バイスペクトラム

数学の統計分析の分野では、バイスペクトルは非線形相互作用を探すために使用される統計です。

2次キュムラント、すなわち自己相関関数のフーリエ変換は、従来のパワースペクトルです。

C ₃ ( t ₁ ,  t ₂ ) (3次キュムラント生成関数)のフーリエ変換は、バイスペクトルまたはバイスペクトル密度と呼ばれます。

畳み込み定理を適用すると、バイスペクトル を高速に計算できます。ここで、 は信号のフーリエ変換、 はその共役を表します。 ${\displaystyle B(f_{1},f_{2})=F(f_{1})\cdot F(f_{2})\cdot F^{*}(f_{1}+f_{2})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{*}}$

バイスペクトルとバイコヒーレンスは、1次元で伝播する波の連続スペクトルの非線形相互作用の場合に適用できる。^[1]

脳波信号のモニタリングのためにバイスペクトル測定が行われてきました。^[2]また、バイスペクトルは楽器の種類間の違いを特徴づけることも示されました。^[3]

地震学では、信号が時間平均から適切なバイスペクトル推定を行うのに十分な持続時間を持つことはほとんどありません。^[要出典]

バイスペクトル分析は、 2 つの波長で行われた観測を表します。科学者は、さまざまなカラーフィルターを通して反射および受信された光の量を分析することで、惑星の大気の元素構成を分析するためにこの分析をよく使用します。2 つのフィルターを組み合わせたり削除したりすることで、2 つのフィルターから多くの情報を得ることができます。現代のコンピューターによる補間により、3 つ目の仮想フィルターを作成して、真のカラー写真を再現できます。この写真は、科学的分析には特に役立ちませんが、教科書や募金キャンペーンで公開するのに人気があります。^{[引用が必要]}

バイスペクトル解析は、地球上の波のパターンと潮汐の相互作用を解析するためにも使用できます。^[4]

バイスペクトル分析の一種であるバイスペクトル指数をEEG波形に適用して麻酔深度を監視する。^[5]

^{バイフェーズ（多スペクトルの位相）は、位相結合の検出、 [6]}多調和信号（特に音声^[7] ）のノイズ低減に使用できます。

バイスペクトルは相互作用のエネルギー収支を反映しており、非線形相互作用に関与する波のエネルギー供給側とエネルギー受信側の間で定義される共分散として解釈できます。^[8]一方、バイコヒーレンスは対応する相関係数であることが証明されています。^[8]相関が因果関係の存在を十分に証明できないのと同様に、スペクトルとバイコヒーレンスも非線形相互作用の存在を十分に実証することはできません。

バイスペクトルは、高次スペクトル、またはポリスペクトルのカテゴリに分類され、パワースペクトルに補足情報を提供します。3 次ポリスペクトル (バイスペクトル) は計算が最も簡単なため、最も人気があります。

同様に定義される統計は、バイスペクトルコヒーレンスまたはバイコヒーレンスです。

C4 (t1, t2, t3) (4次キュムラント生成関数) のフーリエ変換は、三スペクトルまたは三スペクトル密度と呼ばれます。

トリスペクトル T(f1,f2,f3) は、高次スペクトルまたはポリスペクトルのカテゴリに分類され、パワースペクトルに補足情報を提供します。トリスペクトルは 3 次元構造です。トリスペクトルの対称性により、次の頂点内に含まれる、大幅に縮小されたサポート セットを定義できます。ここで、1 はナイキスト周波数です。(0,0,0) (1/2,1/2,-1/2) (1/3,1/3,0) (1/2,0,0) (1/4,1/4,1/4)。ポイント (1/6,1/6,1/6) (1/4,1/4,0) (1/2,0,0) を含む平面は、このボリュームを内側領域と外側領域に分割します。定常信号は、外側領域で (統計的に) 強度が 0 になります。トリスペクトル サポートは、上で特定した平面と (f1,f2) 平面によって領域に分割されます。各地域では、ゼロ以外の値に必要な信号の帯域幅に関して異なる要件があります。

バイスペクトルが信号の歪度への寄与を周波数の 3 倍の関数として識別するのと同じように、トライスペクトルは信号の尖度への寄与を周波数の 4 倍の関数として識別します。

トリスペクトルは、地震データのデコンボリューションで層構造を見つけるために使用される最大尖度位相推定の適用範囲を調査するために使用されてきました。

• Mendel JM (1991). 「信号処理とシステム理論における高次統計量（スペクトル）のチュートリアル：理論的結果といくつかの応用」Proc. IEEE . 79 (3): 278–305. doi :10.1109/5.75086.
• HOSA - 高次スペクトル解析ツールボックス:スペクトル解析、ポリスペクトル解析、および時間周波数分布用のMATLABツールボックス。ドキュメントではポリスペクトルについて詳細に説明しています。