線形かつ時間不変な数学モデル
決定論的連続時間単入力単出力システムの 重ね合わせ原理 と時間不変性を示す ブロック図。システムは 重ね合わせ原理 を満たし、すべての時間 t 、すべての実定数a 1 、 a 2 、 t 0 、およびすべての入力 x 1 ( t ) 、 x 2 ( t ) に対して y 3 ( t ) = a 1 y 1 ( t – t 0 ) + a 2 y 2 ( t – t 0 ) が 成り立つ場合にのみ時間不変です 。 [ 1]画像 を クリックすると拡大します。 システム分析 などの研究分野において、 線形 時不変 ( LTI ) システムとは、 線形性 と 時不変性 の制約に従って任意の入力信号から出力信号を生成する システム です 。これらの用語は、以下の概要で簡単に定義されています。これらの特性は、多くの重要な物理システムに (正確にまたは近似的に) 適用されます。その場合、任意の入力 x ( t ) に対するシステムの応答 y ( t )は 、畳み込み を使用して直接見つけることができます 。 y ( t ) = ( x ∗ h )( t ) で、 h ( t ) はシステムの インパルス応答 と呼ばれ、 ∗ は畳み込みを表します (乗算と混同しないでください)。さらに、このようなシステムを解く ( h ( t ) を決定する) ための体系的な方法がありますが、両方の特性を満たさないシステムは、一般に解析的に解くのがより困難 (または不可能) です。 LTIシステムの良い例としては、 抵抗器 、 コンデンサ 、 インダクタ 、 線形増幅器 で構成される 電気回路 が挙げられます。 [2]
線形時間不変システム理論は 画像処理 でも使われており、このシステムでは時間次元の代わりに、あるいは時間次元に加えて空間次元を持つ。これらのシステムは、用語を最も一般的な範囲にするために 線形並進不変と呼ぶことがある。一般的な 離散時間 （すなわち、 サンプリング ）システム の場合、対応する用語 は 線形シフト不変で ある。LTIシステム理論は 応用数学の一分野であり、 電気回路の解析と設計 、 信号処理 と フィルタ設計 、 制御理論 、 機械工学 、 画像処理、多くの種類の 計測機器 の設計 、 NMR分光法 [ 要出典 ] 、および 常微分方程式 のシステムが存在する他の多くの技術分野に 直接応用されている。
概要 あらゆる LTI システムを定義する特性は、 線形性 と 時間不変性 です。
線形性 とは、入力 と出力 （両方とも関数とみなされる） の関係が線形写像であることを意味します。 が 定数である場合、 へのシステム出力は です。 がシステム出力を持つさらなる入力である 場合 、 へのシステム出力は であり、これは 、 、 のすべての選択に適用されます 。 後者の条件は、しばしば 重ね合わせ原理 と呼ばれます。
x （ t ）
{\displaystyle x(t)}
ええ （ t ）
{\displaystyle y(t)}
1つの
{\displaystyle a}
1つの x （ t ）
{\displaystyle ax(t)}
1つの ええ （ t ）
{\displaystyle ay(t)}
x ′
（ t ）
{\displaystyle x'(t)}
ええ ′
（ t ）
{\displaystyle y'(t)}
x （ t ） +
x ′
（ t ）
{\displaystyle x(t)+x'(t)}
ええ （ t ） +
ええ ′
（ t ）
{\displaystyle y(t)+y'(t)}
1つの
{\displaystyle a}
x （ t ）
{\displaystyle x(t)}
x ′
（ t ）
{\displaystyle x'(t)}
時間不変性 とは、システムに今入力を適用しても、 T 秒後に入力を適用しても、 T 秒の時間遅延を除いて出力は同じになることを意味します。つまり、入力による出力 が の場合 、入力による出力 は です 。したがって、出力は入力が適用された特定の時間に依存しないため、システムは時間不変性です。
x （ t ）
{\displaystyle x(t)}
ええ （ t ）
{\displaystyle y(t)}
x （ t − T ）
{\displaystyle x(tT)}
ええ （ t − T ）
{\displaystyle y(tT)}
LTI システム理論の基本的な結果は、あらゆる LTI システムはシステムの インパルス応答 と呼ばれる単一の関数によって完全に特徴付けられるということです。システムの出力は、 システムへの入力 とシステムのインパルス応答の 畳み込みにすぎ ません。これは 連続時間 システムと呼ばれます 。同様に、離散時間線形時間不変 (または、より一般的には「シフト不変」) システムは、 離散時間 で動作するシステムとして定義されます。 ここで、 y 、 x 、および h は シーケンス であり 、離散時間での畳み込みは積分ではなく離散合計を使用します。
ええ （ t ）
{\displaystyle y(t)}
x （ t ）
{\displaystyle x(t)}
h （ t ）
{\displaystyle h(t)}
ええ
私
=
x
私
∗
h
私
{\displaystyle y_{i}=x_{i}*h_{i}}
時間領域 と 周波数領域 の関係 LTI システムは、システムの 伝達関数によって 周波数領域 で特徴付けることもできます。伝達関数は、 システムのインパルス応答の ラプラス変換(離散時間システムの場合は Z 変換 )です 。これらの変換の特性の結果として、周波数領域でのシステムの出力は、伝達関数と入力の変換の積になります。言い換えると、時間領域での畳み込みは、周波数領域での乗算に相当します。
すべての LTI システムでは、 固有関数 と変換の基底関数 は 複素 指数 です。つまり、システムへの入力が 何らかの複素振幅 と複素周波数の複素波形である場合、出力は 何らかの新しい複素振幅 などの入力の何らかの複素定数倍になります 。比率は 周波数 での伝達関数です 。
あ
s
e
s t
{\displaystyle A_{s}e^{st}}
あ
s
{\displaystyle A_{s}}
s
{\displaystyle s}
B
s
e
s t
{\displaystyle B_{s}e^{st}}
B
s
{\displaystyle B_{s}}
B
s
/
あ
s
{\displaystyle B_{s}/A_{s}}
s
{\displaystyle s}
正弦波は 複素共役周波数を持つ複素指数関数の和である ため、システムへの入力が正弦波である場合、システムの出力も正弦波になります。 振幅 と 位相は 異なる可能性がありますが、定常状態に達すると常に同じ周波数になります。LTI システムは、入力にない周波数成分を生成することはできません。
LTI システム理論は、多くの重要なシステムを説明するのに適しています。ほとんどの LTI システムは、少なくとも時間変動や 非線形の場合と比較すると、分析が「簡単」であると考えられています。定数係数を持つ線形 微分方程式 としてモデル化できるシステムは、すべて LTI システムです。このようなシステムの例としては、 抵抗器 、 インダクタ 、 コンデンサ (RLC 回路)で構成される 電気回路 があります。理想的なバネ・質量・ダンパー システムも LTI システムであり、数学的には RLC 回路と同等です。
LTI システムの概念のほとんどは、連続時間と離散時間 (線形シフト不変) の場合で似ています。画像処理では、時間変数が 2 つの空間変数に置き換えられ、時間不変の概念が 2 次元シフト不変に置き換えられます。 フィルタ バンク と MIMOシステムを分析する場合、信号の ベクトルを 考慮すると便利なことがよくあります 。
時間不変ではない線形システムは、 グリーン関数 法などの他のアプローチを使用して解くことができます。
連続時間システム
インパルス応答と畳み込み 入力信号x ( t )と出力信号 y ( t )を持つ線形連続時間時間不変システムの挙動は 畳み込み積分によって記述される: [3]
ここで 、は インパルス に対するシステムの応答です 。 したがって、 は入力関数 の加重平均に比例します 。重み関数 は 、 の量だけ単純にシフトされます 。 が 変化すると、重み関数は入力関数のさまざまな部分を強調します。 が すべての負の に対して 0 の場合 、 は 時刻 より前 の の値のみに依存し 、システムは 因果的 であると言われます。
h （ t ）
{\textstyle h(t)}
x （ τ ） = δ （ τ ）
{\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}
ええ （ t ）
{\textstyle y(t)}
x （ τ ）
{\textstyle x(\tau )}
h （ − τ ）
{\textstyle h(-\tau )}
t
{\textstyle t}
t
{\textstyle t}
h （ τ ）
{\textstyle h(\tau )}
τ
{\textstyle \tau }
ええ （ t ）
{\textstyle y(t)}
x
{\textstyle x}
t
{\textstyle t}
畳み込みが LTI システムの出力を生成する理由を理解するために、表記法が 変数 と定数 を持つ 関数を表すものとします 。また、短縮表記法が を表すものとします 。すると、連続時間システムは入力関数 を 出力関数 に変換します。 また一般に、出力のすべての値は入力のすべての値に依存する可能性があります。この概念は次のように表されます。
ここで は 時間 の変換演算子です 。一般的なシステムでは、 は時間 付近で発生した の値に最も大きく依存します 。変換自体が によって変化しない限り 、出力関数は定数であり、システムは面白くありません。
{ x （ あなた − τ ） ;
あなた }
{\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}
x （ あなた − τ ）
{\textstyle x(u-\tau )}
あなた
{\textstyle u}
τ
{\textstyle \tau }
{ x }
{\textstyle \{x\}}
{ x （ あなた ） ;
あなた }
{\textstyle \{x(u);\ u\}}
{ x } 、
{\textstyle \{x\},}
{ ええ }
{\textstyle \{y\}}
ええ （ t ）
=
定義
お
t
{ x } 、
{\displaystyle y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},}
お
t
{\textstyle O_{t}}
t
{\textstyle t}
ええ （ t ）
{\textstyle y(t)}
x
{\textstyle x}
t
{\textstyle t}
t
{\textstyle t}
線形システムの場合、 式1 を満たす必要があります 。
お
{\textstyle O}
そして、時間不変性の要件は次のとおりです。
この表記法では、インパルス応答は 次のように 書ける。
h （ t ）
=
定義
お
t
{ δ （ あなた ） ;
あなた } 。
{\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}
同様に:
この結果を畳み込み積分に代入すると次のようになります。
(
x
∗
h
)
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
⋅
h
(
t
−
τ
)
d
τ
=
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
⋅
O
t
{
δ
(
u
−
τ
)
;
u
}
d
τ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}}
これは、 式2 の右辺の形をしており 、
c
τ
=
x
(
τ
)
{\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}
x
τ
(
u
)
=
δ
(
u
−
τ
)
.
{\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}
式2は 次のようになります。
(
x
∗
h
)
(
t
)
=
O
t
{
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
⋅
δ
(
u
−
τ
)
d
τ
;
u
}
=
O
t
{
x
(
u
)
;
u
}
=
def
y
(
t
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}}
要約すると、入力関数 は、 式 1 に示すように、時間シフトしたインパルス関数の連続体を「線形」に組み合わせて表すことができます。システムの線形性により、システムの応答は、同様に組み合わせたインパルス 応答 の対応する連続体 で表すことができます 。また、時間不変性により、その組み合わせを畳み込み積分で表すことができます。
{
x
}
{\textstyle \{x\}}
上記の数学的演算には簡単なグラフィカルシミュレーションがあります。 [4]
固有関数としての指数関数 固有関数 と は、演算子の出力が同じ関数のスケールされたバージョンである関数です。つまり、
f は 固有関数であり、 は 定数で
ある 固有値 です。
H
f
=
λ
f
,
{\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}
λ
{\displaystyle \lambda }
指数 関数 （ ）は、 線形で 時間 不変な 演算子の 固有関数 です 。簡単な証明でこの概念を説明します。入力が であるとします 。インパルス応答を持つシステムの出力 は となり
、 畳み込み
の交換法則により 、次の式と等しくなります。
A
e
s
t
{\displaystyle Ae^{st}}
A
,
s
∈
C
{\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }
x
(
t
)
=
A
e
s
t
{\displaystyle x(t)=Ae^{st}}
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
∫
−
∞
∞
h
(
t
−
τ
)
A
e
s
τ
d
τ
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau }
∫
−
∞
∞
h
(
τ
)
A
e
s
(
t
−
τ
)
d
τ
⏞
H
f
=
∫
−
∞
∞
h
(
τ
)
A
e
s
t
e
−
s
τ
d
τ
=
A
e
s
t
∫
−
∞
∞
h
(
τ
)
e
−
s
τ
d
τ
=
A
e
s
t
⏟
Input
⏞
f
H
(
s
)
⏟
Scalar
⏞
λ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\\\end{aligned}}}
ここで、スカラー
はパラメータ s のみに依存します。
H
(
s
)
=
def
∫
−
∞
∞
h
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}
したがって、システムの応答は入力のスケール バージョンです。特に、任意の に対して 、システム出力は入力 と定数の積です 。したがって、は LTI システムの 固有関数 であり 、対応する 固有値 は です 。
A
,
s
∈
C
{\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }
A
e
s
t
{\displaystyle Ae^{st}}
H
(
s
)
{\displaystyle H(s)}
A
e
s
t
{\displaystyle Ae^{st}}
H
(
s
)
{\displaystyle H(s)}
直接的な証拠 LTI システムの固有関数として複素指数を直接導出することも可能です。
複雑な指数関数と その時間シフトバージョンを
設定してみましょう。
v
(
t
)
=
e
i
ω
t
{\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}}
v
a
(
t
)
=
e
i
ω
(
t
+
a
)
{\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}}
H
[
v
a
]
(
t
)
=
e
i
ω
a
H
[
v
]
(
t
)
{\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)}
定数に関して線形性によって 。
e
i
ω
a
{\displaystyle e^{i\omega a}}
H
[
v
a
]
(
t
)
=
H
[
v
]
(
t
+
a
)
{\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)}
の時間不変性によって 。
H
{\displaystyle H}
つまり 、設定 と名前の変更により、次のようになります。
つまり、入力として複素指数を 与えると、出力として同じ周波数の複素指数が与えられます。
H
[
v
]
(
t
+
a
)
=
e
i
ω
a
H
[
v
]
(
t
)
{\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
H
[
v
]
(
τ
)
=
e
i
ω
τ
H
[
v
]
(
0
)
{\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)}
e
i
ω
τ
{\displaystyle e^{i\omega \tau }}
指数関数の固有関数特性は、LTI システムの解析と理解の両方に非常に役立ちます。片側 ラプラス変換は
、まさにインパルス応答から固有値を取得する方法です。特に興味深いのは、純粋な正弦波 (つまり、および の形式の指数関数) です 。 フーリエ 変換 は、 純粋な複素正弦波の固有値を与えます。と は どちらも、 システム関数 、 システム応答 、または 伝達関数 と呼ばれます 。
H
(
s
)
=
def
L
{
h
(
t
)
}
=
def
∫
0
∞
h
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}
e
j
ω
t
{\displaystyle e^{j\omega t}}
ω
∈
R
{\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }
j
=
def
−
1
{\displaystyle j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}}
H
(
j
ω
)
=
F
{
h
(
t
)
}
{\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}
H
(
s
)
{\displaystyle H(s)}
H
(
j
ω
)
{\displaystyle H(j\omega )}
ラプラス変換は通常、片側信号、つまり、 t の値がある値より小さい場合すべてゼロとなる信号のコンテキストで使用されます。通常、この「開始時間」は、便宜上、また一般性を失うことなくゼロに設定され、変換積分はゼロから無限大まで行われます (積分の下限が負の無限大である上記の変換は、正式には 両側ラプラス変換 と呼ばれます)。
フーリエ変換は、変調正弦波など、範囲が無限の信号を処理するシステムの解析に使用されますが、 二乗積分可能 でない入力信号と出力信号に直接適用することはできません。ラプラス変換は、安定したシステムの場合、開始時間前にこれらの信号がゼロであれば、二乗積分可能でなくても、これらの信号に対して実際に直接機能します。フーリエ変換は、信号 のフーリエ変換が存在しない場合でも、
ウィーナー・ヒンチンの定理を介して無限信号のスペクトルに適用されることがよくあります。
これら両方の変換の畳み込み特性により、システムの出力を与える畳み込みは、変換が存在する信号が与えられた場合、変換領域での乗算に変換することができる。
y
(
t
)
=
(
h
∗
x
)
(
t
)
=
def
∫
−
∞
∞
h
(
t
−
τ
)
x
(
τ
)
d
τ
=
def
L
−
1
{
H
(
s
)
X
(
s
)
}
.
{\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.}
システム応答を直接使用して、そのラプラス変換を持つシステムによって特定の周波数成分がどのように処理されるかを決定することができます。複素周波数 s = jω （ここで ω = 2 πf ）でシステム応答（インパルス応答のラプラス変換）を評価すると、周波数f のシステムゲインである | H ( s )| が得られます。その周波数成分の出力と入力間の相対位相シフトも同様に arg( H ( s ))で与えられます 。
例
重要なシステムプロパティ システムの最も重要な特性のいくつかは因果関係と安定性です。因果関係は、独立変数が時間である物理システムには必須ですが、画像処理などの他の場合にはこの制限はありません。
因果関係 システムが因果関係にあるとすると、出力は現在と過去のみに依存し、将来の入力には依存しない。因果関係の必要十分条件は
h
(
t
)
=
0
∀
t
<
0
,
{\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0,}
ここで、はインパルス応答です。一般に、 両側ラプラス変換 から因果関係を判断することはできません。ただし、時間領域で作業する場合は、通常、因果関係を必要とする 片側ラプラス変換 を使用します 。
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
安定性 システムは 有限入力有限出力安定 （BIBO安定）であるといえるのは、有限入力に対して出力が有限である場合である。数学的には、
‖
x
(
t
)
‖
∞
<
∞
{\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }
満足のいく出力につながる
‖
y
(
t
)
‖
∞
<
∞
{\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }
（つまり、 の有限 最大絶対値 は の有限最大絶対値を意味する ）、システムは安定しています。必要かつ十分な条件は 、インパルス応答 が L 1 （有限の L 1 ノルムを持つ）にあることです。
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
‖
h
(
t
)
‖
1
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
d
t
<
∞
.
{\displaystyle \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}
周波数領域では、 収束領域に 虚軸が含まれている必要があります 。
s
=
j
ω
{\displaystyle s=j\omega }
たとえば、 sinc 関数 に等しいインパルス応答を持つ理想的な ローパス フィルタはBIBO 安定ではありません。これは、sinc 関数が有限の L 1 ノルムを持たないためです 。したがって、ある有界入力に対して、理想的なローパス フィルタの出力は無界です。特に、入力が に対してゼロで、 に対して カットオフ周波数 の正弦波に等しい場合 、出力はゼロ交差以外のすべての時間に対して無界になります。 [ 疑わしい – 議論する ]
t
<
0
{\displaystyle t<0}
t
>
0
{\displaystyle t>0}
離散時間システム 連続時間システムのほぼすべてには、離散時間システムに対応するものがあります。
連続時間システムから離散時間システムへ 多くの状況において、離散時間 (DT) システムは、実際にはより大きな連続時間 (CT) システムの一部です。たとえば、デジタル録音システムは、アナログ サウンドを取得してデジタル化し、場合によってはデジタル信号を処理し、アナログ サウンドを再生して人々に聞かせます。
実際のシステムでは、得られる DT 信号は通常、CT 信号を均一にサンプリングしたバージョンです。 が CT 信号の場合、 アナログ/デジタル コンバーター の前で使用される サンプリング回路は それを DT 信号に変換します
。
ここで、 Tは サンプリング周期 です 。サンプリングの前に、入力信号は通常、いわゆるナイキスト フィルターに通され 、"折り返し周波数" 1/(2T) を超える周波数が除去されます。これにより、フィルター処理された信号の情報が失われないことが保証されます。フィルター処理を行わないと、折り返し周波数 (またはナイキスト周波数 ) を超える周波数成分は、 異なる 周波数 に エイリアシング さ れます (したがって、元の信号が歪む)。これは、DT 信号が折り返し周波数より低い周波数成分しかサポートできないためです。
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
x
n
=
def
x
(
n
T
)
∀
n
∈
Z
,
{\displaystyle x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,}
インパルス応答と畳み込み シーケンスを表すと します
{
x
[
m
−
k
]
;
m
}
{\displaystyle \{x[m-k];\ m\}}
{
x
[
m
−
k
]
;
for all integer values of
m
}
.
{\displaystyle \{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.}
そして、より短い表記法で 表すと
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
{
x
[
m
]
;
m
}
.
{\displaystyle \{x[m];\ m\}.}
離散システムは、入力シーケンスを 出力シーケンスに変換します。 一般に、出力のすべての要素は、入力のすべての要素に依存します。変換演算子を で表すと 、次のように記述できます。
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
{
y
}
.
{\displaystyle \{y\}.}
O
{\displaystyle O}
y
[
n
]
=
def
O
n
{
x
}
.
{\displaystyle y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.}
変換自体が n とともに変化しない限り、出力シーケンスは単に一定であり、システムは面白くないことに注意してください。(したがって、下付き文字は n です。) 一般的なシステムでは、 y [ n ] は、インデックスが n に近い x の要素に最も大きく依存します 。
クロネッカーのデルタ関数 の特殊なケースでは 、 出力シーケンスは インパルス応答 です。
x
[
m
]
=
δ
[
m
]
,
{\displaystyle x[m]=\delta [m],}
h
[
n
]
=
def
O
n
{
δ
[
m
]
;
m
}
.
{\displaystyle h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.}
線形システムの場合、 次を満たす必要があります。
O
{\displaystyle O}
そして、時間不変性の要件は次のとおりです。
このようなシステムでは、インパルス応答 が システムを完全に特徴付けます。つまり、任意の入力シーケンスに対して、出力シーケンスは入力とインパルス応答に基づいて計算できます。これがどのように行われるかを確認するには、次の恒等式を考えます。
{
h
}
{\displaystyle \{h\}}
x
[
m
]
≡
∑
k
=
−
∞
∞
x
[
k
]
⋅
δ
[
m
−
k
]
,
{\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],}
これは 重み付きデルタ関数の合計として表現されます。
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
したがって：
y
[
n
]
=
O
n
{
x
}
=
O
n
{
∑
k
=
−
∞
∞
x
[
k
]
⋅
δ
[
m
−
k
]
;
m
}
=
∑
k
=
−
∞
∞
x
[
k
]
⋅
O
n
{
δ
[
m
−
k
]
;
m
}
,
{\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}}
ここで、および の 場合には 式4を 適用しています 。
c
k
=
x
[
k
]
{\displaystyle c_{k}=x[k]}
x
k
[
m
]
=
δ
[
m
−
k
]
{\displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k]}
そして、式5 より 、次のように書くことができます。
O
n
{
δ
[
m
−
k
]
;
m
}
=
O
n
−
k
{
δ
[
m
]
;
m
}
=
def
h
[
n
−
k
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}}
したがって：
これはおなじみの離散畳み込み式です。したがって、演算子は関数 x [ k ]の加重平均に比例すると解釈できます 。重み関数は h [− k ] であり、単に量 n だけシフトされます。n が変化すると 、重み関数は入力関数のさまざまな部分を強調します。同様に、 n =0でのインパルスに対するシステムの応答は、 シフトされていない重み関数の「時間」を反転したコピーです。すべての負の kに対して h [ k ] がゼロの場合、システムは 因果的 であると言われます 。
O
n
{\displaystyle O_{n}}
固有関数としての指数関数 固有関数 と は、演算子の出力が、ある定数でスケールされた同じ関数となる関数である。記号では、
H
f
=
λ
f
,
{\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}
ここで、 f は固有関数、 は 固有値 、つまり定数
です。
λ
{\displaystyle \lambda }
指数 関数 （ ）は、 線形で 時間 不変な 演算子の 固有関数 です 。 はサンプリング間隔、 です 。簡単な証明でこの概念を説明します。
z
n
=
e
s
T
n
{\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
T
∈
R
{\displaystyle T\in \mathbb {R} }
z
=
e
s
T
,
z
,
s
∈
C
{\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} }
入力が であると仮定すると 、インパルス応答を持つシステムの出力は 次のようになります。
x
[
n
]
=
z
n
{\displaystyle x[n]=z^{n}}
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
∑
m
=
−
∞
∞
h
[
n
−
m
]
z
m
{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}
これは畳み込み の交換法則により次の式と等価であり
、 は
パラメータ z のみに依存します。
∑
m
=
−
∞
∞
h
[
m
]
z
(
n
−
m
)
=
z
n
∑
m
=
−
∞
∞
h
[
m
]
z
−
m
=
z
n
H
(
z
)
{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}
H
(
z
)
=
def
∑
m
=
−
∞
∞
h
[
m
]
z
−
m
{\displaystyle H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}
は LTI システムの固有関数 です 。 システム応答は入力に定数を掛けたものと同じだからです 。
z
n
{\displaystyle z^{n}}
H
(
z
)
{\displaystyle H(z)}
指数関数の固有関数特性は、LTIシステムの分析と理解の両方に非常に役立ちます。Z 変換
H
(
z
)
=
Z
{
h
[
n
]
}
=
∑
n
=
−
∞
∞
h
[
n
]
z
−
n
{\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}
は、インパルス応答から固有値を取得する方法とまったく同じです。 [ 説明が必要 ] 特に興味深いのは、純粋な正弦波、つまり の形式の指数関数です。 ここで、これらは と 書くこともできます 。 [ 説明が必要 ] 。 離散時間フーリエ変換 (DTFT) は、 純粋な正弦波の固有値を与えます [ 説明が必要 ] 。と は どちらも、 システム関数 、 システム応答 、または 伝達関数 と呼ばれます 。
e
j
ω
n
{\displaystyle e^{j\omega n}}
ω
∈
R
{\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }
z
n
{\displaystyle z^{n}}
z
=
e
j
ω
{\displaystyle z=e^{j\omega }}
H
(
e
j
ω
)
=
F
{
h
[
n
]
}
{\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}
H
(
z
)
{\displaystyle H(z)}
H
(
e
j
ω
)
{\displaystyle H(e^{j\omega })}
片側ラプラス変換と同様に、Z 変換は通常、片側信号、つまり t<0 でゼロとなる信号のコンテキストで使用されます。離散時間フーリエ変換の フーリエ級数は、 周期信号の解析に使用できます。
これら両方の変換の畳み込み特性により、システムの出力を与える畳み込みは、変換領域での乗算に変換できます。つまり、
y
[
n
]
=
(
h
∗
x
)
[
n
]
=
∑
m
=
−
∞
∞
h
[
n
−
m
]
x
[
m
]
=
Z
−
1
{
H
(
z
)
X
(
z
)
}
.
{\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.}
連続時間システム解析におけるラプラス変換伝達関数と同様に、Z 変換を使用すると、システムを分析し、その動作に関する洞察を得ることが容易になります。
例
重要なシステムプロパティ 離散時間 LTI システムの入出力特性は、そのインパルス応答によって完全に記述されます 。システムの最も重要な特性の 2 つは、因果関係と安定性です。非因果関係 (時間的に) のシステムは、上記のように定義および分析できますが、リアルタイムで実現することはできません。不安定なシステムも分析および構築できますが、全体的な伝達関数が 安定している 大規模なシステムの一部としてのみ役立ちます。
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
因果関係 離散時間LTIシステムは、出力の現在の値が入力の現在の値と過去の値のみに依存する場合、因果関係があります。 [5] 因果関係の必要十分条件は、
インパルス応答
です 。逆変換が一意ではないため、一般にZ変換から因果関係を判断することはできません [ 疑わしい - 議論 ] 。 収束領域 が指定されている場合、因果関係を判断できます。
h
[
n
]
=
0
∀
n
<
0
,
{\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
安定性 システムが 有限入力有限出力安定 （BIBO安定）であるとは、有限入力に対して出力が有限であることを意味する。数学的には、
‖
x
[
n
]
‖
∞
<
∞
{\displaystyle \|x[n]\|_{\infty }<\infty }
は、
‖
y
[
n
]
‖
∞
<
∞
{\displaystyle \|y[n]\|_{\infty }<\infty }
（つまり、有界入力は有界出力を意味する、つまり 、および の 最大絶対値が 有限であるという意味）、システムは安定である。必要かつ十分な条件は 、インパルス応答が以下を満たすこと
である。
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
y
[
n
]
{\displaystyle y[n]}
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
‖
h
[
n
]
‖
1
=
def
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
<
∞
.
{\displaystyle \|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .}
周波数領域では、 収束領域には 単位円 （つまり、 複素数 z を満たす 軌跡 ）が含まれていなければなりません 。
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
注記
^ Bessai, Horst J. (2005). MIMO信号とシステム . Springer. pp. 27–28. ISBN 0-387-23488-8 。 ^ ヘスパニャ 2009、78ページ。 ^ Crutchfield、1ページ。 ようこそ！ ^ クラッチフィールド、p. 1. 演習 ^ フィリップス2007年、508頁。
参照
参考文献 Phillips, CL, Parr, JM, Riskin, EA (2007)。 シグナル、システム、変換 。Prentice Hall。ISBN 978-0-13-041207-2 。 {{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)Hespanha, JP (2009). 線形システム理論 . プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-14021-6 。 クラッチフィールド、スティーブ（2010 年 10 月 12 日）「The Joy of Convolution」、 ジョンズ ホプキンス大学 、 2010 年 11 月 21 日閲覧 Vaidyanathan, PP; Chen, T. (1995 年 5 月)。「マルチレート フィルタ バンクにおける反因果逆の役割 - パート I: システム理論的基礎」 (PDF) 。IEEE Trans. Signal Process。43 ( 6): 1090。Bibcode : 1995ITSP ...43.1090V。doi : 10.1109/78.382395 。
さらに読む
ポラット、ボアズ (1997)。 デジタル信号処理コース 。ニューヨーク: John Wiley。ISBN 978-0-471-14961-3 。 Vaidyanathan, PP; Chen, T. (1995 年 5 月)。「マルチレート フィルタ バンクにおける反因果逆の役割 - パート I: システム理論的基礎」 (PDF) 。IEEE Trans. Signal Process。43 ( 5): 1090。Bibcode : 1995ITSP ...43.1090V。doi : 10.1109/78.382395 。
外部リンク ECE 209: LTI システムとしての回路のレビュー - (電気) LTI システムの数学的分析に関する短い入門書。 ECE 209: 位相シフトの原因 – 2 つの一般的な電気 LTI システムにおける位相シフトの原因を直感的に説明します。 JHU 520.214 信号とシステムのコースノート。LTI システム理論に関する包括的なコース。独学に適しています。 LTI システムの例: RC ローパス フィルター。振幅と位相応答。
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d26302c93ac37edc09b0affe08148e82d58aa07)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a716b093de531622df74bdc56ba2017521e07323)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty } h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{入力}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{スカラー}}} ^{\lambda },\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcddc6f695993370f7c7509114ed2f3d0580675d)
=e^{i\omega a}H[v](t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028bc8c112a60a2c038e1318c3984670ece6f3ff)
=H[v](t+a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83ef94c53fd62b051c30489848de02b7ca690fb)
=e^{i\omega a}H[v](t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f94f406bff0281e34cdae10b27c0e406fe1494)
=e^{i\omega \tau }H[v](0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051d559b68e53a40841ddd44e6478d00a33d38a9)
![{\displaystyle \{x[mk];\ m\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59aaa5ef2de37e72f08f058bb47018dbf71b41d)
![{\displaystyle \{x[mk];{\text{ }}m のすべての整数値について\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94e37f7f04b5567c6798d215c5b219c3db12630)
![{\displaystyle \{x[m];\ m\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373d34e017c034f0e5bf06a7f50b93dcf3245c97)
![{\displaystyle y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28bc1024cf958d3bb61b992d50dca65be2d8ef80)
![{\displaystyle x[m]=\delta [m],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a9c5f6dd10da1a2ab4c6b691277229ef14a0d9)
![{\displaystyle h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60cf4bc1fb844dde951ed0ec6030476ec37362ef)
![{\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [mk],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe176cbaffc71d23545a592a87051d63f636ec7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [mk];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [mk];\ m\},\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a0b0f4e35b39262dee1eef9df0259d8a976b68)
![{\displaystyle c_{k}=x[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3262f2d9a48e648243906dc7bc9e8eb79f4575c8)
![{\displaystyle x_{k}[m]=\delta [mk]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0b4ae024d43ef8c4d2da79b48850099eddb1a6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [mk];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{nk}\{\delta [m] ;\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[nk].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de95b7bf0ed896eaa9181a15a1eb71e7746cd9bf)
![{\displaystyle x[n]=z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1aaab3eda38d84f0850c910008e6abb8bb28f9)
![{\displaystyle h[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89981bbbb05ffd469eeadb828c18359965985e46)
![{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[nm]\,z^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c4df90ddb44d22aba287928e1d64d5ec9c984b)
![{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(nm)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\ infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2436df7fc69ec8e54781a4d531ec7d7d9f0b2542)
![{\displaystyle H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003eedc6cc469292df931c7ac50df49bcbc48e29)
![{\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec710d5f878067627c1d84fcc58812b84af7f14)
![{\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a482380e11e77f6522d702d69e02ae097539b43f)
![{\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[nm]x[m]={\mathcal {Z}}^{ -1}\{H(z)X(z)\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad368d07cec1e332668528b21d27386d80f12aa)
![{\displaystyle D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb20ff4361d05961823f3f29849748d8ae458067)
![{\displaystyle D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b5883ac9970f573dd544c075a593104f30ad550)
![{\displaystyle D\{x[nm]\}=x[nm-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[nm]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b1900ef2f37f5a24a9bb157880ec31383b107d)
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}}=z^{-1}X(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d3be8cf91a6a89461ed80ab025671cae29d5d1)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{k=na}^{n+ a}x[k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dbee2877e06aa38c016b997355b869ecd00643)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=na}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=na}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=na}^{n+a}x_{2}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edfb8033760b16754671bd579790578a5a9b381)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[nm]\right\}&=\sum _{k=na}^{n+a}x[km]\\&=\sum _{k'=(nm)-a}^{(nm)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[nm],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d18c14e6ad4a27e6dcb23d65fb07824c35f32e)
![{\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e598ad76163467d521d27fd36872677740d338)
![{\displaystyle \|x[n]\|_{\infty }<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beaec54893163f4ca4fc6ff2731dbfeb2282501c)
![{\displaystyle \|y[n]\|_{\infty }<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab0a3137b9f47e17a643996e681857b3807a509)
![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
![{\displaystyle y[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305428e6d1fb59cd0163a7a96ace52292a262afa)
![{\displaystyle \|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n ]|<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a3ea009355e856627f3d2d8efb163218175841)
