重要な数字

有効数字は、重要数字または有効桁数とも呼ばれ、位置表記法で書かれた数字内の特定の桁であり、特定の数量を伝える上で信頼性と必要性​​の両方を持ちます。測定結果 (長さ、圧力、体積、質量など) を提示する際に、桁数が測定機器の分解能を超える場合、分解能の能力の範囲内の桁数のみが信頼でき、したがって有効であると見なされます。

たとえば、長さの測定値が 114.8 mm だった場合、目盛りの間隔が最小の定規を使用した場合、最初の 3 つの数字 (1、1、4、114 mm を表す) は確実であり、有効数字を構成します。さらに、不確実ではあるが意味のある数字も有効数字に含まれます。この例では、最後の数字 (8、0.8 mm を表す) も同様に不確実であるにもかかわらず、有効であると見なされます。^[1]したがって、この測定値には 4 つの有効数字が含まれます。

もう1つの例は、不確かさが±0.05 Lの体積測定値が2.98 Lの場合です。実際の体積は2.93 Lから3.03 Lの間です。特定の数字が完全にはわかっていない場合でも、意味がある場合は、許容可能な不確かさの範囲内で実際の体積を示しているため、重要です。この場合、実際の体積は2.94 Lまたは3.02 Lである可能性があるため、3つの数字すべてが重要であると見なされます。^[1]したがって、この例では有効数字が3つあります。

以下の数字は重要ではないとみなされる: ^[2]

• 先頭のゼロ。たとえば、013 kg には 1 と 3 の 2 つの重要な数字がありますが、先頭のゼロは質量表示に影響しないため重要ではありません。013 kg は 13 kg に等しいため、ゼロは不要です。同様に、0.056 m の場合、0.056 m は 56 mm と同じであるため、先頭のゼロが 2 つありますが、これは重要ではありません。したがって、先頭のゼロは長さ表示には影響しません。
• 末尾のゼロはプレースホルダーとして機能します。測定解像度が 100 m の場合の 1500 m の測定値では、末尾のゼロは単に 10 の位と 1 の位を表すだけなので、重要ではありません。この例では、1500 m は長さが 1500 m という正確な値ではなく、およそ 1500 m であることを示します。
• 計算によって元のデータよりも高い精度が得られる誤った数字、または計測器の分解能よりも高い精度で報告された測定値。

小数点の後のゼロ (例: 1.0) は意味を持つため、このような小数点のゼロを追加する場合は注意が必要です。したがって、1.0 の場合は有効数字が 2 つありますが、1 (小数点なし) の場合は有効数字が 1 つあります。

数値の有効桁のうち、最上位桁は指数値が最も大きい桁 (左端の有効桁/数字) であり、最下位桁は指数値が最も小さい桁 (右端の有効桁/数字) です。たとえば、数値「123」では、「1」が最上位桁で百の位 (10 ² ) を表し、「3」が最下位桁で一の位 (10 ⁰ ) を表します。

誤解を招くような精度レベルを伝えることを避けるために、数値はしばしば四捨五入されます。たとえば、計測器が最も近いグラム (0.001 kg) の精度しか提供しない場合、測定値を 12.34525 kg と表示すると、誤った精度が作成されます。この場合、有効数字は左端の桁から最初の 5 桁 (1、2、3、4、5) であり、数値はこれらの有効数字に四捨五入され、正確な値は 12.345 kg になります。四捨五入誤差(この例では、0.00025 kg = 0.25 g) は、数値の分解能または精度に近似します。数値は、必ずしも測定精度を示すためではなく、ニュース放送での便宜を図るなど、簡潔にするために四捨五入されることもあります。

有意性演算には、計算を通じて有意性を維持するための一連の近似規則が含まれます。より高度な科学的規則は、不確実性の伝播として知られています。

以下では、基数10 (基数 10、10 進数) が想定されています。(これらの概念を他の基数に拡張するには、最後の場所の単位を参照してください。)

数値の重要な数字を識別するには、どの桁が意味を持つかを知る必要があり、そのためには、数値を測定、取得、または処理する解像度を知る必要があります。たとえば、測定可能な最小の質量が 0.001 g の場合、0.00234 g と与えられた測定値の「4」は役に立たないので破棄する必要がありますが、「3」は役に立つので、多くの場合保持する必要があります。^[3]

• 指定された測定またはレポート解像度内のゼロ以外の数字は重要です。
  • 91 は、測定可能な数字であれば 2 つの有効数字 (9 と 1) を持ちます。
  • 123.45 は、測定分解能の範囲内であれば、5 つの有効数字 (1、2、3、4、5) を持ちます。分解能がたとえば 0.1 の場合、5 は、4 つの有効数字の真の値が 123.4 または 123.5 になる可能性が等しいことを示します。
• 2 つの重要な非ゼロ数字の間にあるゼロは重要です(重要な トラップされたゼロ )。
  • 解像度が 0.00001 の場合、101.12003 は 8 桁の有効数字で構成されます。
  • 125.340006 は、解像度が 0.0001 の場合、1、2、5、3、4、0、0 の 7 つの有効数字を持ちます。
• 最初の非ゼロの数字の左側にあるゼロ(先頭のゼロ) は意味を持ちません。
  • 長さの測定値が 0.052 km の場合、0.052 km = 52 m となるため、5 と 2 のみが意味を持ちます。先頭のゼロは、使用される単位に応じて表示または非表示になるため、測定スケールを示すために必要ではありません。
  • 解像度が 0.00001 の場合、0.00034 には 2 つの有効数字 (3 と 4) があります。
• 小数点付きの数値の最後の非ゼロ桁の右側にあるゼロ (末尾のゼロ) は、測定またはレポートの解像度内にある場合に 意味を持ちます。
  • 1.200 には、測定分解能で許可されている場合、4 つの有効数字 (1、2、0、0) があります。
  • 0.0980 は、測定分解能内であれば、3 つの有効数字 (9、8、最後のゼロ) を持ちます。
  • 120.000 は、前と同様に測定分解能内にある場合、6 つの有効数字 (1、2、および後続の 4 つのゼロ) で構成されます。
• 整数の末尾のゼロは、 測定またはレポートの解像度に応じて、 重要になる場合と重要でない場合があります。
  • 45,600 は、最後のゼロがどのように使用されるかによって、3、4、または 5 つの有効数字を持ちます。たとえば、道路の長さが 45600 m と報告され、報告または測定解像度に関する情報がない場合、道路の長さが 45600 m として正確に測定されたのか、または概算なのかは不明です。概算である場合、末尾のゼロは信頼できず必要ないため、最初の 3 つの非ゼロの数字のみが有効になります。45600 m は科学的記数法では 45.6 km または 4.56 × 10 ⁴  mと表すことができますが、どちらの表現でも末尾のゼロは必要ありません。
• 正確な数には、有効数字が無限にあります。
  • 袋の中のリンゴの数が 4 個 (正確な数) の場合、この数は 4.0000... (小数点の右側に無限のゼロが続く) になります。結果として、4 は計算結果の有効数字または桁数に影響を与えません。
• 数学定数または物理定数には、既知の数字に有効な数字があります。
  • π は、いくつかの同等の定義を持つ特定の実数です。正確な 10 進展開 3.14159265358979323... のすべての桁が有効です。これらの桁の多くの特性はわかっていますが (たとえば、π は無理数なので重複しません)、すべての桁がわかっているわけではありません。2024 年 3 月の時点で、102 兆桁以上^[4]が計算されています。102 兆桁の近似値には 102 兆桁の有効桁があります。実際のアプリケーションでは、はるかに少ない桁が使用されます。日常的な近似値 3.14 には、3 つの有効数字と 7 つの正しい2 進数字があります。近似値 22/7 には、同じ 3 つの正しい 10 進数字がありますが、正しい 2 進数字は 10 です。ほとんどの計算機やコンピュータプログラムは16桁の拡張3.141592653589793を扱うことができ、これは惑星間航行の計算には十分である。^[5]
  • プランク定数は であり、正確な値として定義されているため、より正確には と定義されます。^[6]${\displaystyle h=6.62607015\times 10^{-34}\mathrm {J} \cdot \mathrm {s} }$${\displaystyle h=6.62607015(0)\times 10^{-34}\mathrm {J} \cdot \mathrm {s} }$

小数点を含まない数値の末尾のゼロの意味はあいまいな場合があります。たとえば、1300 という数値が最も近い単位まで正確であるのか (偶然に 100 の倍数になっているだけ)、それとも丸めや不確実性のために最も近い 100 の倍数までしか表示されていないのかは、必ずしも明らかではありません。この問題に対処するための規則は多数存在します。ただし、これらは普遍的に使用されているわけではなく、読者が規則に精通している場合にのみ有効です。

• 上線(オーバーバー、またはより正確にはヴィンキュラムとも呼ばれる) は、最後の有効数字の上に置かれることがあります。これに続く末尾のゼロは無意味です。たとえば、13 0 0 には 3 つの有効数字があります (したがって、その数は 10 の位まで正確であることを示します)。

• あまり一般的ではありませんが、密接に関連する規則を使用して、数値の最後の有効数字に下線が引かれることがあります。たとえば、「1 3 00」には 2 つの有効数字があります。

• 数字の後に小数点が置かれることがあります。たとえば、「1300」は、末尾のゼロが重要であることを示しています。^[7]

上記の規則は一般的に使用されていないため、末尾にゼロが付いた数値の有効性を示すために、より広く認識されている次のオプションが利用できます。

• 測定単位の付いた数値の単位の接頭辞を変更することで、あいまいなゼロや意味のないゼロを排除します。たとえば、1300 g と指定された測定精度はあいまいですが、1.30 kg と指定されている場合はあいまいではありません。同様に、0.0123 L は 12.3 mL と書き直すことができます。

• 科学的記数法を使用して、あいまいなゼロや意味のないゼロを削除します。たとえば、3桁の有効数字を持つ1300は、1.30 × 10 ³。同様に0.0123は次のように書き直すことができる。1.23 × 10 ⁻²。表現の有効数字（1.30または1.23）を含む部分は、仮数部または仮数部と呼ばれます。基数と指数部の数字（10 ³または10 ⁻²）は正確な数値とみなされるため、これらの桁では有効数字は無関係です。

• 有効数字の数を明示的に示します (省略形 sf が使用される場合もあります)。たとえば、「20 000 から 2 sf」または「20 000 (2 sf)」などです。

• 予想される変動性 (精度) をプラスマイナス記号で明示的に指定します(例: 20 000 ± 1%)。これにより、10 の累乗の間の精度の範囲を指定することもできます。

有効数字への丸めは、異なるスケールの数字を統一的に扱うため、 n桁への丸めよりも汎用的な手法です。たとえば、ある都市の人口は千単位までしか知られておらず、52,000 と表記される一方、ある国の人口は百万単位までしか知られておらず、52,000,000 と表記されることがあります。前者は数百の誤差がある可能性があり、後者は数十万の誤差がある可能性がありますが、どちらも有効数字が 2 つあります (5 と 2)。これは、測定される量の大きさに対して、どちらの場合も誤差の重要性は同じであるという事実を反映しています。

数値をn桁の有効数字に丸めるには: ^{[8] [9]}

1. n + 1 桁目が 5 より大きい場合、または 5 の後に他の非ゼロの桁が続く場合は、 n桁目に 1 を加算します。たとえば、1.2459 を 3 桁の有効数字に丸める場合、この手順の結果は 1.25 になります。
2. n + 1 桁目が 5 で、その後に他の桁が続かない場合、または 0 のみが続く場合は、四捨五入には同点決着ルールが必要です。たとえば、1.25 を 2 桁の有効数字に丸めるには、次のようにします。
   • ゼロから半分離れたところに丸めると、1.3 に切り上げられます。これは、必要な丸め方法が指定されていない場合に、多くの分野で暗黙的に使用されているデフォルトの丸め方法です^{[引用が必要]}。
   • 半分を偶数に丸めると、最も近い偶数に丸められます。この方法では、1.25 は 1.2 に切り捨てられます。この方法が 1.35 に適用されると、1.4 に切り上げられます。これは、たとえば、長い値のリストの平均値が上方に偏ることを回避できるため、多くの科学分野で好まれる方法です。
3. 整数を丸める場合は、n桁目の後の数字をゼロに置き換えます。たとえば、1254 を 2 桁の有効数字に丸めると、5 と 4 が 0 に置き換えられて 1300 になります。小数点を含む数値を丸める場合は、n桁目の後の数字を削除します。たとえば、14.895 を 3 桁の有効数字に丸めると、8 の後の数字が削除されて 14.9 になります。

金融計算では、数値は多くの場合、指定された桁数に丸められます。たとえば、世界の多くの通貨では、小数点以下の 2 桁に丸められます。これは、精度が高くても意味がなく、通常、最小通貨単位未満の債務を決済することはできないためです。

英国の個人納税申告では、収入は最も近いポンドに切り捨てられ、支払われる税金は最も近いペニーに計算されます。

例として、10 進数12.345は、さまざまな有効数字または小数点以下の桁数で表現できます。十分な精度が得られない場合、数値は使用可能な精度に合うように何らかの方法で丸められます。次の表は、2 つの丸め方法でのさまざまな合計精度の結果を示しています (N/A は該当なしを意味します)。

0.012345の別の例。(先頭のゼロは重要ではないことに注意してください。)

ゼロでない数xをp桁の精度で表すと、次の式で表される数値が得られます。^{[引用が必要]}

${\displaystyle 10^{n}\cdot \operatorname {round} \left({\frac {x}{10^{n}}}\right)}$

どこ

${\displaystyle n=\lfloor \log _{10}(|x|)\rfloor +1-p}$

有効な末尾のゼロの数を指定するには、上記のように特定のマークを付けて記述する必要がある場合があります。

測定結果には、 などの測定不確かさを含めることが推奨されます。ここで、x _bestとσ _xは、それぞれ測定における最良の推定値と不確かさです。 ^[10] x _bestは測定値の平均、σ _{x は}標準偏差または測定偏差の倍数です。表記規則は次のとおりです。^[11]${\displaystyle x_{best}\pm \sigma _{x}}$ ${\displaystyle x_{best}\pm \sigma _{x}}$

• σ _{x は}通常、1桁または2桁の有効数字で引用されるべきであり、それ以上の精度は信頼性や意味を持たなくなる可能性が高い。
  • 1.79 ± 0.06 (正解)、1.79 ± 0.96 (正解)、1.79 ± 1.96 (不正解)。
• x _bestとσ _xの最後の有効数字の桁位置は同じです。そうでない場合、一貫性が失われます。たとえば、「1.79 ± 0.067」は誤りです。最良の推定値よりも正確な不確実性を持つことは意味がありません。
  • 1.79 ± 0.06 (正解)、1.79 ± 0.96 (正解)、1.79 ± 0.067 (不正解)。

不確かさは、明示的に表現されていない場合、最後の有効数字によって暗示される場合があります。^[1]暗示される不確かさは、最後の有効数字の位置における最小スケールの半分の±です。たとえば、物体の質量が不確かさについて言及せずに 3.78 kg と報告されている場合、± 0.005 kg の測定不確かさが暗示される可能性があります。物体の質量が 3.78 ± 0.07 kg と推定され、実際の質量はおそらく 3.71 ～ 3.85 kg の範囲にあり、それを単一の数字で報告する必要がある場合、暗示される不確かさ ± 0.05 kg により質量範囲が 3.75 ～ 3.85 kg となり、測定範囲に近いため、3.8 kg が報告するのに最適な数字です。不確実性がもう少し大きい場合、つまり 3.78 ± 0.09 kg の場合、3.8 kg が依然として引用するのに最適な単一の数字です。「4 kg」が報告されると、多くの情報が失われるためです。

数値の暗黙の不確かさを記述する必要がある場合は、それを暗黙の不確かさとして記述することができます（読者がそれを測定の不確かさとして認識するのを防ぐため）。ここで、xとσ _{x は}それぞれ、（上記の不確かさの記述規則に従うために）余分なゼロ桁を持つ数値とその暗黙の不確かさです。たとえば、暗黙の不確かさ ± 0.5 kg を持つ 6 kg は、6.0 ± 0.5 kg と記述できます。 ${\displaystyle x\pm \sigma _{x}}$

直接測定された量の有効数字を決定するための規則があるように、これらの測定された量から計算された量の有効数字を決定するためのガイドライン（規則ではない）も存在します。

測定された量の有効数字は、それらを使って計算された量の有効数字を決定する際に最も重要です。数学的または物理的な定数 (たとえば、半径rの円の面積をπ r ²として求める公式のπ ) は、その既知の桁が計算に使用された測定量の有効数字以上であれば、計算結果の有効数字の決定には影響しません。速度vでの質量mの運動エネルギーを½ mv ²として求める公式の½などの正確な数は、有効数字の数が無限大 (0.500000...) であるため、計算された運動エネルギーの有効数字には影響しません。

以下に説明するガイドラインは、測定された量よりも正確な計算結果を回避することを目的としていますが、結果として得られる暗黙の不確実性が測定された不確実性に十分近いことを保証するものではありません。この問題は単位変換で見られます。ガイドラインが暗黙の不確実性を測定値から大きくかけ離れている場合、同等の不確実性を与える有効桁数を決定する必要がある場合があります。

測定された量を乗算と除算によって生成した量については、計算結果の有効数字は、計算に使用された測定量の中で最も小さい有効数字と同じ数になるはずである。 ^[12]例えば、

• 1.234 × 2 = 2 .468 ≈ 2
• 1.234 × 2.0 = 2.4 68 ≈ 2.5
• 0.01234 × 2 = 0.0 2 468 ≈ 0.02
• 0.012345678 / 0.00234 = 5.2 7 59 ≈ 5.28

それぞれ1 桁、2 桁、1 桁の有効数字を持ちます(ここでの 2 は正確な数字ではないと想定されています)。最初の例では、最初の乗算係数には 4 桁の有効数字があり、2 番目の係数には 1 桁の有効数字があります。有効数字が最も少ない係数は、1 桁しかない 2 番目の係数であるため、最終的な計算結果にも 1 桁の有効数字があるはずです。

単位変換の場合、この丸めガイドラインに従うと、結果の暗黙の不確実性が前の単位よりも不満足なほど高くなる可能性があります。たとえば、8 インチの暗黙の不確実性は ± 0.5 インチ = ± 1.27 cm です。これをセンチメートル スケールに換算し、乗算と除算の丸めガイドラインに従うと、2 0.32 cm ≈ 20 cm となり、暗黙の不確実性は ± 5 cm になります。この暗黙の不確実性が過大評価されていると考えられる場合、単位変換結果のより適切な有効桁数は 2 0.32 cm ≈ 20. cm となり、暗黙の不確実性は ± 0.5 cm になります。

上記の丸めガイドラインを適用するもう 1 つの例外は、1.234 × 9 のように、数値に整数を掛けることです。上記のガイドラインに従うと、結果は 1.234 × 9.000.... = 11.1 0 6 ≈ 11.11 と丸められます。ただし、この乗算は基本的に 1.234 を 9 回加算すること、つまり 1.234 + 1.234 + … + 1.234 であるため、以下に説明する加算と減算の丸めガイドラインの方が適切な丸めアプローチです。^[13]結果として、最終的な答えは 1.234 + 1.234 + … + 1.234 = 11.10 6 = 11.106 (有効桁が 1 つ増加) になります。

測定された量から加算と減算によって作成された量の場合、計算結果の最後の有効数字の位置（たとえば、100、10、10分の1、100分の1など）は、計算内の測定された量の最後の有効数字の最も左または最大の桁位置と同じである必要があります。たとえば、

• 1.234 + 2 = 3 .234 ≈ 3
• 1.234 + 2.0 = 3. 2 34 ≈ 3.2
• 0.01234 + 2 = 2 .01234 ≈ 2
• 12000 + 77 = 1 2 077 ≈ 12000

最後の有効数字は、それぞれ一の位、十の位、一の位、千の位になります。(ここでの 2 は正確な数字ではないと想定されています。) 最初の例では、最初の項の最後の有効数字は千の位にあり、2 番目の項の最後の有効数字は一の位にあります。これらの項の最後の有効数字のうち最も左または最大の桁位置が一の位であるため、計算結果の最後の有効数字も一の位にあるはずです。

乗算と除算の有効数字を計算する規則は、加算と減算の規則と同じではありません。乗算と除算では、計算の各要素の有効数字の合計数のみが重要であり、各要素の最後の有効数字の桁位置は無関係です。加算と減算では、計算の各項の最後の有効数字の桁位置のみが重要であり、各項の有効数字の合計数は無関係です。^{[引用が必要]} ただし、後続の計算で使用される中間結果で有効でない桁をいくつか保持すると、精度が向上することがよくあります。^{[引用が必要]}

正規化された数の底-10 の対数(つまり、a × 10 ^b、ただし 1 ≤ a < 10、bは整数) は、小数部 (仮数と呼ばれる) の有効数字が正規化された数の有効数字と同じ数になるように丸められます。

• log ₁₀ (3.000 × 10 ⁴ ) = log ₁₀ (10 ⁴ ) + log ₁₀ (3.000) = 4.000000... (正確な数値なので有効桁数は無限大) + 0.477 1 212547... = 4.477 1 212547 ≈ 4.4771。

正規化された数の真数を取る場合、結果は、真数を取る数値の小数部の有効数字と同じ数の有効数字になるように丸められます。

• 10 ^4.4771 = 299 9 8.5318119... = 30000 = 3.000 × 10 ⁴。

超越関数 （例えば、指数関数、対数関数、三角関数）がその定義域要素「x」で微分可能である場合、その有効数字の数（「 の有効数字」と表記）は、xの有効数字の数（「 xの有効数字」と表記）と次の式で 近似的に関係付けられます。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\rm {(significant~figures~of~f(x))}}\approx {\rm {(significant~figures~of~x)}}-\log _{10}\left(\left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert \right)}$、

ここで は条件数です。 ${\displaystyle \left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert }$

複数段階の計算を実行する場合、中間段階の計算結果を四捨五入せず、各中間結果の有効数字を追跡または記録する際に累積的な四捨五入誤差を回避するために、すべての計算が終了するまで、実用的な桁数（各段階の四捨五入ルールで許可されている桁数より少なくとも1桁多い桁数）を維持します。次に、最終計算の入力の中で、たとえば、有効数字が最も少ない桁数（乗算または除算の場合）または左端の最後の有効数字位置（加算または減算の場合）に最終結果を四捨五入します。^[14]

• (2.3494 + 1.345) × 1.2 = 3.69 4 4 × 1.2 = 4.4 3328 ≈ 4.4。
• (2.3494 × 1.345) + 1.2 = 3.15 9 943 + 1.2 = 4.3 59943 ≈ 4.4。

定規を使用する場合、最初に最小の目盛りを最初の推定数字として使用します。たとえば、定規の最小の目盛りが0.1 cmで、4.5 cmと読み取られた場合、最小目盛り間隔は4.5（±0.1 cm）または4.4 cmから4.6 cmになります。ただし、実際には、測定値は通常、定規の最小目盛りの間隔よりも近くまで目視で推定できます。たとえば、上記の場合は4.51 cmから4.53 cmと推定される可能性があります。^[15]

また、定規の全長が最小の目盛りの程度まで正確ではない可能性があり、各単位内の目盛りの間隔が不完全である可能性があります。しかし、通常の良質の定規を想定すると、最も近い2つの目盛りの間の10分の1を推定して、小数点以下の桁数をさらに正確にすることは可能です。^[16]これを行わないと、定規の読み取り誤差が定規の目盛りの誤差に追加されます。

ある集団のランダムなサンプルから、その集団内で何らかの特定の特徴を持つ個人の割合を推定する場合、有効数字の数は、そのサンプル サイズで許容される最大精度を超えてはなりません。

伝統的に、さまざまな技術分野で、「正確さ」とは、与えられた測定値がその真の値にどれだけ近いかを指します。「精度」とは、その測定値を何度も繰り返した場合の安定性を指します。したがって、「正確に間違っている」可能性があります。科学界で「正確さ」という用語が実際に使用されている方法を反映することを望んで、最近の標準である ISO 5725 があります。この標準では、精度の定義は同じですが、「真度」という用語を与えられた測定値がその真の値にどれだけ近いかと定義し、「正確さ」という用語を真度と精度の組み合わせとして使用しています。(詳細については、正確さと精度に関する記事を参照してください。) いずれの場合も、有効数字の数は、正確さや真度という新しい概念ではなく、 おおよそ精度に対応します。

浮動小数点数のコンピュータ表現では、一般に2 進数で、有効数字に丸められる形式が使用されます (ただし、有効数字がいくつであるかは通常は記録されません) 。正しい有効数字の数は、相対誤差の概念と密接に関連しています(相対誤差は、精度のより正確な測定であるという利点があり、使用される数値システムの基数(ベースとも呼ばれる) とは無関係です)。

専用の有効数字表示モードをサポートする 電子計算機は比較的珍しいです。

関連する機能をサポートする電卓としては、コモドールM55 Mathematician（1976）^[17]とS61 Statistician（1976）^[18]があり、これらは2つの表示モードをサポートしており、DISP+は合計n桁の有効数字nを表示し、 + +はn桁の小数点 を表示します。DISP.n

テキサスインスツルメンツ社の TI-83 Plus（1999年）およびTI-84 Plus（2004年）シリーズのグラフィカル電卓は、入力された数値の有効桁数を計算し、対応する数値の後ろに角括弧で表示するSig-Fig電卓モードをサポートしています。計算結果も有効桁数のみを表示するように調整されます。^[19]

HP 20b / 30bベースのコミュニティ開発電卓WP 34S (2011) およびWP 31S (2014)では、コンパイル時のオプションとして有効数字表示モード+および+ (ゼロパディング付き) が使用できます。^[20] [ ^21] SwissMicros DM42ベースのコミュニティ開発電卓WP 43C (2019) ^[22]  / C43 (2022) / C47 (2023) も有効数字表示モードをサポートしています。 SIGnSIG0n

• Delury, DB (1958). 「近似値による計算」.数学教師. 51 (7): 521–30. doi :10.5951/MT.51.7.0521. JSTOR  27955748.
• Bond, EA (1931). 「近似数値の計算における有効桁数」.数学教師. 24 (4): 208–12. doi :10.5951/MT.24.4.0208. JSTOR  27951340.
• ASTM E29-06b、仕様への適合性を判断するためにテストデータの重要な数字を使用するための標準的な方法

• カーンアカデミーによる重要な数字のビデオ
• 小数点演算に関する FAQ — 小数点演算は「有意」演算ですか?
• 不確実性を処理するための高度な方法と、有意性演算と有効数字の欠点に関するいくつかの説明。
• 有効数字計算機 – 希望する有効桁数の数値を表示します。
• 測定と不確実性対有効桁数または重要な数値 – 不確実性を表現するための適切な方法、および有効桁数の概念に関する問題の詳細な説明。