A cyclic number is an integer for which cyclic permutations of the digits are successive integer multiples of the number. The most widely-known cyclic number is 142857 , whose first six integer multiples are
142857 × 1 = 142857 142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142
Details To qualify as a cyclic number, it is required that consecutive multiples be cyclic permutations. Thus, the number 076923 would not be considered a cyclic number, because even though all cyclic permutations are multiples, they are not consecutive integer multiples:
076923 × 1 = 076923 076923 × 3 = 230769 076923 × 4 = 307692 076923 × 9 = 692307 076923 × 10 = 769230 076923 × 12 = 923076 The following trivial cases are typically excluded:
single digits, e.g.: 5 repeated digits, e.g.: 555 repeated cyclic numbers, e.g.: 142857142857 If leading zeros are not permitted on numerals, then 142857 is the only cyclic number in decimal , due to the necessary structure given in the next section. Allowing leading zeros, the sequence of cyclic numbers begins:
(106 −7 = 142857 (6 digits) (1016 −17 = 0588235294117647 (16 digits) (1018 −19 = 052631578947368421 (18 digits) (1022 −23 = 0434782608695652173913 (22 digits) (1028 −29 = 0344827586206896551724137931 (28 digits) (1046 −47 = 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 digits) (1058 −59 = 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 digits) (1060 −61 = 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 digits) (1096 −97 = 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 (96 digits)
Relation to repeating decimals 循環数は、単位分数 の繰り返し数字表現に関連しています。長さ L の循環数は、
1/( L + 1) 逆に、1/ p ( p は素数 )のデジタル周期が
p − 1、すると、その数字は循環数を表す。
例えば：
1/7 = 0.142857 142857... これらの分数の倍数は巡回置換を示す。
1/7 = 0.142857 142857... 2/7 = 0.285714 285714... 3/7 = 0.428571 428571... 4/7 = 0.571428 571428... 5/7 = 0.714285 714285... 6/7 = 0.857142 857142...
単位分数との関係から、循環数はフェルマー商 の形をとることが示される。
b p − 1 − 1 p {\displaystyle {\frac {b^{p-1}-1}{p}}} ここで、b は基数 (10進数 の場合は 10 ) であり、pは b を 割り切ら ない素数 です。(基数b で循環数を与える素数p は、基数bの 完全反復素数 または長素数と呼ばれます)。
例えば、b = 10、p = 7 の場合、循環数 142857 が得られ、b = 12、p = 5 の場合、循環数 2497 が得られます。
この式を使っても、 p のすべての値が循環数になるわけではありません。例えば、b = 10、 p = 13 の場合は 076923076923 となり、b = 12、p = 19 の場合は 076B45076B45076B45 となります。これらの失敗したケースでは、必ず数字の繰り返し（場合によっては複数回）が含まれます。
この式が十進数 で循環数を生成する最初のp の値( b = 10) は( OEIS の シーケンス A001913 )です。
7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857、863、887、937、941、953、971、977、983、... b = 12 ( 12進数 )の場合、これらのpは ( OEIS のシーケンス A019340 ) です。
5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619, 631, 641, 653, 691, 701, 739, 751, 761, 773、787、797、809、821、857、881、929、953、967、977、991、... b = 2 (バイナリ )の場合、これらのpは ( OEIS のシーケンス A001122 ) です。
3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709、757、773、787、797、821、827、829、853、859、877、883、907、941、947、... b = 3 (三元 )の場合、これらのpは ( OEIS の配列 A019334 ) です。
2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 631, 641, 653, 677, 691, 701、739、751、773、797、809、811、821、823、857、859、881、907、929、941、953、977、... 16進 数にはそのようなp は存在しません。
この数列の既知のパターンは代数的整数論に由来し、具体的には、この数列は、 bが法 p の原始根 となるような素数p の集合である。エミル・アルティン[ 1 ] の予想では、この数列には ( OEIS の 数列 A085397 のb について) の素数の 37.395..% が含まれている。
循環数の構成 循環数は、以下の手順 で構築できます。
b を 基数 (10 進数の場合は 10 ) とする。pを b を 割り切れない素数とする 。t = 0 とする。r = 1 とする。n = 0 とする。 ループ:
t = t + x = r ⋅ b とするd = int ( x / p )とするr = x mod p とするn = n ⋅ b + d と するr ≠ 1の場合t = p − 1 の場合、 n は循環数である。
この手順は、1/ pの b 基数における桁を長除法 によって計算することによって機能します。r は各ステップでの 余り であり、d は生成された桁です。
ステップ
n = n ⋅ b + d これは単に数字を収集するだけのものです。非常に大きな整数を表現できないコンピュータの場合、数字は別の方法で出力または収集されることがあります。
tが p /2を超える場合、残りの桁を計算する必要なく、その数は循環数となる。
循環数の性質 生成素数を掛けると、結果としてb -1桁の数字列が得られます。ここでb は基数（例えば10進数では10）です。例えば、10進数では142857 × 7 = 999999となります。 同じ長さ（2桁、3桁、4桁など）のグループに分割し、それらのグループを足し合わせると、結果としてb -1桁の数字の列が得られます。たとえば、14 + 28 + 57 = 99、142 + 857 = 999、1428 + 5714 + 2857 = 9999などです。これはミディの定理 の特殊なケースです。 すべての循環数は、 b − 1で割り切れます。ここで、 b は基数（例えば、十進数では 9）であり、余りの和は除数の倍数になります。（これは前の点から導かれます。）
その他の数値基数 上記の手法を用いると、他の基数でも循環数を求めることができます。（ただし、これら全てが上記の「特殊なケース」の項に記載されている第2の規則（連続する全ての倍数が循環順列である）に従うわけではありません。）これらのケースでは、半周期にわたる桁の合計が基数マイナス1になります。したがって、2進数では半周期にわたるビットの合計は1、3進数では2、といった具合です。
二進数 では、循環数列は次のように始まります。（ OEIS のシーケンス A001122 ）
11 (3) → 01 101 (5) → 0011 1011 (11) → 0001011101 1101 (13) → 000100111011 10011 (19) → 000011010111100101 11101 (29) → 0000100011010011110111001011 三項表記 ：（ OEIS の配列 A019334 ）
2 (2) → 1 12 (5) → 0121 21 (7) → 010212 122 (17) → 0011202122110201 201 (19) → 001102100221120122 1002 (29) → 0002210102011122200121202111 四元系 には存在しない。
5次配列 の場合：（ OEIS の配列 A019335 ）
2 (2) → 2 3 (3) → 13 12 (7) → 032412 32 (17) → 0121340243231042 43 (23) → 0102041332143424031123 122 (37) → 003142122040113342441302322404331102 6文字 : ( OEIS の配列 A167794 )
15 (11) → 0313452421 21 (13) → 024340531215 25 (17) → 0204122453514331 105 (41) → 0051335412440330234455042201431152253211 135 (59) → 0033544402235104134324250301455220111533204514212313052541 141 (61) → 003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335 7進数表記：（ OEIS の配列 A019337 ）
2 (2) → 3 5 (5) → 1254 14 (11) → 0431162355 16 (13) → 035245631421 23 (17) → 0261143464055232 32 (23) → 0206251134364604155323 8進数表記 ：（ OEIS のシーケンス A019338 ）
3 (3) → 25 5 (5) → 1463 13 (11) → 0564272135 35 (29) → 0215173454106475626043236713 65 (53) → 0115220717545336140465103476625570602324416373126743 73 (59) → 0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415 9進数 では、一意の巡回数は
2 (2) → 4 10進数表記 ：（OEIS の シーケンス A019339 ）
2 (2) → 5 3 (3) → 37 12 (13) → 093425A17685 16 (17) → 07132651A3978459 21(23) → 05296243390A581486771A 27(29) → 04199534608387A69115764A2723 12進数 表記：（ OEIS のシーケンス番号 A019340 ）
5 (5) → 2497 7 (7) → 186A35 15 (17) → 08579214B36429A7 27(31) → 0478AA093598166B74311B28623A55 35 (41) → 036190A653277397A9B4B85A2B15689448241207 37 (43) → 0342295A3AA730A068456B879926181148B1B53765 3進数（b = 3）の場合、p = 2 のとき、循環数として 1 が得られます。1 桁の数字は自明なケースと見なされるかもしれませんが、理論の完全性を保つためには、このように生成された場合にのみ考慮することが有用かもしれません。
完全平方数 である数値基数、つまり基数4、9、16、25などには、自明な1桁の数字（ p = 2）を除いて、循環数は存在しないことが示せる。
参考文献 ↑ Weisstein, Eric W. "Artin's Constant" . mathworld.wolfram.com .
さらに読む ガードナー、マーティン。『数学サーカス：サイエンティフィック・アメリカン誌からのパズル、ゲーム、パラドックス、その他の数学的娯楽』ニューヨーク：アメリカ数学協会、1979年、 111～122ページ。 カルマン、ダン;「循環数字パターンを持つ分数」『カレッジ数学ジャーナル』第27巻、第2号（1996年3月）、109-115ページ 。 ジョン・レスリー著『算術の哲学：理論と実践に関する進歩的な見解を示す』 ロングマン、ハースト、リース、オーム、ブラウン社、1820年、ISBN 1-4020-1546-1 ウェルズ、デイビッド 著『ペンギン版 不思議で興味深い数字辞典 』 、ペンギン・プレス刊 。ISBN 0-14-008029-5 
