グレゴリー係数

グレゴリー係数 G _nは、逆対数、第二種ベルヌーイ数、第一種コーシー数とも呼ばれ、^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13]}逆対数の マクローリン級数展開で現れる有理数である。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {z}{\ln(1+z)}}&=1+{\frac {1}{2}}z-{\frac {1}{12} }z^{2}+{\frac {1}{24}}z^{3}-{\frac {19}{720}}z^{4}+{\frac {3}{160}}z^{5}-{\frac {863}{60480}}z^{6}+\cdots \\&=1+\sum _{n=1}^{\infty } G_{n}z^{n}\,,\qquad |z|<1\,.\end{aligned}}}$

グレゴリー係数は、n > 0 でG _n = (−1) ^{n −1} | G _n |となり、絶対値が減少します。これらの数は、 1670 年に数値積分の文脈で導入したジェームズ グレゴリーにちなんで名付けられました。その後、多くの数学者によって再発見され、現代の著者の著作によく登場しますが、必ずしも認識されているわけではありません。^{[1] [5] [14] [15] [16] [17]}

グレゴリー係数を計算する最も簡単な方法は、漸化式を使うことである。

${\displaystyle |G_{n}|=-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {|G_{k}|}{n+1-k}}+{\frac {1}{n+1}}}$

G ₁ = ⁠​1/2⁠ . ^{[14] [18]}グレゴリー係数は、次の微分法によって明示的に計算することもできる。

${\displaystyle n!G_{n}=\left[{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}z^{n}}}{\frac {z}{\ln(1+z)}}\right]_{z=0},}$

または積分

${\displaystyle G_{n}={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)\,dx=\int _{0}^{1}{\binom {x}{n}}\,dx,}$

これは、0 と 1 の間を について積分することで証明できます。1回目は直接積分し、2 回目は最初に二項級数展開を使用して積分します。 ${\displaystyle (1+z)^{x}}$${\displaystyle x}$

これは有限和の公式を意味する。

${\displaystyle n!G_{n}=\sum _{\ell =0}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{\ell +1}},}$

ここでs ( n , ℓ )は第一種符号付きスターリング数である。

シュレーダーの積分公式^{[19] [20]}

${\displaystyle G_{n}=(-1)^{n-1}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x)^{n}(\ln ^{2}x+\pi ^{2})}},}$

グレゴリー係数は境界を満たす

${\displaystyle {\frac {1}{6n(n-1)}}}<{\big |}G_{n}{\big |}},\qquad n>2,}$

ヨハン・ステフェンセンによって与えられた。^[15]これらの境界は後に様々な著者によって改良された。最もよく知られている境界はブラグーシンによって与えられた。^[17]特に、

${\displaystyle {\frac {\,1\,}{\,n\ln ^{2}\!n\,}}\,-\,{\frac {\,2\,}{\,n\ln ^{3}\!n\,}}\leqslant \,{\big |}G_{n}{\big |}\,\leqslant \,{\frac {\,1\,}{\,n\ln ^{2}\!n\,}}-{\frac {\,2\gamma \,}{\,n\ln ^{3}\!n\,}}\,,\qquad \quad n\geqslant 5\,.}$

漸近的に、指数nが大きい場合、これらの数は次のように振る舞う^{[2] [17] [19]}

${\displaystyle {\big |}G_{n}{\big |}\sim {\frac {1}{n\ln ^{2}n}},\qquad n\to \infty .}$

_{nが大きい場合のGn}のより正確な説明は、 Van Veen ^[18]、 Davis ^[3] 、 Coffey ^[21] 、 Nemes ^{[6] 、Blagouchine [17]}の研究で見つけることができます。

グレゴリー係数を含む級数は、多くの場合、閉じた形式で計算されます。これらの数値を含む基本的な級数には、次のものがあります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\big |}G_{n}{\big |}=1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}={\frac {1}{\ln 2}}-1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n}}=\gamma ,\end{aligned}}}$

ここでγ = 0.5772156649...はオイラー定数である。これらの結果は非常に古く、その歴史はグレゴリオ・フォンタナとロレンツォ・マスケローニの研究に遡ることができる。^{[17] [22]}グレゴリー係数を用いたより複雑な級数は、様々な著者によって計算された。コワレンコ、^[8]アラブドゥルモシン^{[10] [11]}および他の著者は、

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-1}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\ln 2\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}\\[6mm]\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+1}}=1-\ln 2.\end{array}}}$

アラブドゥルモシン^{[10] [11]}もこれらの恒等式を次のように与えている。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+1}{\big |}+{\big |}G_{3n+2}{\big |})={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+2}{\big |}+{\big |}G_{3n+3}{\big |})={\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}-1\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+3}{\big |}+{\big |}G_{3n+4}{\big |})={\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{\pi }}.\end{aligned}}}$

カンデルパーガー、コッポ^{[23] [24]}、ヤング^[7]は、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}\cdot H_{n}}{n}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1,}$

ここでH _nは調和数である。Blagouchine ^{[17] [25] [26] [27]}は次のような恒等式を与えている。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n}}=\operatorname {li} (2)-\gamma \\[2mm]&\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-2}}=-{\frac {1}{8}}+{\frac {\ln 2\pi }{12}}-{\frac {\zeta '(2)}{\,2\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=4}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-3}}=-{\frac {1}{16}}+{\frac {\ln 2\pi }{24}}-{\frac {\zeta '(2)}{4\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+2}}={\frac {1}{2}}-2\ln 2+\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+3}}={\frac {1}{3}}-5\ln 2+3\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+k}}={\frac {1}{k}}+\sum _{m=1}^{k}(-1)^{m}{\binom {k}{m}}\ln(m+1)\,,\qquad k=1,2,3,\ldots \\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {-\operatorname {li} (1-x)+\gamma +\ln x}{x}}\,dx\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {li} (1+x)-\gamma -\ln x}{x}}\,dx,\end{aligned}}}$

ここでli( z )は積分対数であり、は二項係数である。ゼータ関数、ガンマ関数、ポリガンマ関数、スティルチェス定数、その他多くの特殊関数や定数は、これらの数値を含む無限級数で表現できることも知られている。^{[1] [17] [18] [28] [29]}${\displaystyle {\tbinom {k}{m}}}$

グレゴリー係数には様々な一般化が可能である。その多くは親生成方程式を修正することで得られる。例えば、Van Veen ^[18]は次のように考える。

${\displaystyle \left({\frac {\ln(1+z)}{z}}\right)^{s}=s\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}K_{n}^{(s)}\,,\qquad |z|<1\,,}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle n!G_{n}=-K_{n}^{(-1)}}$

^{同等の一般化は後にコワレンコ[9]とルビンシュタイン[30]}によって提案された。同様に、グレゴリー係数は一般化ベルヌーイ数と関連している。

${\displaystyle \left({\frac {t}{e^{t}-1}}\right)^{s}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}B_{k}^{(s)},\qquad |t|<2\pi \,,}$

^{[18] [28]}を参照。

${\displaystyle n!G_{n}=-{\frac {B_{n}^{(n-1)}}{n-1}}}$

ジョーダン^{[1] [16] [31]}は、多項式ψn ( s )_を次のように 定義する。

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s)\,,\qquad |z|<1\,,}$

これらを第二種ベルヌーイ多項式と呼ぶ。以上のことから、 G _n = ψ _n (0)であることは明らかである。Carlitz ^{[16] は、多項式}βを導入して、Jordan の多項式ψ _n ( s )を一般化した。

${\displaystyle \left({\frac {z}{\ln(1+z)}}\right)^{s}\!\!\cdot (1+z)^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,\beta _{n}^{(s)}(x)\,,\qquad |z|<1\,,}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle n!G_{n}=\beta _{n}^{(1)}(0)}$

ブラグーシン^{[17] [32]は、} G _n ( k )という 数を導入し、

${\displaystyle n!G_{n}(k)=\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{\ell +k}},}$

それらの生成関数を得て、nが大きい場合の漸近挙動を調べた。明らかに、G _n = G _n (1)である。これらの数は厳密に交互に変化し、G _n ( k ) = (-1) ^{n -1} | G _n ( k )|であり、ゼータ関数、オイラー定数、ポリガンマ関数のさまざまな展開に関係している。同じ種類の異なる一般化は、小松^[31]によっても提案されている。

${\displaystyle c_{n}^{(k)}=\sum _{\ell =0}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{(\ell +1)^{k}}},}$

G _n = c _n ⁽¹⁾ / nとなる。数c _n ^{( k )}は著者によって多コーシー数と呼ばれる。^[31]コフィー^[21]は 多項式を定義する 。

${\displaystyle P_{n+1}(y)={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{y}x(1-x)(2-x)\cdots (n-1-x)\,dx}$

したがって| G _n | = P _{n +1} (1)となる。

• スターリング多項式
• 第二種ベルヌーイ多項式