因数分解

数学において、因数分解（またはfactorisation、英語の綴りの違いを参照）あるいは因数分解とは、数値やその他の数学的対象を、通常は同種のより小さいまたはより単純な複数の因数の積として表すことです。たとえば、3 × 5は15の整数因数分解であり、( x – 2)( x + 2) はx ² – 4の多項式因数分解です。

実数や複素数など、除算を伴う数体系では、がゼロでない場合は がと簡単に書けるため、因数分解は通常意味があるとは考えられません。ただし、有理数または有理関数を最小の項で書き、分子と分母を別々に因数分解することで、意味のある因数分解を得ることができます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle (xy)\times (1/y)}$${\displaystyle y}$

因数分解は、古代ギリシャの数学者によって整数の場合に初めて考えられました。彼らは算術の基本定理を証明しました。この定理は、すべての正の整数は素数の積に因数分解でき、その素数は 1 より大きい整数にさらに因数分解することはできないと主張しています。さらに、この因数分解は因数の順序まで一意です。整数の因数分解は乗算の逆のようなものですが、アルゴリズム的にははるかに困難であり、この事実はRSA 暗号システムで公開鍵暗号化を実装するために利用されています。

多項式の因数分解も何世紀にもわたって研究されてきました。初等代数学では、多項式を因数分解すると、その根を求める問題が因数の根を求める問題に簡約されます。整数または体内の係数を持つ多項式は、一意の因数分解特性 を持ちます。これは、素数を既約多項式に置き換えた算術の基本定理のバージョンです。特に、複素係数を持つ一変数多項式は、一意に（順序付けまで）線形多項式に因数分解できます。これは、代数の基本定理のバージョンです。この場合、因数分解は根を求めるアルゴリズムで実行できます。整数係数の多項式の場合は、コンピュータ代数学にとって基本です。有理数係数の多項式の環内で（完全な）因数分解を計算するための効率的なコンピュータアルゴリズムがあります（多項式の因数分解を参照）。

一意の因数分解特性を持つ可換環は一意の因数分解域と呼ばれます。一意の因数分解域ではない数体系、たとえば代数的整数の特定の環も存在します。 しかし、代数的整数の環は、デデキント域の弱い特性、つまりイデアルは一意に素イデアルに因数分解されるという特性を満たします。

因数分解は、数学的対象をより小さく単純な対象の積に分解する、より一般的な方法を指すこともあります。たとえば、すべての関数は、射影関数と単射関数の合成に因数分解できます。行列には、さまざまな種類の行列因数分解があります。たとえば、すべての行列には、すべての対角要素が 1 である下三角行列 L 、上三角行列 U、および順列行列 Pの積として一意の LUP 因数分解があります。これは、ガウス消去法の行列定式化です。

算術の基本定理によれば、1 より大きいすべての整数は、（因数の順序まで）一意に素数に因数分解できます。素数とは、1 より大きい整数の積にさらに因数分解することができない整数です。

整数nの因数分解を計算するには、nの約数q を見つけるか、nが素数であることを決定するアルゴリズムが必要です。そのような約数が見つかったら、このアルゴリズムを因数qとn / qに繰り返し適用すると、最終的にnの完全な因数分解が得られます。^[1]

nの約数q を見つけるには、1 < qかつq ² ≤ nとなるqのすべての値をテストすれば十分です。実際、r がnの約数でr ² > nとなる場合、q = n / r はnの約数でq ² ≤ nとなります。

qの値を昇順にテストすると、最初に見つかる約数は必ず素数になり、余因子 r = n / q はqより小さい約数を持つことはできません。完全な因数分解を得るには、 q以上で√ rより大きくないrの約数を検索してアルゴリズムを続行するだけで十分です。

この方法を適用するためにqのすべての値をテストする必要はありません。原則として、素因数のみをテストすれば十分です。これには、たとえばエラトステネスのふるいで生成される素数表が必要です。因数分解法は本質的にエラトステネスのふるいと同じ作業を行うため、素数かどうかがすぐにはわからない数のみを約数としてテストする方が一般的に効率的です。通常は、2、3、5、および最後の桁が 1、3、7、9 で桁の合計が 3 の倍数ではない 5 より大きい数をテストすることで進めることができます。

この方法は小さな整数を因数分解するには有効だが、大きな整数には非効率的である。例えば、ピエール・ド・フェルマーは6番目のフェルマー数を発見できなかった。

${\displaystyle 1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297}$

は素数ではありません。実際、上記の方法を適用するには、10 桁の小数点以下の数値を 10,000分割 します。

より効率的な因数分解アルゴリズムもあります。しかし、現在の技術水準では、より強力なコンピュータを使用しても、ランダムに選択された 2 つの素数の積である 500 桁の 10 進数を因数分解することはできないため、比較的非効率的です。これにより、安全なインターネット通信に広く使用されているRSA 暗号システムのセキュリティが確保されます。

n = 1386を素因数分解する場合:

• 2 による割り算から始めます。この数は偶数で、n = 2 · 693です。693 と、最初の除数の候補として 2 を続けて計算します。
• 693 は奇数 (2 は約数ではない) ですが、3 の倍数です。つまり、693 = 3 · 231かつn = 2 · 3 · 231です。231 と 3 を最初の約数の候補として続けます。
• 231 も 3 の倍数です。231 = 3 · 77なので、n = 2 · 3 ² · 77です。77 と 3 を最初の約数の候補として続けます。
• 77 は 3 の倍数ではありません。各桁の合計が 14 であり、3 の倍数ではないからです。また、最後の桁が 7 であるため、5 の倍数でもありません。次にテストする奇数の約数は 7 です。77 = 7 · 11なので、n = 2 · 3 ² · 7 · 11です。これは、7 が素数であることを示しています (直接テストするのは簡単です)。11 を続け、7 を最初の約数の候補として考えます。
• 7 ² > 11なので、1は終わりです。したがって、11は素数であり、素因数分解は

1386 = 2 · 3 ² · 7 · 11 .

式の操作は代数の基礎です。因数分解は、いくつかの理由から、式の操作における最も重要な方法の 1 つです。方程式を因数分解した形式E ⋅ F = 0にできる場合、方程式を解く問題は、独立した (通常はより簡単な) 2 つの問題E = 0とF = 0に分割されます。式を因数分解できる場合、因数ははるかに単純になることが多く、問題に関する洞察が得られることがあります。たとえば、

${\displaystyle x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc}$

16回の掛け算、4回の引き算、3回の加算があり、より単純な式にまとめられる。

${\displaystyle (xa)(xb)(xc),}$

たった 2 回の乗算と 3 回の減算で、因数分解された形式では多項式の根として 根 x = a、b、cが直ちに得られます。

一方、因数分解は常に可能であるとは限らず、可能であっても因数が必ずしも単純になるわけではありません。たとえば、 は2 つの既約因数とに因数分解できます。 ${\displaystyle x^{10}-1}$ ${\displaystyle x-1}$${\displaystyle x^{9}+x^{8}+\cdots +x^{2}+x+1}$

因数分解を見つけるためのさまざまな方法が開発されており、そのいくつかを以下に説明します。

代数方程式を解くことは、多項式因数分解の問題とみなすことができます。実際、代数の基本定理は次のように述べることができます。複素係数を持つn次のx の多項式はすべて、 i = 1, ..., nに対してn個の線形因数に因数分解できます。ここで、a _iは多項式の根です。^[2]これらの場合、因数分解の構造はわかっていますが、 アベル-ルフィニの定理により、 a _iは一般に根号 ( n^乗根)で計算できません。ほとんどの場合、できる最善のことは、根を求めるアルゴリズムを使用して根の近似値を計算することです。 ${\displaystyle x-a_{i},}$

式 (より具体的には方程式)を簡略化するための代数的操作の体系的な使用は、9 世紀にまで遡ると考えられており、アル・フワーリズミーの著書『補完と平衡による計算に関する簡潔な書』には、そのような 2 種類の操作がタイトルとして付けられています。

しかし、二次方程式を解く場合ですら、因数分解法はハリオットの死後10年となる1631年に出版された著作以前には使われていなかった。^[3]ハリオットは著書『Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas』の中で、単項式、二項式、三項式の加算、減算、乗算、除算の表を作成した。そして、第2節で、方程式aa − ba + ca = + bcを設定し、これが以前に提示した乗算の形式と一致し、因数分解( a − b )( a + c )となることを示した 。^[4]

以下の方法は、和である式、または和に変換できる式に適用されます。したがって、これらの方法は多項式に最もよく適用されますが、和の項が単項式でない場合、つまり和の項が変数と定数の積である場合にも適用できます。

和のすべての項が積であり、いくつかの因数がすべての項に共通である場合があります。この場合、分配法則により、この共通因数を因数分解できます。このような共通因数が複数ある場合は、最大の共通因数を因数分解することが望ましいです。また、整数係数がある場合は、これらの係数の最大公約数を因数分解できます。

例えば、^[5] 2は6、8、10の最大公約数であり、すべての項を割り切れます。 $${\displaystyle 6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=2x^{3}y^{2}(3+4xy-5x^{2}y),}$$${\displaystyle x^{3}y^{2}}$

項をグループ化すると、因数分解を取得するために他の方法を使用できる場合があります。

例えば、因数分解するには 、最初の2つの項には共通因数xがあり、最後の2つの項には共通因数y があることに気づくかもしれません。したがって 、簡単な検査で共通因数x + 5 がわかり、因数分解につながります。 $${\displaystyle 4x^{2}+20x+3xy+15y,}$$$${\displaystyle 4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x^{2}+20x)+(3xy+15y)=4x(x+5)+3y(x+5).}$$$${\displaystyle 4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x+3y)(x+5).}$$

一般に、これは 2 つの二項式の積として得られた 4 つの項の合計に対して機能します。頻繁ではありませんが、より複雑な例でも機能する場合があります。

場合によっては、用語のグループ化によって、認識可能なパターンの一部が明らかになることがあります。その場合、用語を追加したり削除したりしてパターンを完成させると便利です。

この典型的な使用法は、二次方程式の公式を得るための平方完成法です。

もう 1 つの例は、 の因数分解です。 –1 の非実数平方根(一般にiと表記) を導入すると、平方の差はになります。 ただし、実数係数による因数分解が必要な場合もあります。3 つの項を加算および減算してグループ化すると、二項式の平方がわかります。 減算および加算によっても因数分解が得られます。 これらの因数分解は、複素数だけでなく、–1、2、または –2 のいずれかが平方である任意の体 に対しても機能します。有限体 では、2つの非平方数の積は平方数です。これは、整数 に対して既約な多項式は、すべての素数を法として既約であることを意味します。たとえば、 であるため、であるため、${\displaystyle x^{4}+1.}$ $${\displaystyle x^{4}+1=(x^{2}+i)(x^{2}-i).}$$${\displaystyle 2x^{2},}$$${\displaystyle x^{4}+1=(x^{4}+2x^{2}+1)-2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {2}}+1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {2}}+1\right).}$$${\displaystyle 2x^{2}}$$${\displaystyle x^{4}+1=(x^{4}-2x^{2}+1)+2x^{2}=(x^{2}-1)^{2}+\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {-2}}-1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {-2}}-1\right).}$$ ${\displaystyle x^{4}+1,}$$${\displaystyle x^{4}+1\equiv (x+1)^{4}{\pmod {2}};}$$ $${\displaystyle x^{4}+1\equiv (x^{2}+x-1)(x^{2}-x-1){\pmod {3}},}$$${\displaystyle 1^{2}\equiv -2{\pmod {3}};}$ $${\displaystyle x^{4}+1\equiv (x^{2}+2)(x^{2}-2){\pmod {5}},}$$${\displaystyle 2^{2}\equiv -1{\pmod {5}};}$ $${\displaystyle x^{4}+1\equiv (x^{2}+3x+1)(x^{2}-3x+1){\pmod {7}},}$$${\displaystyle 3^{2}\equiv 2{\pmod {7}}.}$

多くの恒等式は、和と積が等しくなるようにします。上記の方法は、ある恒等式の和の側を式に出現させ、その結果、積に置き換えるために使用できます。

以下は、左辺がパターンとしてよく使用される恒等式である（つまり、これらの恒等式に現れる変数EとFは、因数分解する必要がある式の任意の部分式を表すことができる）。^[6]

• 2つの平方の差

${\displaystyle E^{2}-F^{2}=(E+F)(EF)}$

例えば、

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+&2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}\\&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{aligned}}}$

• 2つの立方体の和/差

${\displaystyle E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+F^{2})}$

${\displaystyle E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2})}$

• コーシー恒等式

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)=(a+b)^{3}}$

${\displaystyle a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)=(a-b)^{3}}$

• 2つの4乗の差

${\displaystyle {\begin{aligned}E^{4}-F^{4}&=(E^{2}+F^{2})(E^{2}-F^{2})\\&=(E^{2}+F^{2})(E+F)(E-F)\end{aligned}}}$

• 2つのn乗の和/差

次の恒等式では、因数はさらに因数分解されることがよくあります。

• 差、偶数指数

${\displaystyle E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n})(E^{n}-F^{n})}$

• 差、偶数または奇数指数

${\displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots +EF^{n-2}+F^{n-1})}$

これは、因数が因数分解された合計よりもはるかに大きくなる可能性があることを示す例です。

• 合計、奇数指数

${\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots -EF^{n-2}+F^{n-1})}$

（前式のFを-Fに変更することで得られる）

• 合計、偶数指数

指数が2の累乗である場合、一般に、複素数を導入せずに式を因数分解することはできません（EとFに複素数が含まれている場合は、そうではない可能性があります）。nが奇数の約数を持つ場合、つまりn = pqでpが奇数の場合、前述の式（「合計、奇数指数」）を適用して、${\displaystyle (E^{q})^{p}+(F^{q})^{p}.}$

• 三項式と三次式

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^{2}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz=(x+y+z)^{3}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x+y)(y+z)(x+z)=(x+y+z)^{3}\\\end{aligned}}}$

• アルガンのアイデンティティ

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})}$

${\displaystyle x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)}$

• 二項展開

二項定理は、そこに現れる整数から簡単に認識できるパターンを提供する。

低度の場合：

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}}$

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}}$

${\displaystyle a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}}$

${\displaystyle a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}}$

より一般的には、との展開形の係数は、パスカルの三角形のn番目の行に現れる二項係数です。${\displaystyle (a+b)^{n}}$${\displaystyle (a-b)^{n}}$

1のn乗根は、それぞれが 多項式の根である複素数です。したがって、 ${\displaystyle x^{n}-1.}$$${\displaystyle e^{2ik\pi /n}=\cos {\tfrac {2\pi k}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi k}{n}}}$$${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$

したがって、任意の 2 つの式EとFについては、次のようになります。 $${\displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi /n}\right)}$$ $${\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)i\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is even}}}$$ $${\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is odd}}}$$

EとF が実数式で、実因数が必要な場合は、複素共役因数のすべてのペアをその積で置き換える必要があります。 の複素共役は であり、 次の実因数分解が存在します ( k をn – kまたはn + 1 – kに変更し、通常の三角関数の公式を適用すること で、一方から他方へ移行します)。 ${\displaystyle e^{i\alpha }}$${\displaystyle e^{-i\alpha },}$$${\displaystyle \left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\right)=a^{2}-ab\left(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right)+b^{2}e^{i\alpha }e^{-i\alpha }=a^{2}-2ab\cos \,\alpha +b^{2},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}}$$

これらの因数分解に現れる余弦は代数的数であり、根号で表現できる（これはガロア群が巡回的であるため可能である）。しかし、これらの根号表現は、 nの値が小さい場合を除いて、使用するには複雑すぎる。例えば、 $${\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2}).}$$ $${\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),}$$ $${\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),}$$

多くの場合、有理係数の因数分解が必要になります。このような因数分解には、円分多項式が含まれます。和と差または累乗の有理因数分解を表現するには、多項式の同次化の表記が必要です。その同次化が2変数多項式である場合、次の式が得られます。ここで、 積はnのすべての約数、またはn を割り切れない2 nのすべての約数に対して取られ、はn番目の円分多項式 です。${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}+\cdots +a_{n},}$ ${\displaystyle {\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}.}$$${\displaystyle E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),}$$ $${\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\not \mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),}$$${\displaystyle Q_{n}(x)}$

たとえば、 6 の約数は 1、2、3、6 であり、12 で 6 を割り切れない約数は 4 と 12 です。 $${\displaystyle a^{6}-b^{6}={\overline {Q}}_{1}(a,b){\overline {Q}}_{2}(a,b){\overline {Q}}_{3}(a,b){\overline {Q}}_{6}(a,b)=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}),}$$ $${\displaystyle a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),}$$

多項式の場合、因数分解は代数方程式を解く問題と深く関係している。代数方程式は次の形式をとる。

${\displaystyle P(x)\ \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \,a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,}$

ここでP ( x )はxの多項式であり、 この方程式の解（多項式の根とも呼ばれる）はxの値rであり、 ${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$

${\displaystyle P(r)=0.}$

が2 つの多項式の積としてP ( x ) = 0 を因数分解したものである場合、 P ( x )の根はQ ( x )の根とR ( x )の根の和集合です。したがって、P ( x ) = 0 を解くことは、 Q ( x ) = 0とR ( x ) = 0 を解くというより単純な問題に簡略化されます。 ${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)}$

逆に因数定理は、 rがP ( x ) = 0の根であるならば、P ( x )は次のように因数分解できると 主張している。

${\displaystyle P(x)=(x-r)Q(x),}$

ここでQ ( x )はP ( x )=0を線形（1次）因子x - rでユークリッド除算した商です。

P ( x )の係数が実数または複素数である場合、代数の基本定理はP ( x )が実根または複素根を持つと主張します。因数定理を再帰的に使用すると、次のようになります。

${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$

ここで、 はPの実根または複素根であり、その一部は重複している可能性があります。この完全な因数分解は、因数の順序 まで一意です。${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

P ( x )の係数が実数の場合、一般には、因子が実数係数を持つ因数分解が望まれます。この場合、完全な因数分解には、いくつかの二次 (次数 2) 因子が含まれる可能性があります。この因数分解は、上記の完全な因数分解から簡単に推測できます。実際、r = a + ib がP ( x )の非実数根である場合、その複素共役 s = a - ibもP ( x )の根です。したがって、積

${\displaystyle (x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}}$

は実係数を持つP ( x )の因数です。これをすべての非実因数に対して繰り返すと、線形または二次の実因数を持つ因数分解が得られます。

これらの実数または複素数の因数分解を計算するには、多項式の根が必要ですが、これは正確に計算できない可能性があり、根を求めるアルゴリズムを使用して近似することしかできません。

実際には、関心のある代数方程式のほとんどには整数または有理数の係数があり、同じ種類の因数を持つ因数分解が必要になる場合があります。算術の基本定理は、この場合に一般化することができ、整数または有理数の係数を持つ多項式は一意の因数分解特性を持つと述べます。より正確には、有理数の係数を持つすべての多項式は、積に因数分解できます。

${\displaystyle P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),}$

ここで、q は有理数であり、既約かつ原始的な整数係数を持つ非定数多項式です。つまり、 のいずれも、1 でも -1 でもない 2 つの多項式 (整数係数を持つ) の積として表すことはできません (整数は次数 0 の多項式と見なされます)。さらに、この因数分解は、因数の順序と因数の符号まで一意です。 ${\displaystyle P_{1}(x),\ldots ,P_{k}(x)}$${\displaystyle P_{i}(x)}$

この因数分解を計算するための効率的なアルゴリズムがあり、ほとんどのコンピュータ代数システムに実装されています。多項式の因数分解を参照してください。残念ながら、これらのアルゴリズムは紙と鉛筆による計算に使用するには複雑すぎます。上記の経験則の他に、手計算に適した方法はわずかしかなく、通常は非ゼロ係数が少ない低次多項式にのみ有効です。主な方法については、次のサブセクションで説明します。

有理数係数を持つすべての多項式は、有理数と整数係数を持つ多項式の積として一意に因数分解できます。この多項式は原始的(つまり、係数の最大公約数が 1) であり、正の先頭係数 (最高次項の係数) を持ちます。例:

${\displaystyle -10x^{2}+5x+5=(-5)\cdot (2x^{2}-x-1)}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}x^{5}+{\frac {7}{2}}x^{2}+2x+1={\frac {1}{6}}(2x^{5}+21x^{2}+12x+6)}$

この因数分解では、有理数は内容と呼ばれ、原始多項式は原始部分です。この因数分解の計算は次のように行うことができます。まず、すべての係数を共通分母に減じて、整数係数を持つ多項式の整数qによる商を取得します。次に、この多項式の係数の大公約数pで除算して原始部分を取得します。内容は です。最後に、必要に応じて、 pの符号と原始部分のすべての係数を変更します。 ${\displaystyle p/q.}$

この因数分解により、元の多項式よりも大きな結果が生成される場合があります (通常は互いに素な分母が多数ある場合)。ただし、その場合でも、一般に、原始的な部分はさらに因数分解を行うために操作する方が簡単です。

因数定理は、rが多項式の根である場合、

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},}$

P ( r ) = 0を意味するので、因数分解が可能となる。

${\displaystyle P(x)=(x-r)Q(x),}$

どこ

${\displaystyle Q(x)=b_{0}x^{n-1}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1},}$

とすると、多項式の長除法または合成除法は次のようになります。 ${\displaystyle a_{0}=b_{0}}$

${\displaystyle b_{i}=a_{0}r^{i}+\cdots +a_{i-1}r+a_{i}\ {\text{ for }}\ i=1,\ldots ,n{-}1.}$

これは、多項式の根がわかっている場合や推測できる場合に便利です。

例えば、係数の合計が0であることは容易に分かるので、r = 1は根である。r + 0 = 1なので、${\displaystyle P(x)=x^{3}-3x+2,}$${\displaystyle r^{2}+0r-3=-2,}$

${\displaystyle x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).}$

有理数係数を持つ多項式の場合、有理数である根を探すことができます。原始的な部分内容因数分解 (上記参照) により、有理数根を探す問題は、非自明な共通約数を持たない整数係数を持つ多項式の場合にまで縮小されます。

がそのような多項式の有理根である 場合${\displaystyle x={\tfrac {p}{q}}}$

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},}$

因数定理は因数分解が存在することを示している

${\displaystyle P(x)=(qx-p)Q(x),}$

ここで、両方の因子は整数係数を持ちます（ Qが整数係数を持つという事実は、P ( x )をで割った商に関する上記の式から生じます）。 ${\displaystyle x-p/q}$

上記の等式のn次の係数と定数係数を比較すると、が簡約形の有理根である場合、qはの約数であり、pは の約数であることがわかります。したがって、 pとqには有限の数の可能性があり、体系的に調べることができます。^[7]${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$${\displaystyle a_{0},}$${\displaystyle a_{n}.}$

例えば、多項式

${\displaystyle P(x)=2x^{3}-7x^{2}+10x-6}$

q > 0の有理根を持つ場合、p は6 を割り切れる、つまりqは2 を割り切れる、つまりさらにx < 0の場合、多項式のすべての項は負であるため、根は負にはならない。つまり、 ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$${\displaystyle p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\},}$${\displaystyle q\in \{1,2\}.}$

${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\in \{1,2,3,6,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}}\}.}$

直接計算すると、 のみが根であることが分かるので、他の有理根は存在しない。因数定理を適用すると、最終的に因数分解が導かれる。 ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$${\displaystyle 2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).}$

上記の方法は二次多項式に適用することができ、 ac因数分解法につながる。^[8]

二次多項式を考える

${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$

整数係数を持つ。有理根を持つ場合、その分母はaを均等に割り切れる必要があり、約分可能な分数 として表される。ヴィエタの公式によれば、もう一方の根は ${\displaystyle r_{1}={\tfrac {r}{a}}.}$${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle r_{2}=-{\frac {b}{a}}-r_{1}=-{\frac {b}{a}}-{\frac {r}{a}}=-{\frac {b+r}{a}}={\frac {s}{a}},}$

したがって 、2番目の根も有理数であり、ヴィエタの2番目の公式は ${\displaystyle s=-(b+r).}$${\displaystyle r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle {\frac {s}{a}}{\frac {r}{a}}={\frac {c}{a}},}$

つまり

${\displaystyle rs=ac\quad {\text{and}}\quad r+s=-b.}$

積がacであるすべての整数のペアをチェックすると、有理根があればそれが得られます。

まとめると、 が有理根を持つ場合、となる整数rとsが存在し（テストするケースは有限個）、その根は であり、 である。言い換えれば、因数分解が成り立つ。 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle rs=ac}$${\displaystyle r+s=-b}$${\displaystyle {\tfrac {r}{a}}}$${\displaystyle {\tfrac {s}{a}}.}$

${\displaystyle a(ax^{2}+bx+c)=(ax-r)(ax-s).}$

例えば、二次多項式を考えてみましょう

${\displaystyle 6x^{2}+13x+6.}$

ac = 36の因数を調べると、4 + 9 = 13 = bとなり、2つの根が得られる。

${\displaystyle r_{1}=-{\frac {4}{6}}=-{\frac {2}{3}}\quad {\text{and}}\quad r_{2}=-{\frac {9}{6}}=-{\frac {3}{2}},}$

そして因数分解

${\displaystyle 6x^{2}+13x+6=6(x+{\tfrac {2}{3}})(x+{\tfrac {3}{2}})=(3x+2)(2x+3).}$

任意の一変数二次多項式は 、二次方程式の公式を使用して因数分解できます。 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),}$

ここで、 と は多項式の 2 つの根です。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

a、b、cがすべて実数の場合、判別式 が非負のときに限り、因子は実数になります。それ以外の場合、2 次多項式は非定数の実数因子に因数分解できません。 ${\displaystyle b^{2}-4ac}$

二次方程式の公式は、係数が2とは異なる特性を持つ任意の体に属する場合に有効であり、特に奇数の要素を持つ有限体の係数に対して有効である。 ^[9]

3 次および4 次多項式の根の公式もありますが、一般的には実用するには複雑すぎます。アーベル・ルフィニの定理は、 5 次以上の多項式には根号に関する一般的な根の公式が存在しないことを示しています。

多項式の根とその係数の間に何らかの関係があることがわかっている場合があります。この知識を使用すると、多項式を因数分解して根を見つけるのに役立ちます。ガロア理論は、根と係数の関係の体系的な研究に基づいており、これにはVieta の公式が含まれます。

ここでは、多項式の2つの根 とが次の関係を満たす、 より単純なケースを考える。${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle x_{2}=Q(x_{1}),}$

ここで、Q は多項式です。

これは、 が および の共通根であることを意味します。したがって、 はこれら 2 つの多項式の最大公約数の根です。したがって、この最大公約数は の非定数因数であることがわかります。多項式のユークリッド互除法を使用すると、この最大公約数を計算できます。 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle P(Q(x))}$${\displaystyle P(x).}$${\displaystyle P(x).}$

例えば、^{[10] に}は2つの根があり、その合計が0であるとわかっている場合 、ユークリッドの互除法を に適用して、最初の除算ステップで を加算して余りを求めることができます。 ${\displaystyle P(x)=x^{3}-5x^{2}-16x+80}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle P(-x).}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle P(-x),}$

${\displaystyle -10(x^{2}-16).}$

次に、割ると新しい余りは0、商は x -5となり、完全な因数分解が行われます。${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x^{2}-16}$

${\displaystyle x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).}$

体上の整数と多項式は、一意因数分解という性質を共有しています。つまり、すべての非ゼロ元は、可逆元 (単位、整数の場合は ±1) の積と既約元(整数の場合は素数 ) の積に因数分解でき、この因数分解は、因数を並べ替えたり、因数間で単位をシフトしたりしない限り一意です。この性質を共有する積分領域は、一意因数分解領域(UFD)と呼ばれます。

UFD には最大公約数が存在しますが、最大公約数が存在するすべての整域 ( GCD 領域と呼ばれる) が UFD であるとは限りません。すべての主イデアル領域はUFD です。

ユークリッド領域は、整数の分割に類似したユークリッド分割が定義される整域です。すべてのユークリッド領域は主イデアル領域であり、したがって UFD です。

ユークリッド領域では、ユークリッド除算によって最大公約数を計算するためのユークリッドアルゴリズムを定義できます。ただし、これは因数分解アルゴリズムの存在を意味するものではありません。 F上の単変数多項式のユークリッド領域F [ x ]には因数分解アルゴリズムが存在できない体 Fの明示的な例があります。

代数的整数論では、ディオファントス方程式の研究により、19世紀の数学者は代数的整数と呼ばれる整数の一般化を導入しました。最初に検討された代数的整数の環はガウス整数とアイゼンシュタイン整数であり、これらは通常の整数と同様に主イデアル領域であるという性質を共有し、したがって一意の因数分解特性を持っています。

残念ながら、ほとんどの代数的整数環は主環ではなく、一意に因数分解できないことがすぐに判明した。最も単純な例は次の通りで ある。${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}],}$

${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),}$

そして、これらすべての要因は削減不可能です。

この一意の因数分解の欠如は、ディオファントス方程式を解く上で大きな困難です。たとえば、フェルマーの最終定理の多くの誤った証明(おそらくフェルマーの 「この証明は実に素晴らしいが、この余白には収まりきらない」という証明も含まれる) は、一意の因数分解という暗黙の仮定に基づいていました。

この困難はデデキントによって解決されました。彼は代数的整数の環がイデアルの一意の因数分解を持つことを証明しました。これらの環では、すべてのイデアルは素イデアルの積であり、この因数分解は因数の順序まで一意です。この一意の因数分解特性を持つ整域は現在デデキント域と呼ばれています。これらには代数的整数論の基本となる多くの優れた特性があります。

行列環は非可換であり、一意の因数分解はありません。一般に、行列を行列の積として表す方法は多数あります。したがって、因数分解の問題は、指定されたタイプの因数を見つけることです。たとえば、LU 分解では、下三角行列と上三角行列の積として行列が生成されます。これは常に可能であるとは限らないため、一般に、置換行列を3 番目の因数と する「LUP 分解」が検討されます。

最も一般的なタイプの行列分解については、 「行列分解」を参照してください。

論理行列は二項関係を表し、行列の乗算は関係の合成に対応します。因数分解による関係の分解は、二機能関係などの関係の性質をプロファイルするのに役立ちます。

• 整数に対するオイラー因数分解法
• フェルマーの整数因数分解法
• モノイド因数分解
• 乗法分割
• ガウス整数分解の表

• バーンサイド、ウィリアム・スノー、パントン、アーサー・ウィリアム（1960）[1912]、方程式の理論と二進代数形式の理論の入門（第1巻）、ドーバー
• ディクソン、レナード・ユージン（1922年）『方程式論入門』ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ
• ファイト、ウィリアム・ベンジャミン（1921年）、『大学代数（改訂版）』、ボストン：DC Heath＆Co.
• クライン、フェリックス（1925）、高度な観点からの初等数学、算術、代数、解析、ドーバー
• セルビー、サミュエル M. (1970)、「CRC 標準数学表(第 18 版)」、The Chemical Rubber Co.

• Wolfram Alpha は因数分解もできます。