スペクトル形状分析

スペクトル形状解析は、ラプラス・ベルトラミ演算子のスペクトル（固有値および/または固有関数）に基づいて、幾何学的形状を比較および解析します。ラプラス・ベルトラミ演算子のスペクトルは等長変換に対して不変であるため、人間、動物、植物などの曲げられる物体など、非剛体形状の解析または取得に適しています。

ラプラス・ベルトラミ演算子は、熱方程式や波動方程式など、多くの重要な微分方程式に関係しています。これは、リーマン多様体上で実数値関数fの勾配の発散として定義できます。

${\displaystyle \Delta f:=\operatorname {div} \operatorname {grad} f.}$

そのスペクトル成分は、ヘルムホルツ方程式（またはラプラシアン固有値問題）を解くことによって計算できます。

${\displaystyle \Delta \varphi _{i}+\lambda _{i}\varphi _{i}=0.}$

解は、正の実数の発散するシーケンスを表す固有関数（モード）と対応する固有値です。最初の固有値は、閉じた領域の場合、またはノイマン境界条件を使用する場合はゼロです。一部の形状（長方形、平坦なトーラス、円筒、ディスク、球など）では、スペクトルを解析的に計算できます。たとえば、球の場合、固有関数は球面調和関数です。 ${\displaystyle \varphi_{i}}$${\displaystyle \lambda_{i}}$

固有値と固有関数の最も重要な特性は、等長不変であることです。言い換えると、形状が引き伸ばされない場合 (たとえば、3 次元に曲げられた 1 枚の紙)、スペクトル値は変化しません。動物、植物、人間などの曲げられる物体は、関節を最小限に伸ばすだけで、さまざまな姿勢をとることができます。結果として得られる形状は、近等長と呼ばれ、スペクトル形状分析を使用して比較できます。

幾何学的形状は、多くの場合、2D 曲面、2D表面メッシュ(通常は三角形メッシュ)、または 3D ソリッド オブジェクト (ボクセルや四面体メッシュなど) として表現されます。ヘルムホルツ方程式は、これらすべてのケースで解くことができます。境界 (たとえば正方形) が存在する場合、または 3D 幾何学的形状の体積が存在する場合は、境界条件を指定する必要があります。

さまざまなタイプのジオメトリ表現に対して、ラプラス演算子の離散化がいくつか存在します (離散ラプラス演算子を参照)。これらの演算子の多くは、基礎となる連続演算子をうまく近似しません。

ShapeDNAは、最初のスペクトル形状記述子の1つです。これは、ラプラス・ベルトラミ演算子の固有値の正規化された開始シーケンスです。^{[1] [2]}その主な利点は、単純な表現（数値のベクトル）と比較、スケール不変性、そしてその単純さにもかかわらず非剛体形状の形状検索で非常に優れたパフォーマンスを発揮することです。^[3] shapeDNAの競合には、測地距離行列（SD-GDM）^[4]の特異値や縮小重調和距離行列（R-BiHDM）^[5]などがあります。 ただし、固有値はグローバル記述子であるため、shapeDNAやその他のグローバルスペクトル記述子は、ローカルまたは部分的な形状分析には使用できません。

ある点におけるグローバルポイントシグネチャ^[6]は、ラプラス・ベルトラミ演算子のスケールされた固有関数のベクトル（つまり、形状のスペクトル埋め込み）です。GPSは、部分的な形状マッチングには使用できないという意味でグローバルな特徴です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

熱核シグネチャ^[7]は熱核の固有分解を利用している。

${\displaystyle h_{t}(x,y)=\sum _{i=0}^{\infty }\exp(-\lambda _{i}t)\varphi _{i}(x)\varphi _{i}(y).}$

表面上の各点について、熱カーネルの対角線が特定の時間値でサンプリングされ、部分的なマッチングや対称性の検出にも使用できるローカル シグネチャが生成されます。 ${\displaystyle h_{t}(x,x)}$${\displaystyle t_{j}}$

WKS ^[8]は HKSと同様の考え方に従っており、熱方程式をシュレーディンガー波動方程式に置き換えています。

IWKS ^[9]は、固有値に新しいスケーリング関数を導入し、新しい曲率項を集約することで、非剛体形状検索のためのWKSを改良した。

SGWSは、等尺性不変であるだけでなく、コンパクトで計算が容易で、バンドパスフィルタとローパスフィルタの両方の利点を兼ね備えたローカル記述子です。SGWSの重要な側面は、WKSとHKSの利点を1つのシグネチャに組み合わせながら、形状の多重解像度表現を可能にすることです。^[10]

複雑な形状に関連付けられたグラフ ラプラシアンのスペクトル分解 (離散ラプラス演算子を参照) は、等長変換に対して不変な固有関数 (モード) を提供します。形状上の各頂点は、各点の固有モード値の組み合わせで一意に表現できます。これはスペクトル座標と呼ばれることもあります。

${\displaystyle s(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{N}(x)){\text{ 頂点xについて}$

スペクトルマッチングは、最も類似したスペクトル座標を持つ異なる形状の頂点をペアにして点の対応を確立することです。初期の研究^{[11] [12] [13]}は、立体視のためのスパース対応に焦点を当てていました。現在では計算効率が向上し、皮質表面間など、フルメッシュ上の密な対応が可能になっています。^[14]スペクトルマッチングは、画像に大きな変形がある場合に特に難しい、 複雑な非剛体画像登録にも使用できます。 ^[15] スペクトル固有モード値に基づくこのような画像登録方法は、確かにグローバルな形状特性を捉えており、多くの場合、ローカルな形状特性 (例: 画像の勾配) に基づく従来の非剛体画像登録方法とは対照的です。