メビウス平面

数学において、古典的なメビウス平面（アウグスト・フェルディナント・メビウスにちなんで名付けられた）は、無限遠点に一点を加えたユークリッド平面である。また、任意の一般化された円に関して反転操作が閉じているため、反転平面とも呼ばれ、平面反転幾何学の自然な舞台となる。

メビウス平面を任意の円に関して反転させる操作は、円上の点を固定し、内部と外部の点を交換する対合操作であり、円の中心は無限遠点と交換されます。反転幾何学では、直線は無限遠点を含む一般化された円とみなされます。平面を直線に関して反転させることは、ユークリッド幾何学における鏡映操作に相当します。

より一般的に言えば、メビウス面とは、古典的なメビウス面と同じ入射関係を持つ入射構造のことである。これは、ベンツ面（メビウス面、ラゲール面、ミンコフスキー面）の一つである。

アフィン平面は、2点がちょうど1本の直線を決定するという性質などを満たす点と直線のシステムです。この概念は、点と円のシステムにも一般化でき、各円は3つの非共線点によって決定されます。しかし、3つの共線点は円ではなく直線を決定します。この欠点は、すべての直線に無限遠点を追加することで解消できます。円とこのような完成した直線の両方をサイクルと呼ぶと、3点ごとにちょうど1つのサイクルが決定されるような接続構造が得られます。

アフィン平面では、直線間の平行関係が不可欠です。円の幾何学では、この関係は接触関係に一般化されます。2つの円は、共通点が1つだけある場合に互いに接触します。これは、2つの接円、または円に接する直線に当てはまります。2つの完成直線は、無限遠点のみを共通点として接触するため、平行です。接触関係には次の性質があります。

• どのサイクルでも${\displaystyle z}$、 ポイント${\displaystyle P}$の上${\displaystyle z}$そしてどの時点でも${\displaystyle Q}$オンではない${\displaystyle z}$サイクルはちょうど1つです${\displaystyle z'}$点を含む${\displaystyle P,Q}$そして感動的${\displaystyle z}$（その時点で）${\displaystyle P}$⁠ )

これらの性質は、本質的に公理的メビウス平面を定義します。しかし、古典的なメビウス平面は、公理的メビウス平面の性質を満たす唯一の幾何学的構造ではありません。実数を有理数に置き換えることで、メビウス平面の簡単な別の例が得られます。複素数（実数の代わりに）を使用してもメビウス平面は得られません。なぜなら、複素アフィン平面では曲線が${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$円のような曲線ではなく、双曲線のような曲線です。幸いなことに、適切な二次形式と組み合わせることでメビウス面（下記参照）が得られる場（数）は多数存在します。このような例は、ミケルの6つの円の定理を満たすため、ミケル的と呼ばれます。これらのミケル的メビウス面はすべて、空間モデルで記述できます。古典的な実メビウス面は、単位球上の円の幾何学と考えることができます。空間モデルの本質的な利点は、任意のサイクルが（球面上の）円であるということです。

実アフィン平面から始めます${\displaystyle {\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )}$二次形式${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}+y^{2}}$そして、真のユークリッド平面を取得します。$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$は点集合であり、直線は方程式によって記述される。${\displaystyle y=mx+b}$または${\displaystyle x=c}$円は方程式を満たす点の集合である

${\displaystyle \rho (x-x_{0},y-y_{0})=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}}$

一部の人にとって${\displaystyle r>0}$ユークリッド平面上の直線と円の幾何学は、（アフィン平面の射影的完備化と同様に）それを入射構造に埋め込むことによって均質化することができる。

${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

と

$\displaystyle {\mathcal {P}}:=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \},\infty \notin \mathbb {R} }$点の集合、および

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{g\cup \{\infty \}\mid g{\text{ }}{\mathfrak {A}}(\mathbb {R} ) の直線 }\cup \{k\mid k{\text{ }}{\mathfrak {A}}(\mathbb {R} ) の円 }\}}$サイクルの 集合。

それから${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$これは古典的な実メビウス面と呼ばれています。

新しい構造の中では、完成した路線はもはや特別な役割を果たさない。${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$以下の特性を持つ。

• 任意の3点セット${\displaystyle A,B,C}$サイクルはちょうど1つです${\displaystyle z}$含まれる${\displaystyle A,B,C}$。
• どのサイクルでも${\displaystyle z}$任意のポイント${\displaystyle P\in z}$そして${\displaystyle Q\notin z}$サイクルはちょうど1つ存在する${\displaystyle z'}$と：${\displaystyle P,Q\in z'}$そして​${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$つまり、${\displaystyle z}$そして${\displaystyle z'}$互いに触れ合うポイント${\displaystyle P}$。

${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$複素数を用いて記述することができる。${\displaystyle z=x+iy}$点を表す$\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$そして${\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}$はの複素共役です${\displaystyle z}$⁠ :

$\displaystyle {\mathcal {P}}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \},\infty \notin \mathbb {C} }$、 そして

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{\{z\in \mathbb {C} \mid az+{\overline {az}}+b=0\ {\text{(線)}}\ \}\cup \{\infty \}\mid \ 0\neq a\in \mathbb {C} ,b\in \mathbb {R} \}}$

${\displaystyle \cup \{\{z\in \mathbb {C} \mid (z-z_{0}){\overline {(z-z_{0})}}=d\ {\text{(circle)}}\mid z_{0}\in \mathbb {C} ,d\in \mathbb {R} ,d>0\}.}$

この記述の利点は、次の順列が簡単に確認できることである。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$サイクルをサイクルにマッピングする。

1. ${\displaystyle z\rightarrow rz,\ \ \infty \rightarrow \infty ,\quad }$と${\displaystyle r\in \mathbb {C} }$（回転＋拡大）
2. ${\displaystyle z\rightarrow z+s,\ \ \infty \rightarrow \infty ,\quad }$と${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$（翻訳）
3. ${\displaystyle z\rightarrow \displaystyle {\frac {1}{z}},\ z\neq 0,\ \ 0\rightarrow \infty ,\ \ \infty \rightarrow 0,\quad }$（${\displaystyle \pm 1}$）
4. ${\displaystyle z\rightarrow {\overline {z}},\ \ \infty \rightarrow \infty .\quad }$（実軸に関する鏡映または反転）

考慮する$\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$射影線として${\displaystyle \mathbb {C} }$写像(1)～(3)が群を生成することが認識される${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {C} )}$（PGL(2,C)、メビウス変換を参照）。幾何学${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$は同質構造であり、すなわち、その自己同型群は推移的である。したがって、(4)より次の式が得られる。任意のサイクルに対して、反転が存在する。例えば、次のようになる。${\displaystyle z\rightarrow {\tfrac {1}{\overline {z}}}}$単位円 を固定する反転である。${\displaystyle z{\overline {z}}=1}$この性質から、反転平面という別名が付けられています。

デサルグ射影平面の空間モデルと同様に、幾何学の空間モデルが存在する。${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$これは、線で定義されるサイクルと円で定義されるサイクルの形式的な違いを省略している。${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$は球面上の円の幾何学と同型である。同型性は適切な立体投影によって実現できる。例えば：^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Phi$ :\ (x,y)\rightarrow \left({\frac {x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)=(u,v,w)\ .}

${\displaystyle \Phi }$中心を持つ投影${\displaystyle (0,0,1)}$そして地図

• の${\displaystyle xy}$方程式に従って平面を球面上に投影する${\displaystyle u^{2}+v^{2}+w^{2}-w=0}$中間点${\displaystyle (0,0,{\tfrac {1}{2}})}$半径${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}};}$
• 方程式を持つ円${\displaystyle x^{2}+y^{2}-ax-by-c=0}$飛行機の中へ${\displaystyle au+bv-(1+c)w+c=0}$つまり、円の像は球面の平面断面であり、したがって（球面上では）再び円となる。対応する平面には中心は含まれない。${\displaystyle (0,0,1)}$⁠ ;
• ライン${\displaystyle ax+by+c=0}$飛行機の中へ${\displaystyle au+bv-cw+c=0}$つまり、直線の像は、点を通る円（球面上）である。${\displaystyle (0,0,1)}$しかし、その点を省略すると${\displaystyle (0,0,1)}$⁠ .

古典的な実メビウス平面の入射挙動から、公理的メビウス平面の以下の定義が得られる。

発生率構造${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ポイントセット付き${\displaystyle {\mathcal {P}}}$そして一連のサイクル${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$以下の公理が成り立つ場合、それはメビウス面と呼ばれる。

A1:任意の3点について${\displaystyle A,B,C}$サイクルはちょうど1つです${\displaystyle z}$含まれるもの${\displaystyle A,B,C}$⁠ .

A2:どのサイクルでも${\displaystyle z}$任意のポイント${\displaystyle P\in z}$そして${\displaystyle Q\notin z}$サイクルはちょうど1つ存在する${\displaystyle z'}$と：${\displaystyle P,Q\in z'}$そして${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$（⁠${\displaystyle z}$そして​${\displaystyle z'}$点で互いに触れ合う${\displaystyle P}$⁠ )

A3：どのサイクルも少なくとも3つの点を含みます。少なくとも1つのサイクルが存在します。

4ポイント${\displaystyle A,B,C,D}$サイクルが存在する場合は同周期である${\displaystyle z}$と共に​${\displaystyle A,B,C,D\in z}$⁠ .

上記の公理が古典的な実メビウス平面を定義すると期待すべきではありません。古典的なメビウス平面とは異なる多くの公理的メビウス平面が存在します（下記参照）。アフィン平面の最小モデルと同様に、メビウス平面の「最小モデル」があります。それは以下から構成されます。${\displaystyle 5}$ポイント:

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\{A,B,C,D,\infty \},\quad {\mathcal {Z}}:=\{z\mid z\subset {\mathcal {P}},|z|=3\}.}$ したがって：${\displaystyle |{\mathcal {Z}}|={5 \choose 3}=10.}$

古典的なメビウス平面と実数的なアフィン平面との関連性は、メビウス平面の最小モデルとアフィン平面の最小モデルとの関連性と類似している。この強い関連性は、メビウス平面とアフィン平面に共通する特徴である（下記参照）。

メビウス面の場合${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$そして${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$構造を定義する${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus \{P\},\{z\setminus \{P\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\},\in )}$そしてそれを点Pにおける留数と呼ぶ。

古典モデルの場合、残差は${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{\infty }}$地点で${\displaystyle \infty }$は基礎となる実アフィン平面である。留数の本質的な意味は、次の定理によって示される。

定理： メビウス平面上の任意の剰余はアフィン平面である。

この定理により、アフィン平面に関する多くの結果をメビウス平面の研究に利用することが可能になり、メビウス平面の同等の定義が得られる。

定理： 接続構造${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$メビウス面であるのは、 以下の性質が満たされる場合に限る。

A':任意のポイント${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$残留物${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}}$アフィン平面である。

有限のメビウス平面の場合、つまり、${\displaystyle |{\mathcal {P}}|<\infty }$（アフィン平面の場合と同様に）次のようになります。

メビウス平面上の任意の2つのサイクルは、同じ数の点を持つ。

これは以下の定義を正当化する。

有限メビウス平面の場合${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$そしてサイクル${\displaystyle z\in {\mathcal {Z}}}$整数​${\displaystyle n:=|z|-1}$はの順序と呼ばれます${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$⁠ .

組み合わせ論から、次のことが得られます。

させて${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$秩序のメビウス面である${\displaystyle n}$（a）残留物${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}}$次数 のアフィン平面です${\displaystyle n}$（ b ）${\displaystyle \vert {\mathcal {P}}\vert =n^{2}+1}$⁠、(c) ⁠${\displaystyle \vert {\mathcal {Z}}\vert =n(n^{2}+1)}$⁠ .

メビウス平面のさらなる例を探すには、二次形式から始まる古典的な構成を一般化することが有望であるように思われる。${\displaystyle \rho }$体上のアフィン平面上${\displaystyle K}$円を定義するため。ただし、実際の数値を置き換えるだけです。${\displaystyle \mathbb {R} }$あらゆる分野において${\displaystyle K}$そして古典的な二次形式を維持する${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$円を記述するための方法は一般的には機能しません。詳細は下記の講義ノートを参照してください。したがって、適切なフィールドと二次形式のペアの場合にのみ、メビウス平面が得られます。${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$それらは（古典的なモデルと同様に）非常に均質で、ミケルの次の定理によって特徴付けられます。

定理（ミケル）： メビウス平面について${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$以下のことは真実です。

8ポイントの場合${\displaystyle P_{1},...,P_{8}}$5つの面の点が同周四つ組に対応するように立方体の頂点に割り当てることができる場合、6番目の点の四つ組も同周になります。

その逆もまた真である。

定理（陳）： メビウス平面のみが${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$ミケルの定理を満たす。

最後の定理により、メビウス平面は${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$これはミケリアン・メビウス平面と呼ばれます。

注記：メビウス平面の最小モデルはミケリアンである。これはメビウス平面と同型である。

${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$と${\displaystyle K=\mathrm {GF} (2)}$（フィールド）${\displaystyle \{0,1\}}$⁠ ) と⁠${\displaystyle {1}}$⁠ .

（例えば、単位円） ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}=1}$点集合は${\displaystyle \{(0,1),(1,0),(1,1)\}}$⁠ .)

注記:もし私たちが選択するなら ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$複素数の分野では、適切な二次形式は全く存在しない。

選択${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$（有理数の領域）${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}+y^{2}}$適切です。

選択${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$（有理数の領域）${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}-2y^{2}}$も適切です。

注記：立体投影図は以下を示します。${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$平面の幾何学と同型である

射影3次元空間上の球面（指数1の非退化二次曲面）上の断面${\displaystyle K}$⁠ .

注記：ミケルの定理の古典的な（実数的な）場合の証明は、「ミケルの六円定理」という記事に記載されています。これは初等的な証明であり、円周角の定理に基づいています。

注記:ミケリアンではないメビウス平面は多数存在します(下記のウェブリンクを参照)。ミケリアン メビウス平面に最も類似しているクラスは、卵形メビウス平面です。卵形メビウス平面は、卵形の平面断面の幾何学です。卵形は二次集合であり、射影 3 次元空間の球と同じ幾何学的性質を持ちます。1) 直線は卵形と 0 点、1 点、または 2 点で交わり、2) 卵形の任意の点で接線の集合は接平面を形成します。実 3 次元空間の単純な卵形は、異なる楕円体の 2 つの適切な半分を貼り合わせることによって構成できますが、結果は二次曲面ではありません。有限の場合にも卵形が存在します (二次集合を参照)。卵形メビウス平面は、束定理によって特徴付けられます。

次数 の有限アフィン平面の一点拡張のパラメータを持つブロックデザイン${\displaystyle n}$つまり、${\displaystyle 3}$-${\displaystyle (n^{2}+1,n+1,1)}$-デザインは、次数 のメビウス平面です。${\displaystyle n}$⁠ .

これらの有限ブロックデザインは、円をデザインのブロックとして解釈した場合、メビウス平面を定義する公理を満たす。

メビウス平面の位数として知られている有限値は、素数または素数のべき乗のみです。また、既知の有限メビウス平面は、有限射影幾何学の範囲内で構築されています。

• 共形幾何学
• メビウスの変形

• Benz、W. (1973)、Vorlesungen über Geometrie der Algebren、Springer
• Buekenhout, F. 編 (1995)、Handbook of Incidence Geometry、Elsevier、ISBN 0-444-88355-X
• デンボウスキー、P. (1968)、有限幾何学、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 3-540-61786-8

• 数学百科事典におけるメビウス面
• 数学百科事典に掲載されているベンツ飛行機
• 講義ノート：平面円幾何学、メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門