ベーテ格子

統計力学と数学において、ベーテ格子（正則木とも呼ばれる）は、すべての頂点が同じ数の隣接点を持つ無限に接続された閉路のないグラフです。ベーテ格子は、1935 年にハンス ベーテによって物理学の文献に導入されました。このようなグラフでは、各ノードはz個の隣接点に接続されています。数値zは、分野に応じて 配位数または次数と呼ばれます。

このグラフ上の格子モデルの統計力学は、その独特な位相構造により、他の格子モデルよりも簡単に解けることがよくあります。解は、これらのシステムでよく使用されるベーテ仮説に関連しています。

ベーテ格子を扱う場合、グラフのローカルな特性を考慮するときに参照ポイントとして使用するために、特定の頂点をルートとしてマークすると便利なことがよくあります。

頂点がルートとしてマークされると、ルートからの距離に基づいて他の頂点をレイヤーにグループ化できます。ルートからの距離にある頂点の数は です。これは、ルート以外の各頂点はルートから 1 大きい距離にある頂点に隣接しており、ルートは距離 1 にある頂点に隣接しているためです。 ${\displaystyle d>0}$${\displaystyle z(z-1)^{d-1}}$${\displaystyle z-1}$${\displaystyle z}$

ベーテ格子は統計力学において興味深いものです。それは主に、ベーテ格子上の格子モデルが、2 次元正方格子などの他の格子上の格子モデルよりも解きやすいことが多いためです。これは、サイクルがないため、より複雑な相互作用の一部が除去されるためです。ベーテ格子は他の格子ほど物理的材料内の相互作用を厳密に近似しているわけではありませんが、それでも有用な洞察を提供できます。

イジングモデルは強磁性の数学的モデルであり、物質の磁気特性は格子内の各ノードにおける「スピン」によって表され、スピンは +1 または -1 のいずれかになります。このモデルには、隣接するノード間の相互作用の強さを表す定数と、外部磁場を表す 定数も備わっています。${\displaystyle K}$${\displaystyle h}$

ベーテ格子上のイジングモデルは、分割関数によって定義される。

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{(i,j)}\sigma _{i}\sigma _{j}+h\sum _{i}\sigma _{i}\right).}$

局所磁化を計算するために、格子を頂点を削除していくつかの同一の部分に分割することができます。これにより、n個のシェルを持つケーリーツリー（ベーテ格子の有限類似体） の磁化を計算できる再帰関係が得られます。

${\displaystyle M={\frac {e^{h}-e^{-h}x_{n}^{q}}{e^{h}+e^{-h}x_{n}^{q}}},}$

ここで、の値は再帰関係を満たす。 ${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle x_{n}={\frac {e^{-K+h}+e^{Kh}x_{n-1}^{q-1}}{e^{K+h}+e^{-Kh}x_{n-1}^{q-1}}}$

系が強磁性体の場合、上記のシーケンスは収束するので、ベーテ格子上の磁化を評価するために極限をとることができます。 ${\displaystyle K>0}$

${\displaystyle M={\frac {e^{2h}-x^{q}}{e^{2h}+x_{q}}},}$ここで、x はの解です。 ${\displaystyle x={\frac {e^{-K+h}+e^{Kh}x^{q-1}}{e^{K+h}+e^{-Kh}x^{q-1}}}}$

この方程式には 1 つか 3 つの解があります。解が 3 つある場合、シーケンスは のときに最小の解に収束し、 のときに最大の解に収束します。 ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle h<0}$

イジング模型における格子の各位置での 自由エネルギーfは次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {f}{kT}}={\frac {1}{2}}[-Kq-q\ln(1-z^{2})+\ln(z^{2}+1-z(x+1/x))+(q-2)\ln(x+1/x-2z)]}$、

ここで、およびは前と同じです。^[1]${\displaystyle z=\exp(-2K)}$${\displaystyle x}$

ある頂点から始まる次数ベーテ格子上のランダムウォークが最終的にその頂点に戻る確率はで与えられます。これを示すために、が距離から出発点に戻る確率であるとします。再帰関係は次のようになります。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle {\frac {1}{z-1}}}$${\displaystyle P(k)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle P(k)={\frac {1}{z}}P(k-1)+{\frac {z-1}{z}}P(k+1)}$

すべての に対して、始点以外の各位置では始点から離れる辺と始点に向かう辺が1つずつある。この式を 全体にわたって合計すると、次のようになる。 ${\displaystyle k>1}$${\displaystyle z-1}$${\displaystyle k>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(k)={\frac {1}{z}}P(0)+{\frac {1}{z}}P(1) +\sum _{k=2}^{\infty }P(k)}$。

となるのは、開始頂点に戻ったばかりであることを示しているため、 となり、これが必要な値となります。 ${\displaystyle P(0)=1}$${\displaystyle P(1)=1/(z-1)}$

これは、戻り確率が1であることで有名な2次元正方格子上のランダムウォークの場合とはまったく対照的であることに注意する。^[2]このような格子は4正則であるが、4正則ベーテ格子の戻り確率は1/3である。

下から次数でベテ格子の任意の頂点から始まる長さ の閉じたウォークの数は簡単に制限できます。各ステップを外向きステップ (開始頂点から離れる) または内向きステップ (開始頂点に向かう) のいずれかと見なすことで、長さ の閉じたウォークは必ず正確に 個の外向きステップと個の内向きステップを持つことがわかります。また、どの時点でも内向きステップが外向きステップより多く取られることはない可能性があるため、ステップ方向 (内向きまたは外向き) のシーケンスの数は 番目のカタラン数で与えられます。外向きステップごとに少なくとも 個の選択肢があり、内向きステップごとに常に正確に 1 つの選択肢があるため、閉じたウォークの数は少なくとも 個です。 ${\displaystyle 2k}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle z-1}$${\displaystyle (z-1)^{k}C_{k}}$

この境界は厳密なものではなく、開始頂点から外向きのステップを選択する選択肢があり、これは開始時と歩行中に何回でも発生します。歩行の正確な回数を計算するのは難しく、次の式で与えられます。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle (z-1)^{k}C_{k}\cdot {\frac {z-1}{z}}\ _{2}F_{1}(k+1/2,1,k+ 2,4(z-1)/z^{2}),}$

ここでガウス超幾何関数である。^[3]${\displaystyle _{2}F_{1}(\alpha ,\beta ,\gamma ,z)}$

この事実を利用して、 -正則グラフの 2 番目に大きい固有値を制限することができます。 を頂点を持つ-正則グラフとし、 をその隣接行列とします。すると、は長さ の閉じたウォークの数になります。 上の閉じたウォークの数は、特定の頂点で始まる次数 のベーテ格子上の閉じたウォークの数の少なくとも倍です。これは、ベーテ格子上のウォークを、特定の頂点で始まり、すでに踏まれたパスのみに戻る 上のウォークにマッピングできるためです。 にはさらに多くのウォークが存在することがよくあります。これは、サイクルを使用して追加のウォークを作成できるためです。 の最大固有値はであり、を固有値の 2 番目に大きい絶対値とすると、 ${\displaystyle d}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\text{tr}}A^{2k}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \lambda_{2}}$

${\displaystyle n(d-1)^{k}C_{k}\leq {\text{tr}}A^{2k}\leq d^{2k}+(n-1)\lambda _{2}^{2k}.}$

これにより、 が得られます。 が大きくなるにつれて、 がよりもずっと速く大きくなるようにすると、任意の に対して、固有値の 2 番目に大きい絶対値が最大で である-正則グラフは有限個しか存在しないことがわかります。これは、 (n,d,λ)-グラフの研究におけるかなり興味深い結果です。 ${\displaystyle \lambda _{2}^{2k}\geq {\frac {1}{n-1}}(n(d-1)^{k}C_{k}-d^{2k})}$${\displaystyle C_{k}=(4-o(1))^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda <2{\sqrt {d-1}}.}$

偶数配位数 2 nのベーテグラフは、自由生成集合に関して ランクnの自由群の無向ケーリーグラフと同型です。

ベーテ格子は、フックス群などの特定の双曲リー群の離散部分群としても出現する。したがって、ベーテ格子もリー群内の格子という意味での格子である。

双曲面の整列アピロゴナルタイルの頂点と辺は次数のベーテ格子を形成する。^[4]${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

• 結晶

• ハサミ州ベテ(1935 年)。 「超格子の統計理論」。手順R. Soc.ロンド。 Ａ．​ 150 (871): 552–575。Bibcode :1935RSPSA.150..552B。土井：10.1098/rspa.1935.0122。Zbl  0012.04501。
• Ostilli, M. (2012). 「ケイリー木とベーテ格子、数学者と物理学者のための簡潔な分析」. Physica A. 391 ( 12): 3417. arXiv : 1109.6725 . Bibcode :2012PhyA..391.3417O. doi :10.1016/j.physa.2012.01.038. S2CID  119693543.