの一部またはすべての素因数の積です(素因数が 1 つもない空の積 1 も含みます)。約数の数は、すべての重複度を 1 ずつ増やしてから掛け合わせることで計算できます。約数と約数に関連するプロパティは、約数の表に示されています。