ガンベル分布

標準ガンベル分布は、${\displaystyle \mu =0}$そして${\displaystyle \beta =1}$累積分布関数

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{-x}}\,}$

確率密度関数

${\displaystyle f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.}$

この場合、最頻値は0、中央値は${\displaystyle -\ln(\ln(2))\approx 0.3665}$平均は${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$（オイラー・マスケローニ定数）であり、標準偏差は$\displaystyle \pi / \sqrt {6}} \approx 1.2825.$

n > 1 の場合のキュムラントは次のように与えられる。  

${\displaystyle \kappa _{n}=(n-1)!\zeta (n).}$

離散数学における多くの問題は、グンベル分布の離散版に従う極値パラメータの研究を伴う。^{[ 4 ] [ 5 ]}この離散版は、${\displaystyle Y=\lceil X\rceil }$、 どこ${\displaystyle X}$連続ガンベル分布に従う${\displaystyle \mathrm {ガンベル} (\mu ,\beta )}$したがって、これは${\displaystyle P(Y\leq h)=\exp(-\exp(-(h-\mu )/\beta ))}$いかなる場合でも${\displaystyle h\in \mathbb {Z} }$。

示す${\displaystyle \mathrm {DGumbel} (\mu ,\beta )}$離散バージョンでは、${\displaystyle \lceil X\rceil \sim \mathrm {DGumbel} (\mu ,\beta )}$そして${\displaystyle \lfloor X\rfloor \sim \mathrm {DGumbel} (\mu -1,\beta )}$。

離散ガンベル分布の平均、分散（または高次モーメント）には既知の閉形式はありませんが、急速に収束する無限和を用いることで高精度の数値評価を容易に得ることができます。例えば、これは次のようになります。${\displaystyle {\mathbb {E} }[\mathrm {DGumbel} (0,1)]=1.077240905953631072609...}$しかし、この定数の閉じた形式を見つけることは未解決の問題であり（おそらく存在しないだろう）。

Aguech、Althagafi、およびBanderier ^{[ 4 ]}は、Gumbel分布の離散版と連続版を結びつけるさまざまな境界を提供し、ランダム変数のシーケンスがある場合に現れる振動現象を（ Mellin変換の方法を使用して）明示的に詳述しています。${\displaystyle \lfloor Y_{n}-c\ln n\rfloor }$離散的なガンベル分布に収束する。

• もし${\displaystyle X}$ガンベル分布に従う場合、条件付き分布は${\displaystyle Y=-X}$とすれば${\displaystyle Y}$は正である、または同等に、${\displaystyle X}$負の値であり、ゴンペルツ分布に従います。累積分布関数${\displaystyle G}$の${\displaystyle Y}$は${\displaystyle F}$、cdf${\displaystyle X}$式により${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y\mid X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)}$のために${\displaystyle y>0}$したがって、密度は次のように関連付けられる。${\displaystyle g(y)=f(-y)/F(0)}$:ゴンペルツ密度は、正の半直線に制限された反射グンベル密度に比例する。^{[ 6 ]}
• もし${\displaystyle X\sim \mathrm {指数関数} (1)}$は平均1の指数分布変数である。${\displaystyle \mu -\beta \log(X)\sim \mathrm {ガンベル} (\mu ,\beta )}$。
• もし${\displaystyle U\sim \mathrm {制服} (0,1)}$は単位区間上で一様分布する変数である。${\displaystyle \mu -\beta \log(-\log(U))\sim \mathrm {ガンベル} (\mu ,\beta )}$。
• もし${\displaystyle X\sim \mathrm {ガンベル} (\alpha _{X},\beta )}$そして${\displaystyle Y\sim \mathrm {ガンベル} (\alpha _{Y},\beta )}$独立している場合、${\displaystyle XY\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\,}$（ロジスティック分布を参照）。
• それにもかかわらず、もし${\displaystyle X,Y\sim \mathrm {ガンベル} (\alpha ,\beta )}$独立している場合、${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )}$これは、以下の点に注目すれば容易に理解できる。${\displaystyle \mathbb {E} (X+Y)=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =\mathbb {E} \left(\mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\right)}$（どこ${\displaystyle \gamma }$はオイラー・マスケローニ定数です。代わりに、独立なガンベル確率変数の線形結合の分布は、GNIG分布とGIG分布で近似できます。^{[ 7 ]}

一般化多変量対数ガンマ分布に関する理論は、ガンベル分布の多変量版を提供する。

ガンベルは、指数分布に従う確率変数の標本における最大値（または最後の順序統計量）から標本サイズの自然対数を引いた値^{[ 8 ]} が、標本サイズが増加するにつれてガンベル分布に近づくことを示した^{[ 9 ] 。}

具体的には、${\displaystyle \rho (x)=e^{-x}}$確率分布は${\displaystyle x}$そして${\displaystyle Q(x)=1-e^{-x}}$その累積分布。次に、最大値${\displaystyle N}$実現${\displaystyle x}$より小さい${\displaystyle X}$すべての実現が以下より小さい場合に限る${\displaystyle X}$最大値の累積分布${\displaystyle {\tilde {x}}}$満たす

${\displaystyle P({\tilde {x}}-\log(N)\leq X)=P({\tilde {x}}\leq X+\log(N))=[Q(X+\log(N))]^{N}=\left(1-{\frac {e^{-X}}{N}}\right)^{N},}$

そして、大規模な${\displaystyle N}$右辺は収束する${\displaystyle e^{-e^{(-X)}}.}$

したがって、水文学では、ガンベル分布は、日降水量や河川流量の月間および年間最大値などの変数を分析するために使用され、^{[ 3 ]}また干ばつを記述するためにも使用されます。^{[ 10 ]}

ガンベルはまた、ある事象の確率の推定値r ⁄ ( n +1) (ここでrはデータ系列における観測値の順位番号、nは観測値の総数)が、分布の最頻値付近の累積確率の不偏推定値であることを示した。そのため、この推定値はプロット位置としてよく使用される。

• 訓練データとサンプル外データの両方がガンベル分布に従うという仮定の下で、サンプル外データの確率を予測することは、しばしば興味深い課題となる。
• ガンベルパラメータの最尤推定値を累積分布関数に代入して生成される確率の予測は、パラメータの不確実性を無視しています。その結果、確率は適切に較正されておらず、サンプル外イベントの頻度を反映しておらず、特にサンプル外テールイベントの確率を過小評価しています。^{[ 11 ]}
• 事前予測を較正する客観的なベイズアプローチを使用して生成された予測は、この過小評価を完全に解消します。 ガンベル分布は、グループ構造を持つ統計分布の 1 つであり、これはガンベルが位置尺度モデルであることに起因します。 グループ構造の結果として、ガンベルには関連する左および右のハール尺度があります。ベイズ予測で事前として右ハール尺度(右ハール事前として知られる) を使用すると、基礎となる真のパラメータ値に対して完全に較正された確率が得られます。 ^{[ 12 ] [ 11 ] [ 13 ]}適切な右ハール事前を使用してガンベルの事前予測を較正することは、 Rソフトウェアパッケージ fitdistcpで実装されています。^{[ 14 ]}

組み合わせ論において、離散ガンベル分布は、クーポン収集者の問題におけるヒット時間の極限分布として現れる。この結果は、1812年にラプラスが著書『確率の解析理論』の中で初めて確立したものであり、後にガンベル分布と呼ばれるようになる分布が歴史的に初めて出現した事例である。

数論では、ガンベル分布は整数のランダム分割における項の数^{[ 15 ]}、および最大素数ギャップと素数コンステレーション間の最大ギャップのトレンド調整サイズ^{[ 16 ]}を近似します。

確率論では、これは離散ウォーク（格子上）によって到達する最大高さの分布として現れる。${\displaystyle {\mathbb {N} }^{2}}$）、各ステップでプロセスを初期状態にリセットできる。^{[ 4 ]}

アルゴリズムの解析では、例えば、ベースにおける最大キャリー伝播の研究に現れる。${\displaystyle b}$加算アルゴリズム。^{[ 17 ]}

ソフトウェアが普及する以前は、確率紙を使ってガンベル分布を図示していました（図を参照）。この紙は、累積分布関数の線形化に基づいています。${\displaystyle F}$ :

${\displaystyle -\ln(-\ln(F))={\frac {x-\mu }{\beta }}}$

この論文では、横軸は両対数スケールで作成されています。縦軸は線形です。${\displaystyle F}$紙の水平軸と${\displaystyle x}$縦軸に変数がある場合、分布は傾き1の直線で表されます。${\displaystyle /\beta }$分布フィッティングソフトウェアが利用可能になったことで、分布をプロットする作業が容易になった。

機械学習では、カテゴリカル分布からサンプルを生成するためにガンベル分布が使用されることがあります。この手法は「ガンベル最大トリック」と呼ばれ、「再パラメータ化トリック」の特殊な例です。^{[ 18 ]}

詳細には、${\displaystyle (\pi _{1},\ldots ,\pi _{n})}$非負であり、すべてゼロではない。${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$は、Gumbel(0, 1) の独立サンプルであり、確率変数の${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})}$ルーチン積分によって計算できます。$${\displaystyle Pr(\arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})=j)={\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}}$$つまり、${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$

同様に、任意の${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$ボルツマン分布からサンプリングするには

$${\displaystyle Pr(\arg \max _{i}(g_{i}+x_{i})=j)={\frac {e^{x_{j}}}{\sum _{i}e^{x_{i}}}}}$$関連する方程式には以下が含まれます: ^{[ 19 ]}

• もし${\displaystyle x\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$、 それから${\displaystyle (-\ln x-\gamma )\sim {\text{Gumbel}}(-\gamma +\ln \lambda ,1)}$。
• ${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$。
• ${\displaystyle \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Gumbel}}\left(\log \left(\sum _{i}\pi _{i}\right),1\right)}$つまり、ガンベル分布は最大安定分布族である。
• ${\displaystyle \mathbb {E} [\max _{i}(g_{i}+\beta x_{i})]=\log \left(\sum _{i}e^{\beta x_{i}}\right)+\gamma .}$