ハワイアンイヤリング

数学において、ハワイアンイヤリング は、中心が で半径がのユークリッド平面上の円の和集合によって定義され、部分空間位相が備わった位相空間です。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \left({\tfrac {1}{n}},0\right)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

$${\displaystyle \mathbb {H} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \left(x-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}\right\}}.}$$

この空間は、互いに素な開区間の可算族の和集合の一点コンパクト化に同相である。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$

ハワイアンイヤリングは、1 次元のコンパクトな局所経路連結な距離化可能な空間です。はすべての非原点においてに局所同相ですが、 では半局所的に単連結ではありません。したがって、は単連結な被覆空間を持たず、この複雑さを伴う空間の最も単純な例として通常与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle \mathbb {H} }$

ハワイアン イヤリングは、可算無限個の円のくさび和、つまり無限の花びらを持つバラに非常によく似ていますが、これら 2 つの空間は同相ではありません。これらの位相の違いは、ハワイアン イヤリングでは、円の交点のすべての開近傍に有限個を除くすべての円が含まれる ( (0, 0)の周りのε球には、半径がε /2未満のすべての円が含まれる) のに対し、バラでは、交点の近傍にどの円も完全には含まれない可能性があるという点に見られます。さらに、バラはコンパクトではありません。区別された点の補集合は、開区間の無限和です。これに、区別された点の小さな開近傍を追加すると、有限の部分被覆のない 開被覆が得られます。

ハワイアン イヤリングは、単連結でも半局所単連結でもありません。これは、すべてのn番目の円をパラメータ化するループが自明なループにホモトピックではないためです。したがって、 には、ハワイアン イヤリング グループと呼ばれることもある非自明な基本群があります。ハワイアン イヤリング グループは無数であり、自由群ではありません。ただし、のすべての有限生成サブグループが自由であるという意味で、 は局所的に自由です。 ${\displaystyle n\geq 1,}$${\displaystyle \ell_{n}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$  ${\displaystyle G=\pi _{1}(\mathbb {H} ,(0,0)),}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

個々のループのホモトピー類は、可算無限数の生成元上の自由群を生成し、これは の適切な部分群を形成します。 の非可算多数の他の元は、その像がハワイアンイヤリングの円の有限個に含まれないループから生じます。実際、それらのいくつかは射影的です。たとえば、区間 上のパスはn番目の円を周回します。より一般的には、各 について、ループとその逆が積内に有限回しか現れない 場合、任意の可算線形順序でインデックス付けされたループの無限積を形成できます。${\displaystyle \ell_{n}}$ ${\displaystyle \langle [\ell _{n}]\mid n\geq 1\rangle }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [2^{-n},2^{-n+1}]}$${\displaystyle \ell_{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle \ell_{n}}$

ジョン・モーガンとイアン・モリソンによる結果で、 n 個の生成元を持つ自由群の逆極限にが埋め込まれます。ここで、からへの結合写像は、の最後の生成元を単純に消滅させます。しかし、の各ループはの各円を有限回しか通過できないため、 は逆極限の適切な部分群です。 の元に対応しない逆極限の元の例としては、交換子の無限積が挙げられます。これは、逆極限 のシーケンスとして正式に現れます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varprojlim F_{n}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n-1}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle G}$${\textstyle \prod _{n=2}^{\infty }[\ell _{1}\ell _{n}\ell _{1}^{-1}\ell _{n}^{-1 }]}$${\displaystyle \left(1,[\ell _{1}][\ell _{2}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{2}]^{-1} ,[\ell _{1}][\ell _{2}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{2}]^{-1}[\ell _{1} ][\エル_{3}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{3}]^{-1},\dots \right)}$${\displaystyle \varprojlim F_{n}}$

江田勝也と川村和弘は、のアーベル化、したがって第一特異ホモロジー群が群と同型であること を証明した。${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H_{1}(\mathbb {H} )}$

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right)\oplus \left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big }}\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right).}$$

最初の加数は、無限巡回群（ベーア・スペッカー群）の無限個のコピーの直積である。この因子は、のすべての円のまわりに巻数が 1 でないループの特異ホモロジー類を表し、まさに最初のチェフ特異ホモロジー群である。さらに、は の無限アーベル化と考えることができる。これは、自然準同型 の核のすべての要素が交換子の無限積で表されるからである。 の2番目の加数は、のすべての円のまわりの巻数が 0 であるループで表されるホモロジー類、すなわち自然準同型 の核から構成される。 との同型の存在は、無限アーベル群論を使用して抽象的に証明されており、幾何学的解釈はない。 ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle {\check {H}}_{1}(\mathbb {H} )}$${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle G}$${\textstyle G\to \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$${\displaystyle H_{1}(\mathbb {H} )}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\textstyle H_{1}(\mathbb {H} )\to \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big /}\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$

は非球面空間であることが知られています。つまり、 のすべての高次ホモトピー群とホモロジー群は自明です。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

ハワイアンイヤリングは高次元に一般化できる。このような一般化は、マイケル・バラットとジョン・ミルナーによって、空間の次元よりも高い次元で非自明な特異ホモロジー群を持つコンパクトな有限次元空間の例を提供するために使用された。次元ハワイアンイヤリングは次のように定義される。 ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbb {H} _{k}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k+1}:\left(x_{0}-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}.}$

したがって、は、共通点が 1 つあるk球の可算和であり 、位相は、球の直径が としてゼロに収束する計量によって与えられます。あるいは、は、互いに素な s の可算和のアレクサンドロフコンパクト化として構築することもできます。再帰的に、収束する数列からなる が得られ、は元のハワイアンイヤリングであり、簡約されたサスペンションと同相です。 ${\displaystyle \mathbb {H} _{k}}$${\displaystyle n\to \infty .}$${\displaystyle \mathbb {H} _{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {H} _{0}}$${\displaystyle \mathbb {H} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {H} _{k+1}}$ ${\displaystyle \Sigma \mathbb {H} _{k}}$

に対して、次元ハワイアンイヤリングはコンパクトで、連結かつ局所連結な である。 に対して、 はベーア・スペッカー群と同型であることが知られている。${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k-1)}$${\displaystyle (k-1)}$${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle \pi _{k}(\mathbb {H} _{k})}$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} .}$

およびバラットとミルナーは、特異ホモロジー群が各そのような に対して非自明な不可算群であることを示した。[ 1 ^]${\displaystyle q\equiv 1{\bmod {(}}k-1)}$${\displaystyle q>1,}$ ${\displaystyle H_{q}(\mathbb {H} _{k};\mathbb {Q} )}$${\displaystyle q}$

• トポロジのリスト

• キャノン、ジェームズ W. ; コナー、グレゴリー R. (2000)、「大きな基本群、大きなハワイアンイヤリング、そして大きな自由群」、トポロジーとその応用、106 (3): 273–291、doi : 10.1016/S0166-8641(99)00104-2、MR  1775710。
• コナー、グレゴリー、スペンサー、K.（2005）、「ハワイアンイヤリンググループの異常な行動」、グループ理論ジャーナル、8（2）：223-227、doi：10.1515/jgth.2005.8.2.223、MR  2126731。
• 江田勝也(2002)、「1次元ワイルドスペースの基本群とハワイアンイヤリング」(PDF)、アメリカ数学会紀要、130 (5): 1515–1522、doi : 10.1090/S0002-9939-01-06431-0、MR  1879978。
• 江田勝也、河村和弘 (2000)、「ハワイアンイヤリングの特異ホモロジー」、ロンドン数学会誌、62 (1): 305–310、doi :10.1112/S0024610700001071、MR  1772189。
• ファベル、ポール (2005)、「位相的ハワイアンイヤリング群は自由群の逆極限に埋め込まれない」、代数的および幾何学的トポロジー、5 (4): 1585–1587、arXiv : math/0501482、Bibcode :2005math......1482F、doi :10.2140/agt.2005.5.1585、MR  2186111。
• モーガン、ジョン W. ; モリソン、イアン (1986)、「弱い結合に対するファン・カンペンの定理」、ロンドン数学会紀要、53 (3): 562–576、doi :10.1112/plms/s3-53.3.562、MR  0868459。