フーリエ解析

数学において、フーリエ解析（/ ˈ f ʊr i eɪ , - i ər /）^{[1]は、一般的な}関数をより単純な三角関数の和で表現または近似する方法を研究する分野です。フーリエ解析はフーリエ級数の研究から発展したもので、関数を三角関数の和として表現すると熱伝達の研究が大幅に簡素化されることを示したジョセフ・フーリエにちなんで名付けられました。

フーリエ解析の主題は、数学の幅広い範囲を網羅しています。科学と工学では、関数を振動成分に分解するプロセスはフーリエ解析と呼ばれることが多く、これらの部分から関数を再構築する操作はフーリエ合成として知られています。たとえば、音符に存在する成分周波数を決定するには、サンプリングされた音符のフーリエ変換を計算する必要があります。その後、フーリエ解析で明らかにされた周波数成分を含めることで、同じ音を再合成できます。数学では、フーリエ解析という用語は、両方の操作の研究を指すことがよくあります。

分解プロセス自体はフーリエ変換と呼ばれます。その出力であるフーリエ変換には、変換される関数のドメインやその他の特性に応じて、より具体的な名前が付けられることがよくあります。さらに、フーリエ解析の元の概念は、時間の経過とともに、より抽象的で一般的な状況に適用できるように拡張され、一般的な分野はしばしば調和解析として知られています。解析に使用される各変換（フーリエ関連変換の一覧を参照）には、合成に使用できる 対応する逆変換があります。

フーリエ解析を使用するには、データが等間隔でなければなりません。不等間隔のデータを解析するためのさまざまなアプローチが開発されており、特に、フーリエ解析に似た、データサンプルに正弦波の最小二乗近似を使用する最小二乗スペクトル解析（LSSA）法が注目されています。 ^{[2] [3]}科学で最もよく使用されるスペクトル法であるフーリエ解析は、一般に、長いギャップのある記録で長周期ノイズを増幅しますが、LSSAはそのような問題を軽減します。^[4]

フーリエ解析は、物理学、偏微分方程式、数論、組合せ論、信号処理、デジタル画像処理、確率論、統計、法医学、オプション価格設定、暗号、数値解析、音響学、海洋学、ソナー、光学、回折、幾何学、タンパク質構造解析などの分野で多くの科学的応用があります。

この幅広い適用性は、変換の多くの有用な特性から生まれます。

• 変換は線形演算子であり、適切な正規化を行うとユニタリになります（パーセバルの定理、またはより一般的にはプランシュレルの定理として知られ、最も一般的にはポンチャギン双対性を介して知られています）。^[5]
• 変換は通常は可逆です。
• 指数関数は微分固有関数であり、この表現は定数係数を持つ線形微分方程式を通常の代数方程式に変換することを意味します。 ^{[6]したがって、}線形時間不変システムの挙動は、各周波数で独立に分析できます。
• 畳み込み定理によれば、フーリエ変換は複雑な畳み込み演算を単純な乗算に変換します。つまり、信号フィルタリング、多項式乗算、大きな数の乗算などの畳み込みベースの演算を効率的に計算する方法を提供します。^[7]
• フーリエ変換の離散バージョン（下記参照）は、高速フーリエ変換（FFT）アルゴリズムを使用してコンピュータ上で迅速に評価できます。^[8]

法医学では、実験室の赤外線分光光度計はフーリエ変換分析を使用して、赤外線スペクトルで物質が吸収する光の波長を測定します。FT法は、測定された信号をデコードし、波長データを記録するために使用されます。そして、コンピューターを使用することで、これらのフーリエ計算は迅速に実行され、コンピューター操作のFT-IR機器は、ほんの数秒でプリズム機器に匹敵する赤外線吸収パターンを生成することができます。^[9]

フーリエ変換は、信号をコンパクトに表現するのにも役立ちます。たとえば、JPEG圧縮では、デジタル画像の小さな正方形部分のフーリエ変換 (離散コサイン変換)の変形を使用します。各正方形のフーリエ成分は、算術精度を低くするために丸められ、弱い成分は除去されるため、残りの成分は非常にコンパクトに保存できます。画像の再構成では、保存された近似フーリエ変換成分から各画像正方形が再構成され、その後逆変換されて元の画像の近似値が生成されます。

信号処理において、フーリエ変換は時系列または連続時間の関数を取り、それを周波数スペクトルにマッピングすることがよくあります。つまり、時間領域から周波数領域に関数を取り、関数を異なる周波数の正弦波に分解します。フーリエ級数または離散フーリエ変換の場合、正弦波は分析される関数の基本周波数の高調波です。

関数が時間の関数であり、物理信号を表す場合、変換は信号の周波数スペクトルとして標準的に解釈されます。周波数における結果として得られる複素数値関数の大きさは、初期位相が（極座標） の角度によって与えられる周波数成分の振幅を表します。${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S(f)}$

フーリエ変換は、時間や時間周波数の関数に限定されません。空間周波数の分析にも同様に応用でき、実際、ほぼすべての関数領域に適用できます。このため、画像処理、熱伝導、自動制御など、さまざまな分野でフーリエ変換が使用されています。

音声、電波、光波、地震波、さらには画像などの信号を処理する場合、フーリエ解析は複合波形の狭帯域成分を分離し、それらを集中させて検出や除去を容易にすることができます。信号処理技術の大きなファミリーは、信号のフーリエ変換、フーリエ変換されたデータの単純な操作、および逆変換で構成されています。^[10]

いくつかの例を以下に示します。

• 一連のバンドパス フィルターによるオーディオ録音のイコライゼーション。
• 現代の携帯電話や無線スキャナーのようなスーパーヘテロダイン回路を使用しないデジタル無線受信。
• インターレースビデオのジャギー、ストリップ航空写真のストリップアーティファクト、デジタルカメラの無線周波数干渉による波形パターンなどの周期的または異方性のアーティファクトを除去する画像処理。
• 類似画像の相互相関による共位置合わせ。
• 回折パターンから結晶構造を再構築するX線結晶構造解析。
• 磁場内のサイクロトロン運動の周波数からイオンの質量を決定するフーリエ変換イオンサイクロトロン共鳴質量分析法。
• 赤外線分光法や核磁気共鳴分光法を含む他の多くの形式の分光法。
• 音を分析するために使用されるサウンドスペクトログラムの生成。
• 機械の騒音に基づいてターゲットを分類するために使用されるパッシブソナー。

ほとんどの場合、修飾語のない用語「フーリエ変換」は、連続した実引数の関数の変換を指し、周波数分布として知られる連続した周波数関数を生成します。1 つの関数が別の関数に変換され、操作は可逆です。入力 (初期) 関数のドメインが時間 ( ) で、出力 (最終) 関数のドメインが通常の周波数の場合、周波数での関数の変換は複素数で与えられます。${\displaystyle t}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}$

この量を のすべての値に対して評価すると、周波数領域関数が生成されます。次に、 はすべての可能な周波数の複素指数の再結合として表すことができます。${\displaystyle f}$${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}$

これは逆変換式である。複素数は周波数の振幅と位相の両方を伝える。${\displaystyle S(f),}$${\displaystyle f.}$

詳細については、フーリエ変換を参照してください。

• 振幅の正規化と周波数のスケーリング/単位の規則
• 変換プロパティ
• 特定の関数の表形式の変換
• 画像などの多次元関数の拡張/一般化。

周期関数のフーリエ変換は、周期が複素係数のシーケンスによって変調されたディラックの櫛形関数になります。${\displaystyle s_{_{P}}(t),}$${\displaystyle P,}$

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{_{P}}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (ここで は長さ の任意の区間の積分です)。${\displaystyle \int_{P}}$${\displaystyle P}$

逆変換はフーリエ級数として知られ、係数 の 1 つによって指定される振幅と位相を持つ、潜在的に無限の数の調和的に関連する正弦波または複素指数関数の合計によってを表現したものです。${\displaystyle s_{_{P}}(t)}$

${\displaystyle s_{_{P}}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty } S[k]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.}$

任意の関数は、別の関数の周期的な和として表現できます。${\displaystyle s_{_{P}}(t)}$${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s_{_{P}}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}$

そして係数はの離散間隔におけるのサンプルに比例します。${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle {\frac {1}{P}}}$

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}$^[あ]

変換が同じ離散サンプル値を持つ任意の を周期的和に使用できることに注意してください。これらのサンプルから (つまり、フーリエ級数から) を回復(したがって) するための十分な条件は、 の非ゼロ部分が、ナイキスト-シャノンのサンプリング定理の周波数領域双対である持続時間の既知の間隔に限定されることです。 ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle P,}$

歴史的な発展を含む詳細については、 フーリエ級数を参照してください。

DTFT は時間領域フーリエ級数の数学的な双対です。したがって、周波数領域における収束周期和は、係数が関連する連続時間関数のサンプルであるフーリエ級数で表すことができます。

${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{フーリエ級数 (DTFT)}}} _{\text{ポアソン和公式}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \delta (t-nT)\right\},\,}$

これはDTFTとして知られています。したがって、シーケンスのDTFTは変調されたディラックコム関数のフーリエ変換でもあります。^[B]${\displaystyle s[n]}$

フーリエ級数の係数（および逆変換）は次のように定義されます。

${\displaystyle s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\tfrac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.}$

パラメータはサンプリング間隔に対応し、このフーリエ級数はポアソン総和公式の形式として認識できるようになりました。したがって、離散データ シーケンスが基礎となる連続関数 のサンプルに比例する場合、連続フーリエ変換 の周期的な総和を観察できるという重要な結果が得られます。同じ離散サンプル値を持つ はすべて同じ DTFT を生成することに注意してください。ただし、特定の理想化された条件下では、理論的にと を正確に回復できます。完全に回復するための十分な条件は、 の非ゼロ部分が幅 の既知の周波数間隔に限定されることです。  その間隔が である場合、適用可能な再構成式はWhittaker–Shannon 補間式です。これは、デジタル信号処理の基礎となるものです。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle s[n],}$${\displaystyle s(t),}$${\displaystyle S(f).}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{T}}.}$${\displaystyle \left[-{\tfrac {1}{2T}},{\tfrac {1}{2T}}\right],}$

注目すべきもう 1 つの理由は、サンプリング プロセスによって発生する エイリアシングの量についての洞察が得られることが多いことです。${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f)}$

DTFT の応用は、サンプリングされた関数に限定されません。これに関する詳細情報や、以下のトピックを含むその他のトピックについては、「離散時間フーリエ変換」を参照してください。

• 正規化された周波数単位
• ウィンドウ処理（有限長シーケンス）
• 変換プロパティ
• 特定の関数の表形式の変換

フーリエ級数と同様に、周期 の周期的シーケンスの DTFT は、複素係数のシーケンスによって変調されたディラックの櫛形関数になります ( DTFT § 周期データを参照) 。${\displaystyle s_{_{N}}[n],}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle S[k]=\sum _{n}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     （ここで は長さ の任意のシーケンスの合計です）${\displaystyle \sum _{n}}$${\displaystyle N.}$

このシーケンスは、慣例的にの 1 サイクルのDFTとして知られています。これは-周期的でもあるため、係数以上を計算する必要はありません。逆変換は離散フーリエ級数とも呼ばれ、次のように与えられます。${\displaystyle S[k]}$${\displaystyle s_{_{N}}.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle s_{_{N}}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},}$長さの任意のシーケンスの合計   は${\displaystyle \sum _{k}}$${\displaystyle N.}$

が別の関数の周期的な和として表現される場合:${\displaystyle s_{_{N}}[n]}$

${\displaystyle s_{_{N}}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN],}$   そして   ${\displaystyle s[n]\,\triangleq \,T\cdot s(nT),}$

係数はの離散間隔におけるのサンプルです。${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}={\tfrac {1}{NT}}}$

${\displaystyle S[k]=S_{\tfrac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).}$

逆に、連続 DTFT の 1 サイクルの任意の数の離散サンプルを計算したい場合は、上で定義した比較的単純な DFT を計算することで実行できます。ほとんどの場合、は の非ゼロ部分の長さに等しくなるように選択されます。ゼロパディングまたは補間と呼ばれる の増加により、 の 1 サイクルのサンプルがより接近した間隔になります。 の減少は、時間領域でのオーバーラップ (追加) を引き起こします (エイリアシングに類似)。これは、周波数領域でのデシメーションに対応します。(離散時間フーリエ変換 § L=N×Iを参照)。実際的な関心事のほとんどの場合、シーケンスは、有限長のウィンドウ関数またはFIR フィルター配列の適用によって切り捨てられた、より長いシーケンスを表します。 ${\displaystyle (N)}$${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f),}$${\displaystyle s_{_{N}}[n],}$${\displaystyle N}$${\displaystyle s[n].}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f).}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle s[n]}$

DFT は高速フーリエ変換(FFT) アルゴリズムを使用して計算できるため、コンピューター上で実用的かつ重要な変換となります。

詳細については、離散フーリエ変換を参照してください。

• 変換プロパティ
• アプリケーション
• 特定の関数の表形式の変換

周期関数の場合、フーリエ変換と DTFT はどちらも離散的な周波数成分のセット (フーリエ級数) のみで構成され、変換はそれらの周波数で発散します。一般的な方法の 1 つ (上記では説明していません) は、ディラック デルタ関数とディラック コム関数を使用してその発散を処理することです。ただし、他のすべてのサイクルは同一であるため、同じスペクトル情報は周期関数の 1 つのサイクルからのみ識別できます。同様に、有限持続時間関数はフーリエ級数として表すことができ、逆変換の周期性は単なるアーティファクトである以外は、実際に情報が失われることはありません。

実際には、 s (•) の継続時間は期間PまたはNに制限されるのが一般的です。しかし、これらの式ではその条件は必要ありません。

複素関数の実部と虚部を偶数部と奇数部に分解すると、4つの成分があり、以下では下付き文字RE、RO、IE、IOで表されます。複素時間関数の4つの成分と複素周波数変換の4つの成分の間には1対1のマッピングがあります。^[11]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

このことから、次のようなさまざまな関係が明らかになります。

• 実数値関数の変換は共役対称関数です。 逆に、共役対称変換は実数値の時間領域を意味します。${\displaystyle (s_{_{RE}}+s_{_{RO}})}$${\displaystyle S_{RE}+i\ S_{IO}.}$
• 虚数値関数の変換は共役反対称関数であり、その逆もまた真である。${\displaystyle (i\ s_{_{IE}}+i\ s_{_{IO}})}$${\displaystyle S_{RO}+i\ S_{IE},}$
• 共役対称関数の変換は実数値関数であり、その逆もまた真です。${\displaystyle (s_{_{RE}}+i\ s_{_{IO}})}$${\displaystyle S_{RE}+S_{RO},}$
• 共役反対称関数の変換は虚数値関数であり、その逆もまた真である。${\displaystyle (s_{_{RO}}+i\ s_{_{IE}})}$${\displaystyle i\ S_{IE}+i\ S_{IO},}$

調和級数の初期の形態は古代バビロニアの数学にまで遡り、そこでは天体位置表（天文位置の表）を計算するために使用されていました。 ^{[12] [13] [14] [15]}

古代ギリシャのプトレマイオス朝天文学における従円と周転円の概念は、フーリエ級数と関連していた（従円と周転円 § 数学的形式主義を参照）。

現代では、離散フーリエ変換の変形は、 1754年にアレクシス・クレローによって軌道を計算するために使用され、^[16] これはDFTの最初の公式として説明されています。^[17 ] また、1759年にはジョゼフ・ルイ・ラグランジュによって、振動する弦の三角級数の係数を計算するために使用されました。^[17]技術的には、クレローの研究はコサインのみの級数（離散コサイン変換の一種）であり、ラグランジュの研究はサインのみの級数（離散サイン変換の一種）でした。真のコサイン+サインDFTは、1805年にガウスによって小惑星軌道の三角補間に使用されました。 ^[18] オイラーとラグランジュはどちらも、今日ではサンプルと呼ばれるものを使用して、振動する弦の問題を離散化しました。^[17]

フーリエ解析への近代初期の発展は、ラグランジュによる1770年の論文「方程式の代数分解に関する考察」であり、ラグランジュの方法で複素フーリエ分解を使用して3次方程式の解を研究した。^[19] ラグランジュは根を分解に変換した。${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2},}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}}$

ここでζは1の3乗根であり、3次のDFTです。

ジャン・ル・ロン・ダランベールやカール・フリードリヒ・ガウスなど多くの著者が熱方程式の研究に三角級数を使用しましたが、^[20]画期的な開発は、ジョゼフ・フーリエによる1807年の論文「固体体における熱伝達の計算」でした。フーリエの重要な洞察は、すべての関数を三角級数でモデル化するという、フーリエ級数を導入したことでした。

歴史家の間では、ラグランジュらがフーリエ理論の発展にどの程度貢献したかについて意見が分かれている。 ダニエル・ベルヌーイとレオンハルト・オイラーは関数の三角関数表現を導入し、ラグランジュは波動方程式のフーリエ級数解を与えたため、フーリエの貢献は主に、任意の関数をフーリエ級数で表すことができるという大胆な主張であった。^[17]

この分野のその後の発展は調和解析として知られており、表現論の初期の例でもあります。

DFTの最初の高速フーリエ変換（FFT）アルゴリズムは、1805年頃にカール・フリードリヒ・ガウスが小惑星ジュノーとパラスの軌道の測定値を補間する際に発見されましたが、その特定のFFTアルゴリズムは、現代の再発見者であるクーリーとテューキーに起因するとされることが多いです。^{[18] [16]}

信号処理の用語では、関数（時間）は完全な時間分解能を持つ信号の表現ですが、周波数情報はありません。一方、フーリエ変換は完全な周波数分解能を持ちますが、時間情報はありません。

フーリエ変換の代替として、時間周波数解析では、時間周波数変換を使用して、時間情報と周波数情報を持つ形式で信号を表します。不確定性原理により、これらの間にはトレードオフがあります。これらは、短時間フーリエ変換、ガボール変換、分数フーリエ変換(FRFT) などのフーリエ変換の一般化である場合もあれば、ウェーブレット変換やチャープレット変換のように、信号を表すために異なる関数を使用する場合もあります。連続フーリエ変換のウェーブレット類似物は連続ウェーブレット変換です。

フーリエ変種は、調和解析で研究される任意の局所コンパクト アーベル 位相群上のフーリエ変換に一般化することもできます。調和解析では、フーリエ変換は、群上の関数を双対群上の関数に変換します。この処理により、フーリエ変換と畳み込みを関連付ける畳み込み定理の一般的な定式化も可能になります。フーリエ変換の一般化された基礎については、 ポンチャギン双対性も参照してください。

^{より具体的には、フーリエ解析はコセット[21]} 、さらには離散コセットに対しても 実行できます。

• EqWorld: 数式の世界における積分変換の表。
• スティーブン・レハー著「フーリエ理論の直感的な説明」
• 画像処理に関する講義: ヴァンダービルト大学による 18 回の講義を PDF 形式でまとめたコレクション。講義 6 は 1 次元および 2 次元フーリエ変換に関するものです。講義 7 ～ 15 では、この変換が使用されています。著者: アラン ピーターズ
• Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009)。「Σ 総和 (およびフーリエ解析)」。60 個のシンボル。ノッティンガム大学のBrady Haran 氏。
• Medium での時系列のフーリエ解析入門