整数nに対する関数。nがp^kに等しい場合はlog(p)、そうでない場合は0となる。
数学 において 、 フォン・マンゴルト関数は ドイツの 数学者 ハンス・フォン・マンゴルト にちなんで名付けられた 算術関数 である。これは、 乗法 でも 加法で もない重要な算術関数の例である 。
意味 Λ( n ) で示されるフォン マンゴールドト関数は 次のように定義されます。
Λ （ ん ） =
{
ログ p
もし
ん =
p
け
いくつかのプライム
p
整数
け ≥ 1 、
0
さもないと。
{\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
最初の9つの正の整数（つまり自然数）に対する
Λ( n ) の値は
0 、 ログ 2 、 ログ 3 、 ログ 2 、 ログ 5 、 0 、 ログ 7 、 ログ 2 、 ログ 3 、
{\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,}
これは（ OEIS の配列 A014963 ）に関連しています。
プロパティ フォン・マンゴルト関数は次の式を満たす [1] [2]
ログ （ ん ） =
∑
d ∣ ん
Λ （ d ） 。
{\displaystyle \log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).}
和は n を 割り切る すべての 整数 dについてとられます。これは 算術の基本定理 によって証明されています 。素数の累乗でない項は 0 に等しいからです。たとえば、 n = 12 = 2 2 × 3 の場合を考えてみましょう。すると
∑
d ∣ 12
Λ （ d ）
= Λ （ 1 ） + Λ （ 2 ） + Λ （ 3 ） + Λ （ 4 ） + Λ （ 6 ） + Λ （ 12 ）
= Λ （ 1 ） + Λ （ 2 ） + Λ （ 3 ） + Λ
（
2
2
）
+ Λ （ 2 × 3 ） + Λ
（
2
2
× 3
）
= 0 + ログ （ 2 ） + ログ （ 3 ） + ログ （ 2 ） + 0 + 0
= ログ （ 2 × 3 × 2 ）
= ログ （ 12 ） 。
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}}
メビウス反転 により 、
Λ （ ん ） =
∑
d ∣ ん
μ （ d ） ログ
（
ん d
）
{\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\log \left({\frac {n}{d}}\right)}
そして対数の積の法則を用いると [2] [3] [4]
Λ （ ん ） = −
∑
d ∣ ん
μ （ d ） ログ （ d ）
。
{\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .}
全ての に対して 、 [5]
x ≥ 1
{\displaystyle x\geq 1}
∑
ん ≤ x
Λ （ ん ）
ん
= ログ x + お （ 1 ） 。
{\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x+O(1).}
また、正の定数c 1 と c 2 が存在し 、
ψ （ x ） ≤
c
1
x 、
{\displaystyle \psi (x)\leq c_{1}x,}
すべての に対して 、そして
x ≥ 1
{\displaystyle x\geq 1}
ψ （ x ） ≥
c
2
x 、
{\displaystyle \psi (x)\geq c_{2}x,}
十分に大きいすべてのx に対して 。
ディリクレ級数 フォン・マンゴルト関数はディリクレ級数 、特に リーマンゼータ関数 の理論において重要な役割を果たしている 。例えば、
ログ ζ （ s ） =
∑
ん = 2
∞
Λ （ ん ）
ログ （ ん ）
1
ん
s
、
再
（ s ） > 1.
{\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad {\text{Re}}(s)>1.}
対数微分 は [ 6]
ζ
′
（ s ）
ζ （ s ）
= −
∑
ん = 1
∞
Λ （ ん ）
ん
s
。
{\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}
これらはディリクレ級数上のより一般的な関係の特殊なケースである。
F
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
{\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
完全に乗法的な関数 f ( n ) に対して 、級数は Re( s ) > σ 0 に対して収束するので、
F
′
(
s
)
F
(
s
)
=
−
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
Λ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}
Re( s ) > σ 0 の場合に収束します 。
チェビシェフ関数 2番目の チェビシェフ関数 ψ ( x )は フォン・マンゴルト関数の 和関数である: [7]
ψ
(
x
)
=
∑
p
k
≤
x
log
p
=
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
.
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .}
これはパフヌティ・チェビシェフ によって導入され 、彼はこれを用いて素数関数の真の順序 が であることを証明しました。フォン・マンゴルトは、 リーマンゼータ関数 の非自明な零点の和を含む ψ ( x ) の明示的な公式の厳密な証明を提供しました。これは 素数定理 の最初の証明の重要な部分でした 。
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
x
/
log
x
{\displaystyle x/\log x}
チェビシェフ関数のメリン変換は、ペロンの公式を適用することで 求め られ ます 。
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
−
s
∫
1
∞
ψ
(
x
)
x
s
+
1
d
x
{\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx}
これは Re( s )>1 の場合に成立する。
指数級数 ハーディ と リトルウッドは このシリーズを研究した [8]
F
(
y
)
=
∑
n
=
2
∞
(
Λ
(
n
)
−
1
)
e
−
n
y
{\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}}
y → 0 + の極限において、 リーマン予想を 仮定すると 、
F
(
y
)
=
O
(
1
y
)
and
F
(
y
)
=
Ω
±
(
1
y
)
{\displaystyle F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)}
特に、この関数は発散 振動を伴う振動関数である。つまり、 K > 0 の値が存在し 、両方の不等式が
F
(
y
)
<
−
K
y
,
and
F
(
z
)
>
K
z
{\displaystyle F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ and }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}}
0 の近傍であれば、無限に頻繁に成立します。右のグラフは、この動作が最初は数値的に明らかではないことを示しています。振動は、級数が 1 億項を超えて加算されるまで明確には見られず、 y < 10 −5 の場合にのみ容易に確認できます。
リースは意味する フォン・マンゴルト関数のリース平均は次のように与え
られる 。
∑
n
≤
λ
(
1
−
n
λ
)
δ
Λ
(
n
)
=
−
1
2
π
i
∫
c
−
i
∞
c
+
i
∞
Γ
(
1
+
δ
)
Γ
(
s
)
Γ
(
1
+
δ
+
s
)
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
λ
s
d
s
=
λ
1
+
δ
+
∑
ρ
Γ
(
1
+
δ
)
Γ
(
ρ
)
Γ
(
1
+
δ
+
ρ
)
+
∑
n
c
n
λ
−
n
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)&=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds\\&={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.\end{aligned}}}
ここで、 λ と δは リース平均を特徴付ける数である。c > 1としなければならない 。ρ 上 の和は リーマン ゼータ関数の零点上の和であり、
∑
n
c
n
λ
−
n
{\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,}
λ > 1 に対して収束級数であることが示せます 。
リーマンゼータ零点による近似 フォン・マンゴルト関数を近似する和における最初のリーマンゼータ零波 要約マンゴルト関数の明示的な式は [9] で与えられている。
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
ψ
(
x
)
=
x
−
∑
ζ
(
ρ
)
=
0
x
ρ
ρ
−
log
(
2
π
)
.
{\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi ).}
ゼータ関数の自明なゼロ、つまり負の偶数整数を分離すると、次の式が得られます。
ψ
(
x
)
=
x
−
∑
ζ
(
ρ
)
=
0
,
0
<
ℜ
(
ρ
)
<
1
x
ρ
ρ
−
log
(
2
π
)
−
1
2
log
(
1
−
x
−
2
)
.
{\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0,\ 0<\Re (\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}
(和は絶対収束しないので、虚数部の絶対値の順にゼロを取ります。)
逆に、1911年にE.ランダウは、任意の固定t > 1に対して 、
∑
0
<
γ
≤
T
t
ρ
=
−
T
2
π
Λ
(
t
)
+
O
(
log
T
)
{\displaystyle \sum _{0<\gamma \leq T}t^{\rho }={\frac {-T}{2\pi }}\Lambda (t)+{\mathcal {O}}(\log T)}
(ゼータ関数の非自明な零点については、ρ = β + iγ という表記を使用します。)
(左) ゼータ ゼロ波で近似したフォン マンゴルト関数。(右) フォン マンゴルト関数のフーリエ変換により、リーマン ゼータ ゼロの虚数部がスパイクとして現れるスペクトルが得られます。 したがって、リーマン記法α = −i(ρ − 1/2)を用いると、非自明なゼータ零点の和は次のように表される。
lim
T
→
+
∞
1
T
∑
0
<
γ
≤
T
cos
(
α
log
t
)
=
−
Λ
(
t
)
2
π
t
{\displaystyle \lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\sum _{0<\gamma \leq T}\cos(\alpha \log t)=-{\frac {\Lambda (t)}{2\pi {\sqrt {t}}}}}
素数と素数の累乗でピークに達します。
フォン・マンゴルト関数のフーリエ変換は、リーマンゼータ関数の零点の虚数部に等しい縦座標にスパイクを持つスペクトルを与えます。これは双対性と呼ばれることもあります。
一般化フォン・マンゴルト関数 機能
Λ
k
(
n
)
=
∑
d
∣
n
μ
(
d
)
log
k
(
n
/
d
)
,
{\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\log ^{k}(n/d),}
ここで、は メビウス関数 、は 正の整数 を表し、フォン・マンゴルト関数を一般化する。 [11] 関数は 通常のフォン・マンゴルト関数である 。
μ
{\displaystyle \mu }
k
{\displaystyle k}
Λ
1
{\displaystyle \Lambda _{1}}
Λ
{\displaystyle \Lambda }
参照
参考文献
^ アポストル (1976) p.32 ^ テネンバウム (1995) p.30より ^ アポストル (1976) p.33 ^ Schroeder, Manfred R. (1997). 科学とコミュニケーションにおける数論。暗号、物理学、デジタル情報、コンピューティング、自己相似性への応用 。Springer Series in Information Sciences。第 7 巻 (第 3 版)。ベルリン: Springer - Verlag。ISBN 3-540-62006-0 .ZBL0997.11501 。 ^ アポストル (1976) p.88 ^ ハーディ＆ライト（2008）§17.7、定理294 ^ アポストル (1976) p.246 ^ Hardy, GH & Littlewood, JE (1916). 「リーマンゼータ関数の理論と素数分布の理論への貢献」 (PDF) . Acta Mathematica . 41 : 119– 196. doi : 10.1007/BF02422942 . 2012-02-07 に オリジナル (PDF)からアーカイブ 。 2014-07-03 に取得。 ^ Conrey, J. Brian (2003 年 3 月). 「リーマン予想」 (PDF) . Notices Am. Math. Soc . 50 (3): 341– 353. Zbl 1160.11341. 346 ページ ^ E. Landau、Über die Nullstellen der Zetafunktion、Math。アンナレン 71 (1911 )、548-564。 ^ イワニエツ、ヘンリク 、 フリードランダー、ジョン （2010）、 オペラ・デ・クリブロ 、アメリカ数学会コロキウム出版、第57巻、プロビデンス、ロードアイランド州： アメリカ数学会 、p. 23、 ISBN 978-0-8218-4970-5 、 MR 2647984
テネバウム、ジェラルド (1995)。 解析的および確率的数論入門 。 ケンブリッジ高等数学研究。第 46 巻。CB トーマス訳。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 0-521-41261-7 .ZBL0831.11001 。
外部リンク アラン・ガット、 リーマンゼータ分布に関するいくつかの考察 (2005) SA Stepanov (2001) [1994]、「マンゴルト関数」、 数学百科事典 、 EMS Press Heike、 Mathematica でリーマンゼータゼロスペクトルをプロットする方法 (2012) 
