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^ Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999). 「4.2, 8.4」.離散時間信号処理(第 2 版). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2非周期シーケンスx[n]のフーリエ変換のサンプルは、x[n]の周期的なレプリカを合計することによって得られる周期シーケンスのDFS係数と考えることができます。...フーリエ級数係数は、k = 0、...、（N-1）の場合は有限長のシーケンスとして、それ以外の場合はゼロとして解釈できます。または、すべてのkに対して定義された周期シーケンスとして解釈できます。
^ Prandoni, Paolo; Vetterli, Martin (2008). Signal Processing for Communications (PDF) (第 1 版). Boca Raton,FL: CRC Press. pp. 72, 76. ISBN 978-1-4200-7046-02020年10月4日取得。周期化された信号のDFS係数は、DTFTの離散的な値のセットです。
![{\displaystyle s(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8688dec0f260a18f645edddfb739129ae3d384)
![{\displaystyle s(nT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}nT},\quad n\in \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817251796c3e2d2524dd2ac69b600fd979877352)
![{\displaystyle s_{_{N}}[n]\triangleq s(nT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca46e2b919f821d1b0b4989ec2883e029dcd0250)
![{\displaystyle S[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b988b0ce17df34ae3c6aad5b6f9b5ab0f5fb2f5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s_{_{N}}[n]&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{N-1}e^{i2\pi {\tfrac {k-mN}{N}}n}\ S[k-mN]\right)\\&=\sum _{k=0}^{N-1}e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\underbrace {\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }S[k-mN]\right)} _{\triangleq S_{N}[k]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebcdf617478f8785b6271535a396f26c8cf9e442)
