ランダウ分布

ランダウ分布

確率密度関数 ${\displaystyle \mu =0,\;c=\pi /2}$
パラメータ	${\displaystyle c\in (0,\infty )}$—スケールパラメータ ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$—位置パラメータ
サポート	${\displaystyle \mathbb {R} }$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt}$
平均	未定義
分散	未定義
MGF の	未定義
CF	${\displaystyle \exp \left(it\mu -{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}$

確率論において、ランダウ分布^[1]はレフ・ランダウにちなんで名付けられた確率分布である。分布の「太い」裾のため、平均や分散などの分布のモーメントは定義されない。この分布は安定分布の特殊なケースである。

ランダウによって最初に書かれた確率密度関数は、複素 積分によって定義されます。

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ai\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,}$

ここで、a は任意の正の実数であり、積分経路は虚軸に平行で、実数の正の半軸と交差し、自然対数を参照することを意味します。言い換えれば、これは関数 のラプラス変換です。 ${\displaystyle \log}$${\displaystyle s^{s}}$

次の実積分は上記と同等です。

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.}$

ランダウ分布の完全な族は、元の分布をパラメータとを持つ位置スケールの安定分布族に拡張することによって得られます。^[2]特性関数は^[3]です。${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}$

ここで、およびは密度関数を与える。 ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,}$

すると、上記の元の形式が得られます。 ${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle p(x)}$

• 翻訳: もしそうなら。${\displaystyle X\sim {\textrm {ランダウ}}(\mu ,c)\,}$${\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,}$
• スケーリング: If then .${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$${\displaystyle aX\sim {\textrm {Landau}}(a\mu -{\tfrac {2ac\log(a)}{\pi }},ac)\,}$
• 合計:の場合、。${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1},c_{1})}$${\displaystyle Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{2},c_{2})\,}$${\displaystyle X+Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1}+\mu _{2},c_{1}+c_{2})}$

これらの特性はすべて特性関数から導き出すことができます。これらを合わせると、ランダウ分布はアフィン変換に対して閉じていることがわかります。

「標準的な」ケースおよびでは、pdfはリンドハルト理論^[4]を使用して近似することができます。 ${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle c=\pi /2}$

${\displaystyle p(x+\log(x)-1+\gamma )\approx {\frac {\exp(-1/x)}{x(1+x)}},}$

ここでオイラー定数です。 ${\displaystyle \gamma }$

およびの同様の近似値^[5]は次のようになる。 ${\displaystyle p(x;\mu ,c)}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle c=1}$

${\displaystyle p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).}$

• ランダウ分布は、安定性パラメータと歪度パラメータが両方とも 1 に等しい安定した分布です。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$