ウォルシュ関数

数学、より具体的には調和解析において、ウォルシュ関数は任意の離散関数を表すために使用できる完全な直交関数セットを形成します。これは、フーリエ解析で三角関数を使用して任意の連続関数を表すことができるのと同じです。 ^[1]したがって、ウォルシュ関数は、単位区間 上の連続アナログ三角関数システムの離散デジタル対応物と見なすことができます。ただし、連続である正弦関数と余弦関数とは異なり、ウォルシュ関数は区分的に一定です。ウォルシュ関数は、 2項分数で定義される部分区間で、-1 と +1 のみの値を取ります。

ウォルシュ関数系はウォルシュシステムとして知られています。これはラデマッハ直交関数系の拡張です。^[2]

ウォルシュ関数、ウォルシュシステム、ウォルシュ級数^[3]、高速ウォルシュ・アダマール変換はすべてアメリカの数学者ジョセフ・L・ウォルシュにちなんで名付けられました。これらは、デジタル信号を解析する際に物理学や工学のさまざまな分野で応用されています。

歴史的に、ウォルシュ関数のさまざまな番号付けが使用されてきましたが、どれも特に優れているわけではありません。この記事では、ウォルシュ-ペイリー番号付けを使用します。

ウォルシュ関数の列を次のように定義します。 ${\displaystyle W_{k}:[0,1]\rightarrow \{-1,1\}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

任意の自然数 kと実数 に対して、 ${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle k_{j}}$をkの2進数表現におけるj番目のビットとし、最下位ビットをjとし、${\displaystyle k_{0}}$

${\displaystyle x_{j}}$を最上位小数ビットとして、の小数2進表現におけるj番目のビットとします。${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{1}}$

そして、定義により

${\displaystyle W_{k}(x)=(-1)^{\sum _{j=0}^{\infty }k_{j}x_{j+1}}}$

特に、区間上のどこでも、kのすべてのビットはゼロです。 ${\displaystyle W_{0}(x)=1}$

はまさにラデマッハ関数r _mであることに注目してください。したがって、ラデマッハシステムはウォルシュシステムのサブシステムです。さらに、すべてのウォルシュ関数はラデマッハ関数の積です。 ${\displaystyle W_{2^{m}}}$

${\displaystyle W_{k}(x)=\prod _{j=0}^{\infty }r_{j}(x)^{k_{j}}}$

ウォルシュ関数と三角関数はどちらも、単位区間上の二乗可積分関数のヒルベルト空間における正規直交基底である、完全な正規直交関数の集合を形成するシステムです。どちらも、たとえばハール システムやフランクリン システムとは異なり、有界関数のシステムです。 ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

三角法とウォルシュ システムはどちらも、単位区間から実数直線への周期性による自然な拡張が可能です。さらに、単位区間 (フーリエ級数) と実数直線 (フーリエ変換) の両方のフーリエ解析には、ウォルシュ システムを介して定義されたデジタル版があり、ウォルシュ級数はフーリエ級数に類似し、アダマール変換はフーリエ変換に類似しています。

ウォルシュ系は、カントール群のポントリャーギン双対に同型なアーベル乗法離散群です。その恒等式は であり、すべての要素は位数2 です (つまり、自己逆です)。 ${\displaystyle \{W_{k}\},k\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \coprod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle W_{0}}$

ウォルシュシステムはヒルベルト空間の正規直交基底である。正規直交性とは ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}W_{k}(x)W_{l}(x)dx=\delta _{kl}}$、

が基底であるということは、任意の に対して、 と設定すれば、 ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$${\displaystyle f_{k}=\int _{0}^{1}f(x)W_{k}(x)dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}(f(x)-\sum _{k=0}^{N}f_{k}W_{k}(x))^{2}dx\;\ {\xrightarrow[{N\rightarrow \infty }]{}}\;\ 0}$

あらゆる に対して、ほぼあらゆる に対して、級数はに収束することがわかります。 ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}W_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in [0,1]}$

ウォルシュ システム (ウォルシュ-ペイリーの記数法) は、 、   においてシャウダー基底を形成します。ハール システムや三角法システムとは異なり、この基底は無条件ではなく、またシステムは においてシャウダー基底ではないことに注意してください。 ${\displaystyle L^{p}[0,1]}$${\displaystyle 1<p<\infty }$${\displaystyle L^{1}[0,1]}$

をハール測度を備えたコンパクトカントール群とし、をその離散的な指標群とします。 の元はウォルシュ関数と容易に同一視できます。 もちろん、指標は 上で定義され、ウォルシュ関数は単位区間上で定義されますが、これらの測度空間の間には法ゼロ同型性が存在するため、それらの上の測定可能な関数は等長変換を介して同一視されます。 ${\displaystyle \mathbb {D} =\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}}$${\displaystyle \mathbb {D} }$

そして、基本的な表現理論は、ウォルシュシステムの概念の次のような広範な一般化を示唆しています。

任意のバナッハ空間に対して、 が Xへの強連続で一様有界な忠実な作用であるとする。任意の に対して、その固有空間を考える。すると、 X は固有空間の閉じた線形スパンである: 。すべての固有空間が 1次元であると仮定し、となるような元を選ぶ。すると、システム、または同じシステムの Walsh-Paley の指標の数は、作用 に関連付けられた一般化された Walsh システムと呼ばれる。古典的な Walsh システムは、次の特別な場合になる。 ${\displaystyle (X,||\cdot ||)}$${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }\subset \operatorname {Aut} X}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle \gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle X_{\gamma }=\{x\in X:R_{t}x=\gamma (t)x\}}$${\displaystyle X={\overline {\operatorname {Span} }}(X_{\gamma },\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }})}$${\displaystyle w_{\gamma }\in X_{\gamma }}$${\displaystyle \|w_{\gamma }\|=1}$${\displaystyle \{w_{\gamma }\}_{\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}}$${\displaystyle \{w_{k}\}_{k\in {\mathbb {N} }_{0}}}$${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }}$

${\displaystyle R_{t}:x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}2^{-j}\mapsto \sum _{j=1}^{\infty }(x_{j}\oplus t_{j})2^{-j}}$

ここで、 2 を法とする加算です。 ${\displaystyle \oplus }$

1990 年代初頭、セルジュ・フェルレジェとフョードル・スコチェフは、バナッハ空間の広いクラス (いわゆるUMD空間^[4] ) において、一般化ウォルシュ系が古典的なものと類似した多くの性質を持つことを示しました。すなわち、一般化ウォルシュ系は空間内でシャウダー基底^[5]と一様有限次元分解^{[6]を形成し、ランダム無条件収束の性質を持ちます[7] 。一般化ウォルシュ系の重要な例の 1 つは、}超有限タイプ II 因子に関連する 非可換L ^p空間内のフェルミオンウォルシュ系です。

フェルミオン ウォルシュ システムは、古典的なウォルシュ システムの非可換な、つまり「量子」アナログです。後者とは異なり、関数ではなく演算子で構成されています。ただし、両方のシステムは多くの重要な特性を共有しています。たとえば、対応するヒルベルト空間で正規直交基底を形成し、対応する対称空間でシャウダー基底を形成します。フェルミオン ウォルシュ システムの要素は、ウォルシュ演算子と呼ばれます。

システムの名前にあるフェルミオンという用語の説明は、包絡演算子空間、いわゆる超有限タイプ II 因子が、可算無限数の異なる スピンフェルミオンのシステムの観測可能空間として見ることができるという事実によって行われます。各ラデマッハ演算子は、特定の 1 つのフェルミオン座標にのみ作用し、そこではパウリ行列になります。これは、スピン空間の軸の 1 つに沿ったフェルミオンのスピン成分を測定する観測可能量と同一視できます。したがって、ウォルシュ演算子は、それぞれ独自の軸に沿ったフェルミオンのサブセットのスピンを測定します。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle \{x,y,z\}}$

の整数列を固定し、積位相と正規化されたハール測度が備わっているものとします。と を定義します。それぞれは実数と関連付けることができます 。${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},...)}$${\displaystyle \alpha _{k}\geq 2,k=1,2,\dots }$${\displaystyle \mathbb {G} =\mathbb {G} _{\alpha }=\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z} }$${\displaystyle A_{0}=1}$${\displaystyle A_{k}=\alpha _{1}\alpha _{2}\dots \alpha _{k-1}}$${\displaystyle x\in \mathbb {G} }$

${\displaystyle \left|x\right|=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x_{k}}{A_{k}}}\in \left[0,1\right].}$

この対応は、 と単位区間の間の加群零同型である。また、の位相を生成するノルムも定義する。について 、${\displaystyle \mathbb {G} }$${\displaystyle \mathbb {G} }$${\displaystyle k=1,2,\dots }$${\displaystyle \rho _{k}:\mathbb {G} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \rho _{k}(x)=\exp \left(i{\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right)=\cos \left({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right).}$

この集合は一般化ラデマッハ系と呼ばれる。ヴィレンキン系はの（複素数値）指標の群であり、これらはすべて の有限積である。負でない整数ごとに、および となる一意 のシーケンスが存在する。${\displaystyle \{\rho _{k}\}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {G} }$${\displaystyle \{\rho _{k}\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{0},n_{1},\dots }$${\displaystyle 0\leq n_{k}<\alpha _{k+1},k=0,1,2,\dots }$

${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{\infty }n_{k}A_{k}.}$

では、どこで ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}={\chi _{n}|n=0,1,\dots }}$

${\displaystyle \chi _{n}=\sum _{k=0}^{\infty }\rho _{k+1}^{n_{k}}.}$

特に、 の場合、 はカンター群であり、は（実数値）ウォルシュ・ペイリー系です。 ${\displaystyle \alpha _{k}=2,k=1,2...}$${\displaystyle \mathbb {G} }$${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\left\{\chi _{n}|n=0,1,\dots \right\}}$

ヴィレンキン系は上の完全な正規直交系であり、上のシャウダー基底を形成する。  ^[8 ]${\displaystyle \mathbb {G} }$${\displaystyle L^{p}(\mathbb {G} ,\mathbb {C} )}$${\displaystyle 1<p<\infty }$

離散ウォルシュ・アダマール変換の非線形位相拡張が開発された。相互相関特性が改善された非線形位相基底関数は、符号分割多重接続（CDMA）通信における従来のウォルシュ符号よりも大幅に優れていることが示された。^[9]

ウォルシュ関数の応用は、音声認識、医療および生物学的画像処理、デジタル ホログラフィーなど、数字表現が使用されるあらゆる場所で見られます。

たとえば、高速ウォルシュ・アダマール変換(FWHT) は、デジタル準モンテカルロ法の分析に使用できます。電波天文学では、ウォルシュ関数はアンテナ信号間の電気的クロストークの影響を軽減するのに役立ちます。また、パッシブLCDパネルでは、オフになっている ピクセルの X と Y 間の自己相関を最小限に抑えることができる X と Y のバイナリ駆動波形として使用されます。

• 離散フーリエ変換
• 高速フーリエ変換
• 調和分析
• 直交関数
• ウォルシュ行列
• パリティ機能

• Ferleger, Sergei V. (1998 年 3 月)。非可換対称空間における RUC システム (技術レポート)。MP-ARC-98-188。
• Ferleger, Sergei V.; Sukochev, Fyodor A. (1996 年 3 月)。 「反射的非可換 Lp 空間の線型群の点への収縮可能性について」。ケンブリッジ哲学協会数学会報。119 (3​​): 545–560。Bibcode :1996MPCPS.119..545F。doi : 10.1017/s0305004100074405。S2CID 119786894  。
• Fine, NJ (1949). 「ウォルシュ関数について」. Trans. Amer. Math. Soc . 65 (3): 372–414. doi : 10.1090/s0002-9947-1949-0032833-2 .
• Pisier, Gilles (2011). バナッハ空間におけるマルチンゲール (タイプとコタイプとの関連)。コース IHP (PDF)。
• シップ、フェレンツ。ウェイド、WR。サイモン、P. (1990)。ウォルシュシリーズ。二項調和解析の概要。アカデミアイ・キアド。
• Sukochev , Fyodor A.; Ferleger , Sergei V. (1995 年 12 月)。「(UMD) 空間における調和解析: 基底理論への応用」。数学ノート。58 (6): 1315–1326。doi :10.1007/bf02304891。S2CID 121256402  。
• Walsh, JL (1923). 「正規直交関数の閉じた集合」. Amer. J. Math. 45 (1): 5–24. doi :10.2307/2387224. JSTOR  2387224. S2CID  6131655.
• Young, W.-S. (1976). 「一般化ウォルシュ・フーリエ級数の平均収束」. Trans. Amer. Math. Soc. 218 : 311–320. doi : 10.1090/s0002-9947-1976-0394022-8 . JSTOR  1997441. S2CID  53755959.

• 「ウォルシュ関数」。MathWorld。

• 「ウォルシュ関数」。数学百科事典。

• 「ウォルシュシステム」。数学百科事典。

• 「ウォルシュ関数」。スタンフォード探査プロジェクト。