密度行列

量子力学において、密度行列（または密度演算子）は、物理系の集合^[1]を量子状態として記述する行列である（集合に含まれる系が 1 つだけであっても）。これにより、ボルン則を用いて集合の系に対して実行される測定の結果の確率を計算することができる。これは、より一般的な状態ベクトルまたは波動関数の一般化である。これらは純粋状態のみを表すことができるが、密度行列は混合集合（あいまいに混合状態と呼ばれることもある）も表すことができる。混合集合は、量子力学において 2 つの異なる状況で生じる。

1. システムの準備によって集団内に多数の純粋状態がもたらされ、可能な準備の統計を扱わなければならない場合、
2. ある物理系とエンタングルメントが絡み合っている状態を、その結合状態を記述せずに記述したい場合。このケースは、何らかの環境と相互作用するシステム (例:デコヒーレンス) に典型的です。この場合、エンタングルメント システムの密度行列は、結合すると測定時に同じ統計結果をもたらす純粋な状態の集合の密度行列とは異なります。

したがって、密度行列は、量子統計力学、開放量子系、量子情報などの混合集団を扱う量子力学の分野では重要なツールとなります。

密度行列は、密度演算子と呼ばれる線形演算子の表現です。密度行列は、基礎となる空間の正規直交基底を選択することで密度演算子から得られます。 ^{[2]実際には、}密度行列と密度演算子という用語は同じ意味で使われることがよくあります。

2次元ヒルベルト空間で状態 を持つ基底を選択すると、密度演算子は、 対角要素が合計が1になる実数（2つの状態、の集団とも呼ばれる）である行列 によって表されます。非対角要素は、互いに複素共役です（コヒーレンスとも呼ばれます）。その大きさは、 が半正定値演算子であるという要件によって制限されます（以下を参照）。 ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$$${\displaystyle (\rho _{ij})=\left({\begin{matrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}p_{0}&\rho _{01}\\\rho _{01}^{*}&p_{1}\end{matrix}}\right)}$$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle (\rho _{ij})}$

密度演算子は、システムのヒルベルト空間に作用するトレース1の半正定値自己随伴演算子です。 ^{[3] [4] [5]}この定義は、いくつかの純粋状態(必ずしも直交しない)がそれぞれ の確率で準備される状況を考慮することで動機付けられます。^[6]これは純粋状態のアンサンブルとして知られています。プロジェクターを使用した場合に射影測定結果が得られる確率は^{[7] : 99}で与えられ、 これにより密度演算子 がこのアンサンブルの状態の便利な表現として定義されます 。この演算子が半正定値、自己随伴、トレース 1 を持つことは簡単に確認できます。逆に、スペクトル定理から、これらの特性を持つすべての演算子は、負でなく合計が1 になる状態と係数に対して と記述できることがわかります。 ^{[8] [7] : 102}ただし、シュレディンガー–HJW 定理で示されているように、この表現は一意ではありません。 ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Pi _{m}}$ $${\displaystyle p(m)=\sum _{j}p_{j}\left\langle \psi _{j}\right|\Pi _{m}\left|\psi _{j}\right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|\right)\right],}$$$${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|,}$$${\textstyle \sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|}$${\displaystyle \left|\psi _{j}\right\rangle }$${\displaystyle p_{j}}$

密度演算子を定義するもう一つの動機は、エンタングルメント状態における局所測定を考慮することから来ています。を合成ヒルベルト空間 における純粋なエンタングルメント状態とします。ヒルベルト空間 のみでプロジェクターを測定したときに測定結果が得られる確率は^[7]で与えられます^{: 107} ここで、 はヒルベルト空間 上の部分トレースを表します。これにより、演算子は これらの局所測定の確率を計算するのに便利なツールになります。これは、サブシステム 1 上の の縮小密度行列として知られています。この演算子が密度演算子のすべての特性を持つことは簡単に確認できます。逆に、シュレディンガー–HJW 定理は、すべての密度演算子が何らかの状態 に対してと表せることを意味します。 ${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Pi _{m}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$ $${\displaystyle p(m)=\left\langle \Psi \right|\left(\Pi _{m}\otimes I\right)\left|\Psi \right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\right)\right],}$$${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$$${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }$

純粋量子状態は、他の量子状態の確率的混合、または凸結合として記述できない状態です。 ^[5]密度演算子の言語では、純粋状態に相当する特徴付けがいくつかあります。^{[9] ： 73}密度演算子が純粋状態を表すのは、次の場合のみです。

• それは状態ベクトルとそれ自身の外積として表すことができる。つまり、${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |.}$$
• それは、特にランク1 の投影です。
• それは冪等性がある、つまり$${\displaystyle \rho =\rho ^{2}.}$$
• それは純粋さ1を持っている、つまり、$${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})=1.}$$

量子状態の確率的混合（つまり、アンサンブル）と 2 つの状態の重ね合わせの違いを強調することが重要です。アンサンブルのシステムの半分が状態 に、もう半分が状態 になるように準備されている場合、密度行列によって記述できます。 ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

ここで、とが直交し、次元が2であると仮定する。一方、これら2つの状態の等しい確率振幅を持つ量子重ね合わせは、密度行列を持つ 純粋状態をもたらす。${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}.}$

確率的混合とは異なり、この重ね合わせは量子干渉を示すことができる。^{[7] ：81}

幾何学的には、密度演算子の集合は凸集合であり、純粋状態はその集合の極値点である。最も単純なケースは、量子ビットと呼ばれる2次元ヒルベルト空間の場合である。量子ビットの任意の混合状態は、パウリ行列の線形結合として表すことができ、これは単位行列とともに自己随伴行列の基底を提供する：^{[10] ：126}${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

ここで実数は単位球内の点の座標であり、 ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

点は純粋状態を表し、混合状態は内部の点で表されます。これは、量子ビット状態空間のブロッホ球面図として知られています。 ${\displaystyle r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1}$

純粋状態と混合状態の例としては、光の偏光 が挙げられます。個々の光子は、直交量子状態および 、あるいはその 2 つの重ね合わせによって記述される右円偏光または左円偏光 を持つものとして記述できます。つまり、直線偏光、円偏光、または楕円偏光に対応する任意の状態( )をとることができます。ここで、状態 によって記述される垂直偏光光子を考えてみましょう。これを、偏光のみ、または偏光のみを通す円偏光子に通すと、どちらの場合も光子の半分が吸収されます。これにより、光子の半分が状態 で、残りの半分が状態 であるように見えるかもしれませんが、これは正しくありません。直線偏光子を通過すると吸収はまったくありませんが、いずれかの状態を通過すると光子の半分が吸収されます。 ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle =(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$${\displaystyle (|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$

非偏光光（白熱電球からの光など）は、（直線偏光、円偏光、楕円偏光）のいずれの状態としても記述できません。偏光とは異なり、偏光子の向きに関係なく、偏光子を通過すると 50% の強度損失が発生します。また、波長板を通過しても偏光にすることはできません。ただし、非偏光光は統計的な集合体として記述できます。たとえば、各光子は偏光または偏光のいずれかを 1/2 の確率で持っています。各光子が垂直偏光または水平偏光のいずれかを 1/2 の確率で持っていた場合も同じ動作が発生します。これらの 2 つの集合体は実験的に完全に区別できないため、同じ混合状態と見なされます。この非偏光の例では、密度演算子は^{[9]に等しくなります。75}${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {H} \rangle }$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\frac {1}{2}}|\mathrm {H} \rangle \langle \mathrm {H} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {V} \rangle \langle \mathrm {V} |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

非偏光光を生成する方法は他にもある。1つの可能性は、光子の準備に不確実性を導入することである。たとえば、光子を粗い表面を持つ複屈折結晶に通すと、光線のわずかに異なる部分が異なる偏光を獲得する。もう1つの可能性は、エンタングルメント状態を使用することである。放射性崩壊は、量子状態で反対方向に移動する2つの光子を放出することができる。2つの光子の結合状態は純粋であるが、結合密度行列の部分トレースを取ることによって得られる各光子の密度行列は完全に混合されている。^{[7] : 106}${\displaystyle (|\mathrm {R} ,\mathrm {L} \rangle +|\mathrm {L} ,\mathrm {R} \rangle )/{\sqrt {2}}}$

与えられた密度演算子は、どの純粋状態の集合がそれを生成するかを一意に決定するものではない。一般に、同じ密度行列を生成する集合は無限に存在する。^[11]これらはいかなる測定によっても区別できない。^[12]同値な集合は完全に特徴付けることができる。集合を とする。すると、任意の複素行列（部分等長）に対して、によって定義される 集合は${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$${\displaystyle \{q_{i},|\varphi _{i}\rangle \}}$

${\displaystyle {\sqrt {q_{i}}}\left|\varphi _{i}\right\rangle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}}\left|\psi _{j}\right\rangle }$

同じ密度演算子を生成し、同等の集合はすべてこの形式になります。

密接に関連する事実は、与えられた密度演算子には無限に多くの異なる精製があり、部分トレースを取ったときに密度演算子を生成する純粋な状態である。

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$

は集団によって生成される密度演算子であり、状態は必ずしも直交する必要 はない。すると、すべての部分等長変換に対して、${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}|\psi _{j}\rangle U|a_{j}\rangle }$

は の精製であり、 は直交基底であり、さらに のすべての精製はこの形式になります。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle |a_{j}\rangle }$${\displaystyle \rho }$

をシステムの観測可能量とし、集団が混合状態にあり、各純粋状態が確率 で発生すると仮定する。この場合、対応する密度演算子は ${\displaystyle A}$${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.}$

測定の期待値は、純粋状態の場合を拡張して計算できます。

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

ここで はトレースを表す。したがって、純粋状態を表す一般的な表現は次のように置き換えられる。 ${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)}$

混合州の場合^{[9] ：73}

さらに、スペクトル分解能を持つ 場合${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}P_{i},}$

ここで、は固有値に対応する固有空間への射影演算子であり、測定後の密度演算子は^{[13] [14]で与えられる。}${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}}$

結果iが得られた場合に、測定結果が不明な場合は、アンサンブルは次のように記述される。

${\displaystyle \;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

測定結果の確率が射影子の線形関数であると仮定すると、それらは密度演算子による射影子のトレースで与えられる必要がある。グリーソンの定理は、 3次元以上のヒルベルト空間では線形性の仮定を非文脈性の仮定に置き換えることができることを示している。^{[15]この次元の制限は、} POVMに対しても非文脈性を仮定することで取り除くことができるが、 ^{[16] [17]}これは物理的に根拠がないと批判されている。^[18]${\displaystyle P_{i}}$

混合物のフォン・ノイマン・エントロピーは 、 の固有値、または密度演算子 のトレースと対数で表すことができます。 は半正定値演算子であるため、となるスペクトル分解を持ちます。ここで、は正規直交ベクトル、、 です。密度行列を持つ量子システムのエントロピーは、${\displaystyle S}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|}$${\displaystyle |\varphi _{i}\rangle }$${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$${\displaystyle \textstyle \sum \lambda _{i}=1}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}$

この定義は、任意の純粋状態のフォン・ノイマン・エントロピーがゼロであることを意味する。^{[19] : 217}が直交部分空間上に支持される状態である場合、これらの状態の凸結合のフォン・ノイマン・エントロピーは、 ${\displaystyle \rho _{i}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},}$

は、状態のフォン・ノイマンエントロピーと確率分布のシャノンエントロピーによって与えられる。 ${\displaystyle \rho _{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

状態が直交するサポートを持たない場合、右辺の合計は凸結合のフォン・ノイマン・エントロピーよりも確実に大きくなります。^{[7] : 518}${\displaystyle \rho _{i}}$${\displaystyle \rho }$

前節と同様に密度演算子と射影測定が与えられた場合、凸結合によって定義される 状態は${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},}$

これは、測定を実行しても、どのような結果が生じたかを記録しないことにより生成された状態と解釈できます。 ^{[10] : 159}は、の場合を除き、 よりも大きなフォン・ノイマン・エントロピーを持ちます。ただし、一般化された測定、つまりPOVMによって生成された のフォン・ノイマン・エントロピーが よりも低くなる可能性があります。^{[7] : 514}${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho =\rho '}$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle \rho }$

シュレーディンガー方程式が純粋状態が時間とともにどのように発展するかを記述するのと同様に、フォン・ノイマン方程式（リウヴィル・フォン・ノイマン方程式とも呼ばれる）は密度演算子が時間とともにどのように発展するかを記述する。フォン・ノイマン方程式は次のように規定している^{[20] [21] [22]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\operatorname {d} \rho }{\operatorname {d} t}}=[H,\rho ]~,}$

ここで括弧は交換子を表します。

この方程式は、一見すると重要な符号の違いを伴い ながら、ハイゼンベルク運動方程式をハイゼンベルク描像で模倣しているように見えるものの、密度演算子がシュレーディンガー描像にある場合にのみ成立します。

${\displaystyle i\hbar {\frac {\operatorname {d} A^{(\mathrm {H} )}}{\operatorname {d} t}}=-\left[H,A^{(\mathrm {H} )}\right]~,}$

ここで はハイゼンベルク描像の演算子であるが、この描像では密度行列は時間依存ではなく、相対符号により期待値の時間微分はシュレーディンガー描像の場合と同じになることが保証される。^[5]${\displaystyle A^{(\mathrm {H} )}(t)}$${\displaystyle \langle A\rangle }$

ハミルトニアンが時間に依存しない場合、フォン・ノイマン方程式は簡単に解くことができ、

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.}$

より一般的なハミルトニアンでは、が何らかの区間上の波動関数の伝播関数である場合、同じ区間上の密度行列の時間発展は次のように表される。 ${\displaystyle G(t)}$

${\displaystyle \rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.}$

密度行列演算子は位相空間でも実現できる。ウィグナー写像の下では、密度行列は同等のウィグナー関数に変換される。

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

ウィグナー関数の時間発展を表す方程式はモヤル方程式として知られ、上記のフォン・ノイマン方程式のウィグナー変換である。

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},}$

ここではハミルトニアン、 はモヤル括弧、つまり量子交換子の変換です。 ${\displaystyle H(x,p)}$${\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}$

ウィグナー関数の発展方程式は、古典物理学のリウヴィル方程式という古典的な極限の方程式と類似しています。プランク定数が消失する極限では、位相空間における古典的なリウヴィル確率密度関数に簡約されます。 ${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle W(x,p,t)}$

密度行列は量子力学の基本的なツールであり、ほぼすべての種類の量子力学計算で少なくとも時々登場します。密度行列が特に役立ち、よく使用される具体的な例をいくつか次に示します。

• 統計力学では密度行列が使用され、最も顕著なのは、システムが非ゼロ温度で準備されているという考えを表現することです。正準アンサンブルを使用して密度行列を構成すると、形式 の結果が得られます。ここで、は温度の逆数、 はシステムのハミルトニアンです。 のトレースが1 に等しいという正規化条件により、分割関数は と定義されます。システムに含まれる粒子の数自体が確実でない場合は、グランドカノニカルアンサンブルを適用できます。グランドカノニカルアンサンブルでは、密度行列を作成するために にわたって合計された状態がフォック空間から抽出されます。^{[23] : 174}${\displaystyle \rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle (k_{\rm {B}}T)^{-1}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)}$
• 量子デコヒーレンス理論は、典型的には、非孤立量子系が測定装置を含む他の系とエンタングルメントを形成することを伴います。密度行列は、この過程を記述し、その結果を計算することをはるかに容易にします。量子デコヒーレンスは、環境と相互作用する系が、重ね合わせを示す純粋状態から、古典的な選択肢の非コヒーレントな組み合わせである混合状態に移行する理由を説明します。この遷移は、系と環境の組み合わせた状態が依然として純粋であるため、基本的に可逆的ですが、環境は非常に大きく複雑な量子系であり、それらの相互作用を逆転させることは不可能であるため、実用上は不可逆です。したがって、デコヒーレンスは量子力学の古典的限界を説明するのに非常に重要ですが、古典的な選択肢はすべて混合状態のままであり、波動関数の崩壊はそれらのうちの1つだけを選択するため、波動関数の崩壊を説明することはできません。^[24]
• 同様に、量子計算、量子情報理論、開放量子システム、および状態準備にノイズが多くデコヒーレンスが発生する可能性があるその他の分野では、密度行列が頻繁に使用されます。ノイズは、多くの場合、脱分極チャネルまたは振幅減衰チャネルを介してモデル化されます。量子トモグラフィーは、量子測定の結果を表すデータセットが与えられた場合に、それらの測定結果と一致する密度行列を計算するプロセスです。^{[25] [26]}
• 原子や分子など、多数の電子を持つシステムを解析する場合、不完全ではあるが有用な最初の近似は、電子を無相関として、またはそれぞれが独立した単一粒子波動関数を持つものとして扱うことです。これは、ハートリー・フォック法でスレーター行列式を構築する際の通常の出発点です。単一粒子波動関数を満たす電子がある場合、電子の集合は密度行列によって特徴付けることができます。${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle N}$${\textstyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

現在では、すべての自己随伴演算子が観測可能量を表すという量子力学の記述は成り立たないことが一般的に認められている。^{[27] [28]}このため、観測可能量は抽象的なC*-代数 A（演算子の代数として明確に表現されないもの）の要素と同一視され、状態はA上の正線型関数となる。しかし、 GNS構成を使用することで、演算子の部分代数としてAを実現するヒルベルト空間を復元することができる。

幾何学的には、C*-代数A上の純粋状態は、 A上のすべての状態の集合の極点となる状態です。GNS 構成の特性により、これらの状態はAの既約表現に対応します。

コンパクト演算子 K ( H )のC*-代数の状態は密度演算子と正確に対応しており、したがってK ( H )の純粋状態は量子力学の意味での純粋状態と正確に一致します。

C* 代数の定式化には、古典システムと量子システムの両方が含まれると考えられます。システムが古典的である場合、観測可能な代数はアーベル C* 代数になります。その場合、状態は確率測度になります。

密度演算子と密度行列の形式主義は、1927年にジョン・フォン・ノイマン^[29]によって導入され、その後独立して、あまり体系的ではないが、レフ・ランダウ^[30]によって、そして後に1946年にフェリックス・ブロッホ^[31]によって導入された。フォン・ノイマンは、量子統計力学と量子測定の理論の両方を開発するために密度行列を導入した。密度行列という名前自体は、 1932年にユージン・ウィグナーによって導入された古典統計力学における位相空間 確率測度（位置と運動量の確率分布）への古典的な対応に関係している。 ^[3]

対照的に、ランダウにインスピレーションを与えた動機は、複合量子システムのサブシステムを状態ベクトルで記述することが不可能であった。^[30]