ガボール変換

ガボール変換は、デニス・ガボールにちなんで名付けられた、短時間フーリエ変換の特殊なケースです。これは、信号の局所的な部分が時間の経過とともに変化する際の正弦 波周波数と位相内容を決定するために使用されます。変換される関数は、まず、窓関数とみなすことができるガウス関数で乗算され、その結果得られた関数は、時間周波数分析を導出するためにフーリエ変換で変換されます。^[1]窓関数は、分析される時間に近い信号がより高い重みを持つことを意味します。信号x ( t )のガボール変換は、次の式で定義されます。

${\displaystyle G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e ^{-j\オメガ t}\,dt}$

ガウス関数の範囲は無限であり、実装するのは非現実的です。ただし、ガウス関数の分布に対して有意水準 (たとえば 0.00001) を選択することはできます。

${\displaystyle {\begin{cases}e^{-{\pi }a^{2}}\geq 0.00001;&\left|a\right|\leq 1.9143\\e^{-{\pi }a^{2}}} <0.00001;&\left|a\right|>1.9143\end{cases}}}$

これらの積分限界（）の外では、ガウス関数は無視できるほど小さい。したがって、ガボール変換は次のように十分に近似できる。 ${\displaystyle \left|a\right|>1.9143}$

${\displaystyle G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-1.9143+\tau }^{1.9143+\tau }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{ 2}}e^{-j\オメガt}\,dt}$

この単純化により、ガボール変換は実用的かつ実現可能になります。

ウィンドウ関数の幅を変更して、選択した に対してを に 置き換えることで、特定のアプリケーションの時間と周波数の解像度のトレードオフを最適化することもできます。 ${\displaystyle {-{\pi }(t-\tau )^{2}}}$${\displaystyle {-{\pi }\alpha (t-\tau )^{2}}}$${\displaystyle \alpha}$

ガボール変換は可逆です。過剰完備であるため、元の信号はさまざまな方法で復元できます。たとえば、「ウィンドウ解除」アプローチは、任意の場合に使用できます。 ${\displaystyle \tau _{0}\in (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle x(t)=e^{\pi (t-\tau _{0})^{2}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{ \infty }G_{x}(\tau _{0},\omega )e^{j\omega t}\,d\omega }$

あるいは、すべての時間コンポーネントを組み合わせることもできます。

${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x} (\タウ ,\オメガ )e^{j\オメガ t}\,d\オメガ \,d\タウ }$

ガボール変換には、フーリエ変換と同様の特性が多数あります。これらの特性は次の表に示されています。

ガボール変換の主な用途は時間周波数解析です。次の関数を例に挙げます。入力信号はt≤0のときは1Hzの周波数成分を持ち、t  >0  のときは2Hzの周波数成分を持ちます。

${\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&{\text{for }}t\leq 0,\\\cos(4\pi t)&{\text{for }}t>0.\end{cases}}}$

しかし、使用可能な総帯域幅が 5 Hz の場合、x ( t ) 以外の周波数帯域は無駄になります。ガボール変換を適用して時間周波数解析を行うと、使用可能な帯域幅がわかり、それらの周波数帯域を他のアプリケーションに使用して帯域幅を節約できます。右側の図は、入力信号x ( t ) とガボール変換の出力を示しています。予想どおり、周波数分布は 2 つの部分に分けることができます。1 つはt  ≤ 0 で、もう 1 つはt > 0 です。白い部分はx ( t ) が占める周波数帯域で、黒い部分は使用されません。各時点で、負の周波数成分(上部の白い部分) と正の周波数成分 (下部の白い部分) の両方があることに注意してください。

ガボール表現の離散バージョン

${\displaystyle y(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{nm}\cdot g_{nm}(t)}$

と${\displaystyle g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}}$

これらの式のガボール基底関数を離散化することで、簡単に導くことができます。これにより、連続パラメータtが離散時間kに置き換えられます。さらに、ガボール表現における有限の合計限界を考慮する必要があります。このようにして、サンプリングされた信号y ( k ) は、長さNのM 個の時間フレームに分割されます。によると、臨界サンプリングの係数 Ω は です。 ${\displaystyle \Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}}$${\displaystyle \Omega ={\tfrac {2\pi }{N}}}$

DFT (離散フーリエ変換) と同様に、周波数領域はN 個の離散パーティションに分割されます。これらのN 個のスペクトル パーティションの逆変換により、時間ウィンドウのN個の値y ( k ) が得られ、これはN 個のサンプル値で構成されます。N個のサンプル値を持つM 個の時間ウィンドウ全体では、各信号y ( k )にはK = N M 個のサンプル値が含まれます (離散ガボール表現)。 ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle y(k)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}C_{nm}\cdot g_{nm}(k)}$

と${\displaystyle g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}}$

上記の式によれば、N M個の係数は信号の サンプル値の数Kに対応します。${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle C_{nm}}$

オーバーサンプリングの場合、N ′ > Nで設定され、離散ガボール表現の 2 番目の合計でN ′ > N の合計係数になります。この場合、取得されるガボール係数の数はM N ′ > Kになります。したがって、サンプル値よりも多くの係数が使用可能になり、冗長表現が実現されます。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega \leq {\tfrac {2\pi }{N}}={\tfrac {2\pi }{N^{\prime }}}}$${\displaystyle \cdot }$

短時間フーリエ変換と同様に、異なるウィンドウ関数の幅を選択することで、時間領域と周波数領域の解像度を調整できます。ガボール変換の場合は、分散を追加することで、次の式のように調整できます。 ${\displaystyle \sigma }$

スケーリングされた（正規化された）ガウスウィンドウは次のように表されます。

${\displaystyle W_{\text{gaussian}}(t)=e^{-\sigma \pi t^{2}}}$

したがって、スケール ガボール変換は次のように記述できます。

${\displaystyle G_{x}(t,f)={\sqrt[{4}]{\sigma }}\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\sigma \pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )d\tau \qquad }$

が大きい場合、ウィンドウ関数は狭くなり、時間領域の解像度は高くなりますが、周波数領域の解像度は低くなります。同様に、 が小さい場合、ウィンドウは広くなり、周波数領域の解像度は高くなりますが、時間領域の解像度は低くなります。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

時間信号を処理する場合、未来のデータにアクセスできないため、ガボール関数を使用してリアルタイム信号を処理しようとすると問題が発生します。ガボール フィルターの時間因果類似物は、^[2]で開発されており、ガボール関数のガウス カーネルを時間因果限界カーネルと呼ばれる時間因果および時間再帰カーネルに置き換えています。このように、時間因果限界カーネルの結果として得られる複素数値拡張に基づく時間周波数解析により、ガボール関数と本質的に同様の時間信号の変換をキャプチャできます。これはハイゼンベルク グループに対応しており、詳細については ^{[2] を参照してください。}

• ガボールフィルタ
• ガボールウェーブレット
• ガボール原子
• 時間周波数表現
• S変換
• 短時間フーリエ変換
• ウィグナー分布関数

• D. ガボール、「コミュニケーション理論、第 1 部」、J. Inst. of Elect. Eng. Part III、ラジオとコミュニケーション、第 93 巻、p. 429 1946 (http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf)
• Jian-Jiun Ding、「時間周波数解析とウェーブレット変換の授業ノート」、国立台湾大学電気工学部、台北、台湾、2007 年。