線形微分方程式

数学において、線型微分方程式は、未知の関数とその導関数の線型多項式によって定義される微分方程式であり、 a ₀ ( x )、...、a _n ( x )およびb ( x )が線型 である必要のない任意の微分可能関数であり、 y ′、...、y ^{( n )}が変数xの未知の関数yの連続的な導関数である形式の方程式です。 $${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)}$$

このような方程式は常微分方程式(ODE) です。未知の関数が複数の変数に依存し、方程式に現れる導関数が偏微分である場合、線形微分方程式は線形偏微分方程式(PDE)になることもあります。

関連する同次方程式が定数係数を持つような線型微分方程式または線型方程式系は、求積法で解くことができます。つまり、解は積分で表すことができます。これは、定数でない係数を持つ 1 次の線型方程式にも当てはまります。定数でない係数を持つ 2 次の方程式は、一般に求積法では解けません。2 次の場合、コバチッチのアルゴリズムを使用すると、積分で解があるかどうかを判断でき、ある場合は計算できます。

多項式係数を持つ同次線型微分方程式の解は、ホロノミック関数と呼ばれます。このクラスの関数は、和、積、微分、積分に対して安定しており、指数関数、対数、正弦、余弦、逆三角関数、誤差関数、ベッセル関数、超幾何関数など、多くの通常の関数と特殊関数を含みます。定義微分方程式と初期条件によるそれらの表現により、原始導関数、極限、漸近展開、認定された誤差境界での任意の精度での数値評価の計算など、微積分のほとんどの操作をアルゴリズム的に（これらの関数上で）行うことができます。

（線形）微分方程式に現れる最も高い次数の導出は、方程式の次数である。未知の関数とその導関数に依存しない項b ( x )は、この項が非定数関数である場合でも、方程式の定数項と呼ばれることがある（代数方程式との類推による）。定数項がゼロ関数である場合、微分方程式は、未知の関数とその導関数の同次多項式であるため、同次であると言われる。線形微分方程式の定数項をゼロ関数に置き換えて得られる方程式は、関連する同次方程式。関連する同次方程式の係数として 定数のみが現れる場合、微分方程式は定数係数

あ微分方程式の解は、方程式を満たす関数です。同次線型微分方程式の解はベクトル空間。通常、このベクトル空間は、方程式の次数に等しい有限次元を持ちます。線型微分方程式のすべての解は、特定の解に関連付けられた同次方程式の解を追加することによって求められます。

i次基本微分演算子は、任意の微分可能関数をそのi次導関数、または複数の変数の場合はi次偏導関数の1 つにマッピングするマッピングです。これは通常、一変数関数 の場合と n変数 関数の場合に表示されます 。基本微分演算子には、恒等マッピングである 0 次導関数が含まれます。 $${\displaystyle {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}}$$

線型微分演算子（この記事では線型演算子または単に演算子と略記する）は、係数として微分可能関数を持つ基本微分演算子の線型結合である。一変数の場合、線型演算子は^[1] の形式を持ち、 ここでa ₀ ( x )、...、a _n ( x )は微分可能関数であり、非負整数nは演算子の次数である（ a _n ( x )が零関数でない場合）。 $${\displaystyle a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},}$$

L を線形微分演算子とします。関数fへのLの適用は、変数を指定する必要がある場合は通常LfまたはLf ( X )と表記されます (乗算と混同しないでください)。線形微分演算子は、和を和に、スカラーの積を同じスカラーの積 にマッピングするため、線形演算子です。

2 つの線形演算子の和は線形演算子であり、線形演算子と微分可能関数の積 (左側) も線形演算子であるため、線形微分演算子は (考慮する関数の性質に応じて) 実数または複素数上のベクトル空間を形成します。また、微分可能関数の環上の自由モジュールも形成します。

演算子の言語は微分可能な方程式を簡潔に記述することを可能にする。 が 線形微分演算子である場合、方程式は 次のように書き直すことができる。 $${\displaystyle L=a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},}$$$${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)}$$$${\displaystyle Ly=b(x).}$$

この表記法にはいくつかのバリエーションがあり、特に、微分変数はLy ( x ) = b ( x )やLy = bのように、 yと方程式の右側の項に明示的に現れる場合と現れない場合があります。

線型微分演算子の核は、線型写像としての核、つまり（同次）微分方程式Ly = 0の解のベクトル空間です。

n次常微分作用素の場合、カラテオドリの存在定理によれば、非常に緩やかな条件下では、Lの核はn次元のベクトル空間であり、方程式Ly ( x ) = b ( x )の解は、c ₁、...、c _{n が}任意の数で ある形式になります 。通常、カラテオドリの定理の仮定は、関数b、a ₀、...、a _{n が}区間Iで連続し、 I内のすべてのxに対して| a _n ( x ) | > kとなる正の実数kが存在する場合に区間Iで満たされます。 $${\displaystyle S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+\cdots +c_{n}S_{n}(x),}$$

同次線形微分方程式は、a ₁、...、a _nが（実数または複素数） の形式である場合 、定数係数を持ちます。言い換えると、定数係数を持つ線形演算子によって定義されている場合、定数係数を持ちます。 $${\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0}$$

定数係数を持つこれらの微分方程式の研究は、指数関数e ^{x を}導入したレオンハルト・オイラーにまで遡ります。これは、 f (0) = 1となる方程式f ′ = fの唯一の解です。したがって、e ^cxのn次導関数はc ⁿ e ^cxとなり、これにより同次線形微分方程式をかなり簡単に解くことができます。

を定数係数（つまり、a ₀、...、a _nは実数または複素数） を持つ同次線型微分方程式とします 。$${\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0}$$

この方程式の解をe ^αxの形で検索することは、定数αを検索することに等しいので、 e ^αx（決してゼロにならない） を因数分解すると、 αは微分方程式の特性多項式の根でなければならないことがわかり、これは特性方程式 の左辺である。$${\displaystyle a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0.}$$ $${\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}}$$ $${\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}=0.}$$

これらの根がすべて異なる場合、方程式の係数が実数であっても、必ずしも実数ではない n 個の異なる解が存在します。これらの解は、 x = 0、...、n – 1 におけるこれらの解の値のヴァンデルモンド行列式を考慮することで、線形独立であることを示すことができます。これらは一緒になって、微分方程式の解のベクトル空間の基底（つまり、微分演算子の核） を形成します。

特性多項式が単純な根 のみを持つ場合、前述は解ベクトル空間の完全な基底を提供します。多重根の場合、基底を持つために、より多くの線形独立な解が必要です。これらは、 kが非負の整数、α が重複度mの特性多項式の根、およびk < m の形を持ちます。これらの関数が解であることを証明するために、 αが重複度mの特性多項式の根である場合、特性多項式はP ( t )( t − α ) ^mとして因数分解できることに留意してください。したがって、方程式の微分演算子を適用することは、最初に演算子 をm回適用し、次にP を特性多項式とする演算子を適用することと同等です。指数シフト定理により、 $${\displaystyle x^{k}e^{\alpha x},}$$${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$$${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-\alpha \right)\left(x^{k}e^{\alpha x}\right)=kx^{k-1}e^{\alpha x},}$$

したがって、 をk + 1 回適用すると、ゼロになります。${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$

代数学の基本定理によれば、多項式の根の重複度の合計は多項式の次数に等しく、上記の解の数は微分方程式の次数に等しく、これらの解は解のベクトル空間の基底を形成します。

方程式の係数が実数である一般的なケースでは、実数値関数で構成される解の基底を持つ方が一般的に便利です。このような基底は、 a + ib が特性多項式の根である場合、a – ib も同じ重複度の根であることに注目することで、前の基底から取得できます。したがって、実数基底は、オイラーの公式を使用し、およびをおよびに置き換えることで取得されます。 ${\displaystyle x^{k}e^{(a+ib)x}}$${\displaystyle x^{k}e^{(a-ib)x}}$${\displaystyle x^{k}e^{ax}\cos(bx)}$${\displaystyle x^{k}e^{ax}\sin(bx)}$

2階の同次線型微分方程式は次のように表すことができ 、その特性多項式は $${\displaystyle y''+ay'+by=0,}$$$${\displaystyle r^{2}+ar+b.}$$

aとbが実数の場合、判別式D = a ² − 4 bに応じて解は 3 つのケースに分けられます。3 つのケースすべてにおいて、一般解は 2 つの任意定数c ₁とc ₂に依存します。

• D > 0の場合、特性多項式は2つの異なる実根α、β を持ちます。この場合、一般解は$${\displaystyle c_{1}e^{\alpha x}+c_{2}e^{\beta x}.}$$
• D = 0のとき、特性多項式は二重根− a /2を持ち、一般解は$${\displaystyle (c_{1}+c_{2}x)e^{-ax/2}.}$$
• D < 0の場合、特性多項式は2つの複素共役根α ± βi を持ち、一般解は、オイラーの公式を用いて実数で書き直すと、$${\displaystyle c_{1}e^{(\alpha +\beta i)x}+c_{2}e^{(\alpha -\beta i)x},}$$$${\displaystyle e^{\alpha x}(c_{1}\cos(\beta x)+c_{2}\sin(\beta x)).}$$

y (0) = d ₁およびy ′(0) = d _{2 を}満たす解y ( x )を求めるには、上記の一般解の0における値とその導関数をそれぞれd ₁およびd ₂に等しくします。これにより、2 つの未知数c ₁およびc ₂に関する 2 つの線形方程式の線形システムが得られます。このシステムを解くと、いわゆるコーシー問題の解が得られ、そこではDEQ の解とその導関数の 0における値が指定されます。

定数係数を持つ n次非同次方程式 は、a ₁、...、a _nが実数または複素数、fがxの与えられた関数、y が未知の関数 (簡潔にするため、以下では「( x )」を省略します) として表すことができます。 $${\displaystyle y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=f(x),}$$

このような方程式を解く方法はいくつかあります。最適な方法は、方程式を非同次化する関数fの性質によって異なります。 f が指数関数と正弦関数の線形結合である場合は、指数応答式を使用できます。より一般的には、f がx ⁿ e ^ax、x ⁿ cos( ax )、およびx ⁿ sin( ax )の形式の関数の線形結合である場合( nは非負の整数、a は定数 (各項で同じである必要はありません))、未定係数法を使用できます。さらに一般的には、f が同次線形微分方程式 (通常はホロノミック関数 )を満たす場合、消滅法が適用されます。

最も一般的な方法は定数の変化であり、ここで紹介します。

関連する同次方程式の一般解は 、( y ₁、...、y _n )が解のベクトル空間の基底であり、 u 1 _、 ...、u _nが任意の定数である場合です。定数変分法は、次のアイデアからその名前が付けられています。u 1、...、u _{n を}定数として考える代わりに、それらを、 y を非同次方程式の解にするため_に決定する必要がある未知の関数と見なすことができます。この目的のために、(積の法則と帰納法によって) i = 1、...、n – 1 に対して 次の制約を追加します 。 $${\displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_{n}y=0}$$$${\displaystyle y=u_{1}y_{1}+\cdots +u_{n}y_{n},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}\\0&=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}\\&\;\;\vdots \\0&=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle y^{(i)}=u_{1}y_{1}^{(i)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(i)}}$$$${\displaystyle y^{(n)}=u_{1}y_{1}^{(n)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(n)}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$$

元の方程式のyとその導関数をこれらの式に置き換え、 y ₁ , ..., y _{n が}元の同次方程式の解である という事実を用いると、次の式が得られます。$${\displaystyle f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$$

この方程式と、左辺が0である上記の方程式は、係数が既知の関数 ( f、y _i 、およびその導関数)であるu ′ ₁、...、u ′ _nのn 個の線形方程式のシステムを形成します。このシステムは、線形代数の任意の方法で解くことができます。原始導関数の計算によりu ₁、...、u _nが得られ、y = u ₁ y ₁ + ⋯ + u _n y _nとなります。

不定積分は定数の加算まで定義されるため、非同次方程式の一般解は任意の解と関連する同次方程式の一般解の合計であることが再びわかります。

1次線形常微分方程式の一般的な形は、y ′( x )の係数を除いた後、次のようになります。 $${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$$

方程式が同次、すなわちg ( x ) = 0の場合、書き直して積分することができます。 ここ で、 k は積分の任意の定数であり、 はfの任意の原始微分です。したがって、同次方程式の一般解は c = e であり、 ^{k は}任意の定数です。 $${\displaystyle {\frac {y'}{y}}=f,\qquad \log y=k+F,}$$${\displaystyle F=\textstyle \int f\,dx}$$${\displaystyle y=ce^{F},}$$

一般的な非同次方程式の場合、方程式の両辺に同次方程式の解の逆数 e ^{− Fを掛けると便利です。 [2]}これにより、次の式が得られます 。 ⁠ ⁠積分則 により、方程式を次のように書き直すことができます。 したがって、一般解は 次の ようになります。ここで、 cは積分定数、F はfの任意の原始微分です(原始微分を変更すると、積分定数が変わります)。 $${\displaystyle y'e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}.}$$${\displaystyle -fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ye^{-F}\right)=ge^{-F}.}$$$${\displaystyle y=ce^{F}+e^{F}\int ge^{-F}dx,}$$

方程式を解くと、 関連する同次方程式は 次のように 表される 。$${\displaystyle y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=3x.}$$${\displaystyle y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0}$$${\displaystyle {\frac {y'}{y}}=-{\frac {1}{x}},}$$$${\displaystyle y={\frac {c}{x}}.}$$

元の方程式をこれらの解の1つで割ると 、 次のように なります。 つまり、 初期条件に対して 、 特定の解が得られます。 $${\displaystyle xy'+y=3x^{2}.}$$$${\displaystyle (xy)'=3x^{2},}$$ $${\displaystyle xy=x^{3}+c,}$$$${\displaystyle y(x)=x^{2}+c/x.}$$$${\displaystyle y(1)=\alpha ,}$$$${\displaystyle y(x)=x^{2}+{\frac {\alpha -1}{x}}.}$$

線形微分方程式系は、複数の未知の関数を含む複数の線形微分方程式で構成されます。一般に、未知の関数の数が方程式の数と等しいシステムのみを研究対象とします。

任意の線形常微分方程式およびそのような方程式のシステムは、最高次の導関数を除くすべての導関数に変数を追加することで、一次線形微分方程式のシステムに変換できます。つまり、方程式に⁠ ⁠${\displaystyle y',y'',\ldots ,y^{(k)}}$が現れる場合、それらを、i = 1, ..., k – 1に対して方程式⁠ ⁠および⁠ ⁠ を満たす新しい未知の関数⁠ ⁠${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$に置き換えることができます。 ${\displaystyle y'=y_{1}}$${\displaystyle y_{i}'=y_{i+1},}$

n 個の未知関数とn 個の微分方程式を持つ 1 次線形システムは、通常、未知関数の導関数について解くことができます。そうでない場合は、これは微分代数システムであり、これは別の理論です。したがって、ここで検討するシステムは、 ⁠ ⁠および⁠ ⁠ がxの関数 である形式を持ちます。行列表記では、このシステムは次のように記述できます (「 ( x ) 」を省略)。 $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\\[1ex]&\;\;\vdots \\[1ex]y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{n,n}(x)y_{n},\end{aligned}}}$$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle a_{i,j}}$$${\displaystyle \mathbf {y} '=A\mathbf {y} +\mathbf {b} .}$$

解法は単一の 1 次線形微分方程式の解法と似ていますが、行列乗算の非可換性から生じる複雑さを伴います。

を上記の行列方程式に関連付けられた同次方程式とします。その解は次元 nのベクトル空間を形成するため、行列式が零関数ではない関数 ⁠ ⁠ の正方行列の列になります。n = 1 の場合、またはAが定数行列の場合、またはより一般的には、A がその不定積分⁠ ⁠と可換である場合、 U をBの指数に等しく選択できます。実際、これらの場合、次の式が得られます。 一般的なケースでは、同次方程式の閉じた形式の解は存在せず、数値法、またはマグヌス展開などの近似法を使用する必要があります。 $${\displaystyle \mathbf {u} '=A\mathbf {u} .}$$${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle \textstyle B=\int Adx}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp(B)=A\exp(B).}$$

行列Uがわかっている場合、非同次方程式の一般解は次のようになります 。 ここで、列行列は積分の任意の定数です。 $${\displaystyle \mathbf {y} (x)=U(x)\mathbf {y_{0}} +U(x)\int U^{-1}(x)\mathbf {b} (x)\,dx,}$$${\displaystyle \mathbf {y_{0}} }$

初期条件が与えられ、 これらの初期条件を満たす解は $${\displaystyle \mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0},}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (x)=U(x)U^{-1}(x_{0})\mathbf {y_{0}} +U(x)\int _{x_{0}}^{x}U^{-1}(t)\mathbf {b} (t)\,dt.}$$

変数係数を持つ 1 次線形常方程式は求積法で解くことができ、これは解が積分で表せることを意味します。ただし、2 次以上の場合はそうではありません。これは、エミール・ピカールとエルネスト・ヴェシオによって提唱され、最近の発展は微分ガロア理論と呼ばれているピカール・ヴェシオ理論の主な結果です。

求積法で解くことが不可能なことは、アーベル・ルフィニの定理と比較することができます。アーベル・ルフィニの定理は、一般に、5次以上の代数方程式は根号法では解けないと述べています。この類似性は証明方法にも及び、微分ガロア理論という名称の由来となっています。

代数の場合と同様に、理論ではどの方程式が求積法で解けるかを判断し、可能であれば解くことができます。ただし、どちらの理論でも、最も強力なコンピューターを使用しても、必要な計算は非常に困難です。

それにもかかわらず、有理数係数を持つ 2 次のケースは、Kovacic のアルゴリズムによって完全に解決されています。

コーシー・オイラー方程式は、明示的に解くことができる、変数係数を持つ任意の次数の方程式の例です。これらは、 ⁠ ⁠が定数係数で ある形式の方程式です 。$${\displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0,}$$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n-1}}$

ホロノミック関数は、D有限関数とも呼ばれ、多項式係数を持つ同次線形微分方程式の解である関数です。

数学で一般的に考慮される関数のほとんどは、ホロノミック関数またはホロノミック関数の商です。実際、ホロノミック関数には、多項式、代数関数、対数、指数関数、正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦、逆三角関数と逆双曲関数、およびベッセル関数や超幾何関数などの多くの特殊関数が含まれます。

ホロノミック関数にはいくつかの閉包性があり、特にホロノミック関数の和、積、微分、積分はホロノミックである。さらに、これらの閉包性は、入力の微分方程式がわかれば、これらの演算の結果の微分方程式を計算するアルゴリズムが存在するという意味で効果的である。^[3]

ホロノミック関数の概念の有用性は、以下のツァイルバーガーの定理から明らかである。^[3]

ホロノミック数列は、多項式係数を持つ再帰関係によって生成される数列である。ホロノミック関数の点におけるテイラー級数の係数は、ホロ​​ノミック数列を形成する。逆に、べき級数の係数の列がホロノミックである場合、その級数はホロノミック関数を定義する（収束半径がゼロであっても）。両方の変換、つまり微分方程式から再帰関係を計算するための効率的なアルゴリズムがあり、その逆も同様である。 ^[3]

したがって、ホロノミック関数を（コンピュータ内で）定義する微分方程式と初期条件で表現すれば、これらの関数に対して、微分、不定積分、定積分、テイラー級数の高速計算（係数の再帰関係を利用）、近似誤差の認定された境界による高精度の評価、極限、特異点の局所化、無限大および特異点付近での漸近的挙動、恒等式の証明などのほとんどの微積分演算を自動的に実行できるということになる。 ^[4]

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• 線形差分方程式
• パラメータの変化

• バーコフ、ギャレット & ロータ、ジャンカルロ (1978)、常微分方程式、ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、ISBN 0-471-07411-X
• ガーシェンフェルド、ニール（1999）『数学モデリングの性質』、ケンブリッジ、英国：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-57095-4
• ロビンソン、ジェームズ C. (2004)、常微分方程式入門、ケンブリッジ、英国: ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-82650-0

• http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm
• 数学関数の動的辞書。多くのホロノミック関数の自動的かつインタラクティブな学習。