オイラー定数

• ガンマ関数とバーンズG関数のワイエルシュトラス積公式。^{[ 9 ] [ 10 ]}
• ガンマ関数の漸近展開、${\displaystyle \Gamma (1/x)\sim x-\gamma }$。
• 有理値におけるディガンマ関数の評価。 ^{[ 11 ]}
• リーマンゼータ関数のローラン級数展開*。ここで、それはスティルチェス定数の最初のものです。^{[ 12 ]}
• リーマンゼータ関数とディリクレベータ関数の導関数の値。^{[ 13 ]： 137 [ 14 ]}
• ラプラス変換とメリン変換に関連して。^{[ 15 ] [ 16 ]}
• 調和級数を有限値として正規化／再正規化する。
• 指数積分と対数積分を含む式。* ^{[ 17 ] [ 18 ]}
• コサイン積分の定義。* ^{[ 17 ]}
• ベッセル関数に関して。^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}
• 修正ストルーベ関数の漸近展開。^{[ 23 ]}
• 他の特殊機能に関連して。^{[ 24 ] [ 25 ]}

• オイラーのトーシェント関数の不等式。^{[ 26 ]}
• 除数関数の成長率。^{[ 27 ]}
• リーマン予想の定式化。^{[ 28 ] [ 29 ]}
• メルテンスの定理の3番目。* ^{[ 30 ]}
• マイセル・メルテンス定数の計算。^{[ 31 ]}
• 特定の素数ギャップの下限。^{[ 32 ]}
• 1から与えられたnまでのすべての数の約数の平均数の近似値。^{[ 33 ]}
• メルセンヌ素数の頻度に関するレンストラ・ポメランス・ワグスタッフ予想。^{[ 34 ]}
• ユークリッドアルゴリズムの効率の推定。^{[ 35 ]}
• メビウス関数とフォン・マンゴルト関数を含む合計。
• ディリクレ双曲線法の除数総和関数の推定。^{[ 36 ]}

• ジップの法則のいくつかの定式化では、
• クーポン収集家の問題に対する答え。
• ガンベル分布の平均。
• ランダウ分布の近似。
• ワイブル分布とレヴィ分布の情報エントロピー、そして暗黙のうちに、自由度1または2のカイ二乗分布の情報エントロピー。
• 量子情報理論におけるシャノンエントロピーの上限。^{[ 37 ]}
• 量子場理論におけるファインマン図の次元正則化において。
• 超伝導のBCS理論における臨界温度に関するBCS方程式において。*
• 進化生物学における適応の遺伝学に関するフィッシャー・オアモデル。 ^{[ 38 ]}

数γは代数的または超越的であるとは証明されていません。実際、γが無理数であるかどうかもわかっていません。以下の多数の方程式によって明らかになったγの遍在性と、 γ がπとeに次ぐ 3 番目に重要な数学定数と呼ばれているという事実^{[ 39 ] [ 13 ]}から、 γの無理性は数学における大きな未解決問題となっています。^{[ 2 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 33 ]}

しかし、いくつかの進展があった。1959年、アンドレイ・シドロフスキーは、オイラー定数γとゴンペルツ定数δの少なくとも一方が無理数であることを証明した。 ^{[ 42 ] [ 28 ]}タンギー・リヴォアルは2012年に、少なくとも一方が超越数であることを証明した。^{[ 43 ]}クルト・マーラーは1968年に、その数が${\textstyle {\frac {\pi }{2}}{\frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$超越論的である${\displaystyle J_{0}}$そして${\displaystyle Y_{0}}$通常のベッセル関数である。^{[ 44 ] [ 3 ]}場の超越度は${\displaystyle \mathbb {Q} (e,\gamma ,\delta )}$少なくとも２つである。^{[ 3 ]}

2010年にM. Ram MurtyとN. Saradhaは、オイラー・レーマー定数のうち、次の形式の数のうち、最大で1つだけであることを示した。 $${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{a+kq}}-{\frac {\log {(a+nq})}{q}}\right)}$$q ≥ 2かつ1 ≤ a < q の場合、代数的である。この族には、特殊な場合γ (2,4) = γ /4が含まれる。^{[ 3 ] [ 45 ]}

同じアプローチを用いて、2013年にM. Ram MurtyとA. Zaytsevaは、一般化オイラー定数が同じ性質を持つことを示した ^{[ 3 ] [ 46 ] [ 47 ]。}ここで、一般化オイラー定数は次のように定義される。 $${\displaystyle \gamma (\Omega )=\lim _{x\rightarrow \infty }\left(\sum _{n=1}^{x}{\frac {1_{\Omega }(n)}{n}}-\log x\cdot \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n=1}^{x}1_{\Omega }(n)}{x}}\right),}$$ どこで${\displaystyle \Omega }$は素数の固定リストです。${\displaystyle 1_{\Omega }(n)=0}$少なくとも 1 つの素数が⁠${\displaystyle \Omega }$はの素因数です${\displaystyle n}$⁠、そして${\displaystyle 1_{\Omega }(n)=1}$それ以外の場合。特に、${\displaystyle \gamma (\emptyset )=\gamma }$⁠ .

パパニコラウは、1997年に連分数解析を用いて、 γが有理数であれば、その分母は10 ²⁴⁴⁶⁶³より大きい必要があることを示した。^{[ 48 ] [ 49 ]} eγ^が有理数であれば、その分母は10 ¹⁵⁰⁰⁰より大きい必要がある。^{[ 3 ]}

オイラー定数は代数周期ではないと推測されているが、^{[ 3 ]最初の10⁹}桁の値は、それが通常の数である可能性を示唆しているようだ。^{[ 50 ]}

オイラー定数の単純な連分数展開は次のように表される。^{[ 51 ]}

${\displaystyle \gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

明らかなパターンはありません。少なくとも 16,695,000,000 項があることが知られており、^{[ 51 ]} γが無理数である場合に 限り無限に多くの項があります。

数値的な証拠は、オイラー定数γと定数e ^γの両方が、それらの単純な連分数項の幾何平均がヒンチン定数に収束する数に含まれることを示唆している。同様に、${\displaystyle p_{n}/q_{n}}$はそれぞれの連分数の収束であり、極限は${\displaystyle \lim _{n\to \infty }q_{n}^{1/n}}$どちらの場合もレヴィ定数に収束するように見える。 ^{[ 52 ]}しかし、これらの極限はどちらも証明されていない。^{[ 53 ]}

オイラー定数には一般化された連分数も存在する。 ^{[ 54 ]}

γの良い単純な近似値は3 の平方根の逆数、つまり約 0.57735で与えられる: ^{[ 55 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

その差は約7,429分の1である。

γは、ディガンマ関数Ψ （波動関数と混同しないように）と関連しており、したがって、両方の関数を1で評価したときのガンマ関数Γの導関数である。したがって、次のようになる。

$${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\psi (1).}$$

これは以下の制限に相当します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}$$

さらに極限結果は次のとおりです。^{[ 56 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\psi (1-z)}}-{\frac {1}{\psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

ベータ関数に関連する極限（ガンマ関数で表すと）は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}$$

γは、正の整数で評価されたリーマンゼータ関数を含む項からなる無限和としても表現できる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}$$ 定数${\displaystyle \gamma }$非自明な零点の逆数の和で表すこともできる。${\displaystyle \rho }$ゼータ関数の: ^{[ 57 ]}

${\displaystyle \gamma =\log 4\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-2}$

ゼータ関数に関連するその他の系列には、以下のようなものがあります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

最後の式における誤差項は、nの急激に減少する関数である。したがって、この式は定数を高精度で効率的に計算するのに適している。

オイラー定数に等しいその他の興味深い極限は反対称極限です: ^{[ 58 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}$$

そして、1898 年にde la Vallée-Poussinによって確立された次の公式:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$$

ここで、⌈ ⌉ は上限括弧です。この式は、任意の正の整数nを取り、それをnより小さい各正の整数kで割ったとき、商n / k が次の整数に満たない平均分数は、 n が無限大に近づくにつれてγ (0.5 ではなく)に近づくことを示しています。

これと密接に関連しているのが、有理ゼータ級数の表現である。上記の級数の最初の数項を個別に取捨選択することで、古典的な級数の極限値の推定値が得られる。

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}\right),}$$

ここで、 ζ ( s , k )はフルヴィッツゼータ関数である。この式の和には調和数Hnが含まれる_。フルヴィッツゼータ関数のいくつかの項を展開すると次のようになる。

$${\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,}$$ ここで、0 < ε < ⁠ 1 / 252 n ⁶ ⁠。

γは、 Aをグレイシャー・キンケリン定数として、次のように表すこともできます。

$${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}$$

γは次のように表すこともできる。これは、ゼータ関数をローラン級数で表すことで証明できる。

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-n+\zeta \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}$$

数多くの定式化が導き出され、${\displaystyle \gamma }$三角数の和と対数の観点から。^{[ 59 ] [ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]}これらの最も初期のものの1つは、次の式である^{[ 63 ] [ 64 ]}${\displaystyle n}$スリニヴァーサ・ラマヌジャンに帰属される番目の調和数${\displaystyle \gamma }$は${\displaystyle \textstyle \log 2T_{k}}$力について考察するシリーズ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{T_{k}}}}$（エルネスト・チェザーロによる、より一般化可能性の低い以前の証明^{[ 65 ] [ 66 ]}では、誤差項を含む級数の最初の2項が示されている）：

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{u}-{\frac {1}{2}}\log 2T_{u}-\sum _{k=1}^{v}{\frac {R(k)}{T_{u}^{k}}}-\Theta _{v}\,{\frac {R(v+1)}{T_{u}^{v+1}}}\end{aligned}}}$

スターリングの近似式^{[ 59 ] [ 67 ]}から、同様の系列が続く。

${\displaystyle \gamma =\log 2\pi -\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{T_{k}}}}$

逆三角数の系列は、ピエトロ・メンゴリによって提起されたバーゼル問題の研究にも登場する^{[ 68 ] [ 69 ]}。メンゴリは、${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2T_{k}}}=1}$ヤコブ・ベルヌーイが後にその値を推定するために用いた結果${\displaystyle \zeta (2)}$それを間に挟む${\displaystyle 1}$そして${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{2T_{k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}=2}$この恒等式は、ベルンハルト・リーマンがゼータ関数の根を計算するために使用した式に現れる。[ ^{70 ]ここ}で${\displaystyle \gamma }$根の和で表される${\displaystyle \rho }$加えて、ボヤの展開と正確な単位分数の数列との差${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}}$:

${\displaystyle \gamma -\log 2=\log 2\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}}$

γは、いくつかの定積分の値に等しい。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\log {\frac {\pi }{4}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\cosh ^{2}x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }\log \left(1+{\frac {\log \left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)dt\\&=1-\int _{0}^{1}\{1/x\}dx\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2x\,dx}{(x^{2}+1)(e^{2\pi x}-1)}}\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin x}{x}}e^{x\cot x}\log \left({\frac {\sin x}{x}}e^{x\cot x}\right)dx\end{aligned}}}$$ ここで、H _xは分数調和数であり、${\displaystyle \{1/x\}}$は、​${\displaystyle 1/x}$。

積分リストの3番目の公式は、次のように証明できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[e^{x}-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\\[2pt]&=\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\\[2pt]&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\[2pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma \end{aligned}}}$$

方程式の2行目の積分は、リーマンゼータ関数の定義であり、 m ! ζ ( m + 1)です。

γが含まれる定積分には以下が含まれます: ^{[ 2 ] [ 14 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\\\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}\log x}{e^{x}+1}}\,dx&={\frac {1}{2}}\log ^{2}2-\gamma \end{aligned}}}$$

また、カタランの1875年の積分^{[ 71 ]}もあります。

$${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.}$$

γは、ハジコスタスの公式の特殊な場合として、等価な級数を持つ二重積分^{[ 41 ] [ 72 ]}を用いて表現することができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}}$$

^{Sondow [ 72 ]}による興味深い比較は、二重積分と交代級数である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

これは、log ⁠ 4 / π ⁠ を「交代オイラー定数」と考えることができることを示している。

2 つの定数は、次の級数によっても関連付けられています^{[ 73 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}}$$

ここで、N ₁ ( n )とN ₀ ( n )は、それぞれnの2進数展開における 1 と 0 の数である。

一般的に、

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$$

任意のα > − nに対して。ただし、この展開の収束速度はαに大きく依存します。特に、γ _n (1/2) は従来の展開γ _n (0)よりもはるかに速い収束を示します。^{[ 74 ] [ 75 ]}これは、

$${\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}$$

その間

$${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}$$

とはいえ、これよりも速く収束する級数展開も存在します。それらのいくつかについては、以下で説明します。

オイラーは、次の無限級数がγに近づくことを示した。 $${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).}$$

γの級数は、1897 年にニールセンが発見した級数と同等である。^{[ 56 ] [ 76 ]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.}$$

1910年、ヴァッカは密接に関連する系列^{[ 77 ] [ 78 ] [ 79 ] [ 80 ] [ 81 ] [ 56 ] [ 82 ]を発見した。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}$$

ここで、log ₂は底が 2 の対数であり、⌊ ⌋ は床関数です。

これは以下のように一般化できます。^{[ 83 ]}

$${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left\lfloor \log _{B}k\right\rfloor }{k}}\varepsilon (k)}$$どこ：$${\displaystyle \varepsilon (k)={\begin{cases}B-1,&{\text{if }}B\mid n\\-1,&{\text{if }}B\nmid n\end{cases}}}$$

1926年、ヴァッカは2つ目の系列を発見した。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

ガンマ関数の対数に対するマルムステン・クンマー展開^{[ 14 ]}から、次の式が得られます。

$${\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.}$$

ラマヌジャンは、失われたノートの中でγに近づく級数を示した^{[ 84 ]}：

$${\displaystyle \gamma =\log 2-\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k={\frac {3^{n-1}+1}{2}}}^{\frac {3^{n}-1}{2}}{\frac {2n}{(3k)^{3}-3k}}}$$

オイラー定数の重要な展開はフォンタナとマスケローニによるものである。

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$$ ここでG _nはグレゴリー係数である。^{[ 56 ] [ 82 ] [ 85 ]}この級数は展開のk = 1の特殊な場合である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}$$

k = 1, 2, ...に対して収束する

第二種コーシー数C _{nの同様のシリーズは}^{[ 82 ] [ 86 ]}である。

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots }$$

ブラゴウシン（2018）はフォンタナ・マスケローニ級数の一般化を発見した。

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$$

ここで、ψ _n ( a )は第 2 種のベルヌーイ多項式であり、生成関数によって定義される。

$${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1.}$$

任意の有理数aに対して、この級数は有理数項のみを含みます。たとえば、a = 1の場合、次のようになります^{[ 87 ] [ 88 ]}

$${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots }$$ 同じ多項式を持つ他の級数の例としては、以下のようなものがあります。

$${\displaystyle \gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$$

そして

$${\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1}$$

ここでΓ( a )はガンマ関数である。^{[ 85 ]}

秋山・谷川アルゴリズムに関連するシリーズは

$${\displaystyle \gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }$$

ここで、G _n (2)は2 次グレゴリー係数である。 ^{[ 85 ]}

素数の系列として：

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\log n-\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}\right).}$$

γ は次の漸近式に等しい（ここでH _nはn番目の高調波数である）。

• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots }$(オイラー)
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{2}}}+\cdots }\right)}$（ネゴイ）
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$（チェザロ）

3つ目の公式はラマヌジャン展開とも呼ばれる。

アラブドゥルモシンは、これらの近似誤差の合計に対する閉形式の式を導出した。^{[ 86 ]}彼は（定理A.1）を示した。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}+{\frac {1}{2n}}{\Big )}&={\frac {\log(2\pi )-1-\gamma }{2}}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}\log {\sqrt {n(n+1)}}+\gamma -H_{n}{\Big )}&={\frac {\log(2\pi )-1}{2}}-\gamma \\\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}{\Big )}&={\frac {\log \pi -\gamma }{2}}\end{aligned}}}$$

定数e ^γは数論において重要である。その数値は次の通りである。^{[ 89 ]}

e ^{γ は}次の極限に等しい。ここでp _nはn番目の素数である。

$${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}$$

これはメルテンスの定理の3番目を言い換えたものである。^{[ 90 ]}

さらに、3 つの定数e、π、γを含む次の積が得られます。^{[ 30 ]}

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6e^{\gamma }}}=\lim _{n\to \infty }\log p_{n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}+1}}.}$$

eγに関連するその他の無限積には^以下が含まれます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$$

これらの積は、バーンズのG関数から得られるものです。

加えて、

$${\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }$$

ここで、n番目の因数は( n + 1)番目の根である。

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}$$

この無限積は、1926年にSerによって初めて発見され、その後、Sondowによって超幾何関数を用いて再発見された。^{[ 91 ]}

また、^{[ 92 ]}

$${\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).}$$

オイラーの一般化定数は次のように与えられる。

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right)}$$

0 < α < 1の場合、γはα = 1 の特殊な場合である。^{[ 104 ]} α > 1 に拡張すると次のようになる。

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\zeta (\alpha )-{\frac {1}{\alpha -1}}}$$

また制限付きで：

$${\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)}$$

これはさらに一般化して

$${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right)}$$

任意の減少関数fに対して、

$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}}{x}}}$$

スティルチェス定数を生み出す${\displaystyle \gamma _{n}}$リーマンゼータ関数のローラン級数展開に現れるもの：

${\displaystyle \zeta (1+s)={\frac {1}{s}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}s^{n}.}$

と${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0.577\dots }$

オイラー・レーマー定数は、共通のモジュロクラスの数の逆数の和によって与えられる。^{[ 45 ]}

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {1}{n}}-{\frac {\log x}{q}}\right).}$$

基本的な特性は

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma (0,q)={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\&\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)=\gamma ,\\&q\gamma (a,q)=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}}$$

そして最大公約数gcd( a , q ) = dならば

$${\displaystyle q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\right)-\log d.}$$

オイラー定数の2次元一般化は、マッサー・グラマン定数である。これは、次の極限差として定義される。^{[ 105 ]}

${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{\pi r_{k}^{2}}}\right)}$

どこ${\displaystyle r_{k}}$は、少なくとも を含む複素平面内の円盤の最小半径です。${\displaystyle k}$ガウス整数。

以下の境界が設定されました。${\displaystyle 1.819776<\delta <1.819833}$[ ^{106 ]​}