常微分方程式

与えられた${\displaystyle F}$関数${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、およびの派生${\displaystyle y}$すると、次の形式の方程式が得られます。

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

は、次の明示的な常微分方程式と呼ばれます。${\displaystyle n}$[ ^{13 ] [ 14 ]​}

より一般的には、次の暗黙の常微分方程式${\displaystyle n}$形式は次のようになります。^{[ 15 ]}

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0}$

さらに分類があります。

自律型

微分方程式は、変数xに依存しない場合、自律的である。

リニア

微分方程式は、${\displaystyle F}$は、の導関数の線形結合として表すことができる。${\displaystyle y}$つまり、次のように書き換えることができる。

${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

どこ${\displaystyle a_{i}(x)}$そして${\displaystyle r(x)}$連続関数${\displaystyle x}$[ ^{13 ] [ 16 ] [ 17 ]​}

機能${\displaystyle r(x)}$ソース用語と呼ばれ、さらなる分類につながる。^{[ 16 ] [ 18 ]}

均質

線形微分方程式は、次の場合に同次である。${\displaystyle r(x)=0}$この場合、常に「自明な解決策」が存在する。${\displaystyle y=0}$。

非均質（または不均質）

線形微分方程式は、以下の条件を満たす場合に非同次である。$\displaystyle r(x)\neq 0$。

非線形

線形ではない微分方程式。

複数の連立微分方程式が連立方程式系を形成する。${\displaystyle \mathbf {y} }$要素が関数であるベクトルです。${\displaystyle \mathbf {y} (x)=[y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{m}(x)]}$、 そして${\displaystyle \mathbf {F} }$はベクトル値関数である${\displaystyle \mathbf {y} }$そしてその派生形、

${\displaystyle \mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)}$

は、次の常微分方程式の明示的なシステムである。${\displaystyle n}$寸法​${\displaystyle m}$列ベクトル形式で：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}}$

これらは必ずしも線形ではありません。暗黙的な類似例は次のとおりです。

${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}}$

どこ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}=(0,0,\ldots ,0)}$はゼロベクトルです。行列形式では

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

形式のシステムの場合${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}}$また、一部の情報源ではヤコビ行列も必要としている。${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}}$これを暗黙の常微分方程式[システム]と呼ぶためには、非特異でなければなりません。このヤコビアン非特異条件を満たす暗黙の常微分方程式システムは、明示の常微分方程式システムに変換できます。同じ資料では、特異なヤコビアンを持つ暗黙の常微分方程式システムは、微分代数方程式(DAE)と呼ばれています。この区別は単なる用語の問題ではありません。DAEは根本的に異なる特性を持ち、一般的に(非特異な)常微分方程式システムよりも解くのが複雑です。^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}おそらく追加の導関数については、このスキームに従ってヘッセ行列なども非特異であると仮定されますが、 1次より大きい任意の常微分方程式は、(そして通常は) 1次の常微分方程式システムとして書き直すことができることに注意してください。 ^{[ 22 ]}これにより、ヤコビアン特異基準は、この分類法がすべての次数において包括的であるために十分になります。

常微分方程式系の挙動は、位相図を用いることで視覚化できる。

微分方程式が与えられた場合

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0}$

関数${\displaystyle u:I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$、 どこ${\displaystyle I}$は区間であり、 はの解または積分曲線と呼ばれます。${\displaystyle F}$、 もし${\displaystyle u}$は${\displaystyle n}$-回微分可能${\displaystyle I}$、 そして

${\displaystyle F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.}$

2つの解が与えられた${\displaystyle u:J\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$そして${\displaystyle v:I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$、${\displaystyle u}$拡張と呼ばれる${\displaystyle v}$もし${\displaystyle I\subset J}$そして

${\displaystyle u(x)=v(x)\quad x\in I.\,}$

拡張を持たない解を最大解と呼ぶ。すべての上で定義された解は${\displaystyle \mathbb {R} }$これはグローバルソリューションと呼ばれます。

一般的な解決策${\displaystyle n}$次方程式は、以下の解を含む。${\displaystyle n}$任意の独立した積分定数。特殊解は、定数を特定の値に設定することによって一般解から導出され、多くの場合、設定された「初期条件または境界条件」を満たすように選択されます。^{[ 23 ]} 特異解は、一般解の任意の定数に確定値を割り当てることによって得られない解です。^{[ 24 ]}

線形常微分方程式の文脈では、「特殊解」という用語は、常微分方程式の任意の解（必ずしも初期条件を満たすとは限らない）を指す場合もあり、この特殊解は同次解（同次常微分方程式の一般解）に加えられ、元の常微分方程式の一般解を形成します。これは、本稿の推測法のセクションで使用されている用語であり、未定係数法や定数変化法を議論する際によく用いられます。

非線形自律常微分方程式の場合、いくつかの条件下では有限期間の解を開発することが可能です^{[ 25 ]。}ここでいう有限期間の解とは、システムが自身のダイナミクスによって終了時にゼロの値に達し、その後は永遠にゼロのままになることを意味します。これらの有限期間の解は実数全体で解析関数にはなり得ず、終了時に非リプシッツ関数となるため、リプシッツ微分方程式の解の一意性定理には含まれません。

例えば、方程式

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

有限時間解を認める：

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}}$

常微分方程式および偏微分方程式の特異解の理論は、ライプニッツの時代から研究対象となっていたが、19世紀半ば以降になってようやく特別な注目を集めるようになった。この分野における貴重だがあまり知られていない著作として、ウータン（1854年）の著作がある。ダルブー（1873年以降）はこの理論の先駆者であり、これらの解の幾何学的解釈において、カソラティやケイリーをはじめとする多くの研究者が研究した分野を切り開いた。後者（ケイリー）は、1900年頃に受け入れられた1階微分方程式の特異解の理論（1872年）を確立した。

微分方程式を扱う初期の試みは、求積法、すなわち解を既知の関数とその積分で表すことを目指していた。これは定数係数を持つ線形方程式では可能であったが、19世紀には、それ以外の場合には一般的に不可能であることが明らかになった。そこで、解析学者は（自らの研究のために）微分方程式の解となる関数の研究を始め、新たな有望な分野を切り開いた。コーシーはこの見解の重要性を最初に認識した人物である。その後、真の問題は求積法による解法が可能かどうかではなく、与えられた微分方程式が関数の定義に十分かどうか、そしてもし十分であれば、そのような関数の特性は何か、という点になった。

フックス^{[ 26 ]}による2つの回想録は、後にトメとフロベニウスによって発展させられた新しいアプローチを刺激した。（誰？）コレは1869年から著名な貢献者であった。彼の非線形システムの積分法は1868年にベルトランに伝えられた。クレブシュ（1873）は、アーベル積分の理論と同様のアプローチでこの理論に取り組んだ。後者は有理変換の下で変化しない基本曲線の性質に基づいて分類できるため、クレブシュは微分方程式によって定義される超越関数を対応する曲面の不変の性質に基づいて分類することを提案した。${\displaystyle f=0}$合理的な一対一変換の下で。

1870年以降、ソフス・リーの研究は微分方程式の理論をより強固なものにした。彼は、リー群を用いることで、従来の数学者たちの積分理論を共通の源泉に帰着させることができること、そして同じ微小変換を許容する常微分方程式は同程度の積分上の困難を示すことを示した。彼はまた、接触変換という主題にも重点を置いた。

リーの微分方程式の群論は、(1)微分方程式を解くために知られている多くの場当たり的な方法を統一し、(2)解を見つけるための強力な新しい方法を提供する、という点で証明されている。この理論は常微分方程式と偏微分方程式の両方に応用できる。^{[ 27 ]}

一般的な解法では、微分方程式の対称性、解から解への連続的な無限小変換（リー理論）を利用します。連続群論、リー代数、微分幾何学を用いて、線形および非線形（偏）微分方程式の構造を理解し、積分可能な方程式を生成し、そのラックス対、再帰演算子、バックルンド変換を見つけ、最終的に微分方程式の厳密な解析解を見つけます。

対称性解析法は、数学、物理学、工学、その他の分野で生じる微分方程式に適用されてきた。

シュトゥルム・リウヴィル理論は、特殊なタイプの2階線形常微分方程式の理論です。その解は、2階同次線形方程式によって定義される線形演算子の固有値と対応する固有関数に基づいています。これらの問題はシュトゥルム・リウヴィル問題（SLP）として識別され、 1800年代半ばにそれらを研究したJ. C. F. SturmとJ. Liouvilleにちなんで名付けられました。SLPは無限個の固有値を持ち、対応する固有関数は完全な直交集合を形成するため、直交展開が可能になります。これは応用数学、物理学、工学における重要なアイデアです。^{[ 28 ]} SLPは、特定の偏微分方程式の解析にも役立ちます。    

この定理は、以下のように簡潔に述べることができる。^{[ 30 ]}方程式と初期値問題について： $${\displaystyle y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})}$$ もし${\displaystyle F}$そして${\displaystyle \partial F/\partial y}$閉じた長方形内で連続している $${\displaystyle R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]}$$ で${\displaystyle x-y}$飛行機、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$実在する（象徴的に：${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$） そして ${\displaystyle \times }$はデカルト積を表し、角括弧は閉区間を表すので、区間が存在する。 $${\displaystyle I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]}$$ 一部の人にとって${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$上記の方程式と初期値問題の解が見つかる場所。つまり、解が存在し、それは一意です。${\displaystyle F}$線形であるためには、これは次の形式の非線形方程式に適用されます。${\displaystyle F(x,y)}$また、連立方程式にも適用できる。

ピカール・リンデレーフの定理の仮定が満たされる場合、局所的な存在と一意性は、大域的な結果に拡張できます。より正確には：^{[ 31 ]}

各初期条件について${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$唯一の最大（おそらく無限）開区間が存在する

${\displaystyle I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }}$

この初期条件を満たす任意の解は、この初期条件を満たす解の制限であり、その領域は${\displaystyle I_{\max }}$。

の場合${\displaystyle x_{\pm }\neq \pm \infty }$可能性はちょうど2つあります

• 有限時間内での爆発：${\displaystyle \limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty }$
• 定義の領域を離れる:${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}}$

どこ${\displaystyle \Omega }$は、${\displaystyle F}$定義され、${\displaystyle \partial {\bar {\Omega }}}$それがその境界です。

解の最大領域に注意してください

• 常に区間である（一意性を持つため）
• より小さいかもしれない${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 特定の選択によって異なる可能性があります${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$。

例。

${\displaystyle y'=y^{2}}$

これはつまり${\displaystyle F(x,y)=y^{2}}$それは${\displaystyle C^{1}}$したがって、局所的にリプシッツ連続であり、ピカール・リンデレーフの定理を満たす。

このような単純な設定でも、解の最大領域はすべて${\displaystyle \mathbb {R} }$解決策は

${\displaystyle y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}}$

最大ドメインを持つもの：

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}\right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end{cases}}}$

これは、最大区間が初期条件に依存する可能性があることを明確に示しています。${\displaystyle y}$と解釈できる${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0}),}$しかし、これは区間ではない領域につながるため、初期条件の反対側は初期条件から切り離され、したがって初期条件によって一意に決定されなくなります。

最大ドメインは${\displaystyle \mathbb {R} }$なぜなら

${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,}$

これは、上記の定理によれば、考えられる2つのケースのうちの1つである。

次数 の任意の明示的微分方程式${\displaystyle n}$、

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

はシステムとして記述できる${\displaystyle n}$未知関数の新しい族を定義することによって、1階微分方程式を解く

${\displaystyle y_{i}=y^{(i-1)}.\!}$

のために${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$.${\displaystyle n}$次元の1階連立微分方程式系は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}}$

ベクトル表記でより簡潔に表すと次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).}$