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デジタル信号処理において、エイリアシングとは、元の信号のサンプルから再構成された信号に、元の信号には存在しない低周波成分が含まれる現象です。これは、元の信号にナイキスト周波数と呼ばれる特定の周波数を超える周波数の成分が存在する場合に発生します。、 どこはサンプリング周波数（アンダーサンプリング）のことです。これは、一般的な再構成方法では低周波成分を使用するのに対し、エイリアスと呼ばれる複数の周波数成分が存在し、サンプリングによって同一のサンプルが得られるためです。また、これは、サンプルから再構成された信号が元の連続信号と異なる場合に生じる歪みやアーティファクトを指すこともよくあります。
エイリアシングは、デジタルオーディオやストロボ効果など、時間的にサンプリングされた信号で発生することがあり、時間エイリアシングと呼ばれます。空間的にサンプリングされた信号（例えば、デジタル画像のモアレ模様）におけるエイリアシングは、空間エイリアシングと呼ばれます。
エイリアシングは一般的に、サンプリング前に入力信号にローパスフィルタまたはアンチエイリアシングフィルタ（AAF）を適用し、信号をより高いサンプリングレートからより低いサンプリングレートに変換することで回避されます。サンプリングされた信号を連続領域に復元する場合、または信号をより低いサンプリングレートからより高いサンプリングレートに変換する場合は、適切な再構成フィルタを使用する必要があります。空間アンチエイリアシングには、高速近似アンチエイリアシング（FXAA）、マルチサンプルアンチエイリアシング（MSAA）、およびスーパーサンプリングなどの種類があります。時間アンチエイリアシングは、複数のフレームにわたってピクセルサンプルを収集するMSAAの特殊なケースです。
デジタル画像を表示する際、ディスプレイやプリンタなどの装置によって再構成が行われます。画像データがサンプリングまたは再構成の過程で正しく処理されない場合、再構成された画像は元の画像と異なり、エイリアス（偽像）が発生します。
空間エイリアシングの例としては、レンガの壁のピクセル化が不十分な画像に見られるモアレ模様が挙げられます。空間アンチエイリアシング技術は、このようなピクセル化の不十分さを回避します。エイリアシングは、サンプリング段階または再構成段階のいずれかで発生する可能性があり、これらはサンプリングエイリアシングと再構成エイリアシングで区別できます。プリエイリアシングと再構成エイリアシングポストエイリアシング。[ 1 ]
時間的エイリアシングは、ビデオ信号やオーディオ信号のサンプリングにおいて大きな問題となります。例えば、音楽には人間の可聴域外の高周波成分が含まれている場合があり、そのため人間の耳には聞こえません。音楽を1秒あたり32,000サンプル（Hz）でサンプリングした場合、 16,000Hz（このサンプリングレートにおけるナイキスト周波数）以上の周波数成分は、デジタル・アナログ変換器（DAC）で再生される際にエイリアシングを引き起こします。アナログ信号の高周波成分は、記録されたデジタルサンプルでは低周波成分（誤ったエイリアス）として現れ、DACでは再生できません。これを防ぐために、サンプリング前にナイキスト周波数以上の成分を除去するアンチエイリアシングフィルタが使用されます。
ビデオや映画撮影では、フレームレートの制限により時間的エイリアシングが発生し、車輪の回転が遅く見えたり、逆回転しているように見える「車輪効果」を引き起こします。エイリアシングによって回転の見かけ上の周波数が変化するのです。方向の反転は負の周波数として表現できます。ビデオや映画撮影における時間的エイリアシングの周波数はカメラのフレームレートによって決まりますが、エイリアシング周波数の相対的な強度はシャッタータイミング（露光時間）または撮影中の時間的エイリアシング低減フィルターの使用によって決まります。 [ 2 ]
ビデオカメラと同様に、ほとんどのサンプリング方式は周期的です。つまり、時間的または空間的に特徴的なサンプリング周波数を持っています。デジタルカメラは、カメラの焦点面において、1度または1ラジアンあたり、あるいは1ミリメートルあたり一定数のサンプル（ピクセル）を提供します。音声信号はアナログ-デジタル変換器によってサンプリング（デジタル化）され、1秒あたり一定数のサンプルが生成されます。エイリアシングの最も劇的かつ微妙な例のいくつかは、サンプリングされる信号にも周期的な内容が含まれている場合に発生します。
実際の信号は有限の持続時間を持ち、フーリエ変換によって定義される周波数成分には上限がありません。このような時間的に連続する関数をサンプリングすると、必ずある程度のエイリアシングが発生します。周波数成分が制限されている（帯域制限されている）関数は、時間領域において無限の持続時間を持ちます。帯域幅によって決まる十分な高いサンプリングレートでサンプリングすれば、理論的には、無限のサンプルセットから元の関数を完全に再構成することができます。
低周波成分を持たない信号（バンドパス信号と呼ばれる）では、意図的にエイリアシングが使用されることがあります。低周波エイリアスを生成するアンダーサンプリングは、より低いサンプリングレートでサンプリングする前に信号を低周波数に周波数シフトするのと同等の結果を、より少ない労力で得ることができます。一部のデジタルチャネル化器は、計算効率を高めるために、このようにエイリアシングを利用しています。[ 3 ] （ 「サンプリング（信号処理）」、「ナイキストレート（サンプリングに対する相対値）」、「フィルタバンク 」 を参照）。
正弦波は重要な周期関数の一種です。なぜなら、現実の信号はしばしば、異なる周波数と振幅を持つ多数の正弦波の和としてモデル化されるからです（例えば、フーリエ級数やフーリエ変換を用いる場合など）。エイリアシングが個々の正弦波にどのような影響を与えるかを理解することは、それらの和がどうなるかを理解する上で役立ちます。
関数を周波数f sでサンプリングする場合(つまり、サンプリング間隔は1/ f s )、サンプリングが次の時点から開始される場合、時間( t )の次の関数は同一のサンプルセットを生成します。そのためどこ、 等々：
サンプルの周波数スペクトルは、それらのすべての周波数で同等の強い応答を示します。付随情報がない場合、元の関数の周波数は曖昧です。したがって、関数とその周波数は互いにエイリアスであると言えます。正弦関数を奇関数として注目します。
したがって、すべてのエイリアス周波数を正の値として表すことができます。例えば、図2の右下のフレームのスナップショットは、実際の周波数における成分を示しています。エイリアスにある別のコンポーネント。 としてアニメーション中に増加し、減少する。それらが等しくなる点は、折り返し周波数と呼ばれる対称軸であり、ナイキスト周波数としても知られています。
エイリアシングは、サンプルから元の波形を再構築しようとする際に重要になります。最も一般的な再構築手法では、周波数。したがって、通常は、唯一の最小値である。そのための必要十分条件はナイキスト条件と呼ばれる。図2の左下のフレームは、利用可能なサンプルの典型的な再構成結果を示している。ナイキスト周波数を超えると、再構成された波形は実際の波形と一致します（左上のフレーム）。それ以降は、上のフレームの低周波エイリアスとなります。
以下の図は、サンプリングによるエイリアシングの追加的な図解を示しています。周波数0.6 f sの単一の正弦波と、そのエイリアスである0.4 f s、1.4 f s、および 1.6 f s のいくつかの振幅対周波数 (時間ではなく) のグラフは、図 3 の 4 つの黒い点のようになります。赤い線は、実線の赤いセグメント (f s / 2とf sの間)に沿って正弦波の周波数と振幅を調整した場合の 4 つの点の経路 (軌跡) を示しています。振幅対周波数を変更するためにどの関数を選択しても、グラフは 0 とf sの間で対称性を示します。折り畳みは、図 4 のように、実数値サンプルの周波数スペクトルを表示すると、実際によく観察されます。
複素正弦波は、サンプルが複素数である波形です（）、そしてそれらを区別するためには負の周波数の概念が必要となる。この場合、エイリアスの周波数は単にf N ( f ) = f + N f sで与えられる。（上記のように、実際の正弦波では、すべてのエイリアス周波数は正の周波数として表すことができる。）（正弦関数は奇関数であるため。）したがって、f が0からf s に増加すると、f −1 ( f )も増加します ( - f sから 0 に)。結果として、複素正弦波は折り畳みを示しません。
元の信号の最高周波数成分に対して条件f s /2 > fが満たされる場合、すべての周波数成分に対してこの条件が満たされます。この条件はナイキスト基準と呼ばれます。これは通常、サンプリング前に元の信号をフィルタリングして高周波成分を減衰させることで近似されます。減衰された高周波成分は依然として低周波エイリアスを生成しますが、通常は十分に低い振幅であるため、問題を引き起こしません。特定のサンプリング周波数を想定して選択されたフィルタは、アンチエイリアシングフィルタと呼ばれます。
フィルタリングされた信号は、補間アルゴリズムによって、大きな歪みを加えることなく再構成できる。ほとんどのサンプリング信号は、単純に保存されて再構成されるわけではない。しかし、理論的な再構成の忠実度（ウィテカー・シャノン補間式による）は、サンプリングの有効性を測る一般的な指標である。
歴史的に、エイリアシングという用語は、スーパーヘテロダイン受信機の動作に起因する無線工学から生まれました。受信機がヘテロダイン方式で複数の信号をRFからIFへと低周波数にシフトすると、目的信号と同じRF周波数（局部発振器（LO）周波数から等距離にあるが、LO周波数の反対側）からの不要な信号が、目的信号と同じIF周波数に到達してしまうことがあります。この不要な信号が十分に強い場合、目的信号の受信を妨害する可能性があります。この不要な信号は、目的信号のイメージまたはエイリアスとして知られています。
信号処理における「エイリアス」と「エイリアシング」という用語の最初の文書での使用は、1949 年にジョン・テューキーとリチャード・ハミングによってベル研究所で未発表の技術メモ[ 4 ]に見られるようです。この論文には、1922 年に遡る周波数エイリアシングの例が含まれています。この文脈で「エイリアシング」という用語が初めて出版されたのは、 1958 年にブラックマンとテューキーによるものです[ 5 ]。この論文のドーバー版[ 6 ] の序文で、彼らはエイリアシングの概念が 10 年前にシュトゥンプフ[ 7 ] によって図解されていたことを指摘しています。
1949年のベル技術報告書では、エイリアシングはよく知られた概念であるかのように言及されているが、その用語の出典は示されていない。 グウィリム・ジェンキンスとモーリス・プリーストリーは、この文脈でエイリアシングを導入したのはテューキーであるとしているが[ 8 ] 、類似のエイリアシングの概念は数年前に分数因子計画で導入されていた[ 9 ]。テューキーは因子実験で重要な研究を行い[ 10 ]、分数計画におけるエイリアシングを確かに認識していたが[ 11 ] 、信号処理における「エイリアシング」の使用が、そのような計画に意識的に触発されたものかどうかは判断できない。
連続信号を捕捉または生成するために離散的な要素を使用すると、周波数の曖昧さが生じる場合にエイリアシングが発生する。
空間エイリアシング、特に角周波数のエイリアシングは、3Dディスプレイや音の波動場合成のように、離散的な要素で光場や音場を再現する際に発生する可能性がある。[ 12 ]
このエイリアシングは、レンチキュラー印刷のポスターなどの画像で確認できます。角度解像度が低い場合、例えば左から右へ移動すると、2D 画像は最初は変化せず (左に移動しているように見えます)、次の角度の画像に移動すると、画像が突然変化します (右にジャンプします)。この左右の動きの周波数と振幅は、画像の角度解像度 (周波数については、見る人の横方向の動きの速度) に対応しており、これは 4D ライトフィールドの角度エイリアシングです。
立体視メガネで制作された2D画像や3D映画において、視聴者の動きによる視差がないことは（3D映画では、画像が軸を中心に回転しているように見えることから「ヨーイング」と呼ばれる）、同様に角度分解能の喪失と見なすことができ、すべての角周波数が0（定数）にエイリアシングされる。
エイリアシングの定性的な影響は、次の音声デモで聞くことができます。6つのノコギリ波が連続して再生され、最初の2つのノコギリ波の基本周波数は440 Hz (A4)、次の2つの基本周波数は880 Hz (A5)、最後の2つの基本周波数は1760 Hz (A6) です。ノコギリ波は、帯域制限された (エイリアシングされていない) ノコギリ波とエイリアシングされたノコギリ波が交互に再生され、サンプリングレートは22050 Hzです。帯域制限されたノコギリ波は、ノコギリ波波形のフーリエ級数から合成され、ナイキスト周波数(ここでは11025 Hz = 22050 Hz / 2)を超える高調波は存在しません。
低周波数帯域におけるエイリアシング歪みは、基本周波数が高くなるにつれてますます顕著になり、帯域制限されたノコギリ波は1760Hzではまだ明瞭であるものの 、エイリアシングされたノコギリ波は劣化し、基本周波数よりも低い周波数ではブザー音が聞こえるほど耳障りになる。
空間エイリアシングの一種は、地震波による地球物理探査のように、波信号の到来方向を推定するために使用されるアンテナアレイやマイクロホンアレイでも発生する可能性があります。波は波長あたり2点よりも密にサンプリングする必要があり、そうでないと波の到来方向が曖昧になります。[ 13 ]
