分数座標

結晶学において、分数座標系（結晶座標系）は、空間を記述するために使用される基底ベクトルが結晶（周期的）パターンの格子ベクトルである座標系である。原点と基底の選択により、格子基底ベクトルによって定義される単位セル、平行四辺形（2D）または平行六面体（3D）の高次元での一般化）が定義される。ここで、は空間の次元である。これらの基底ベクトルは、格子基底ベクトルの長さ とそれらの間の角度で構成される格子パラメータ（格子定数）によって記述される。 ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{d}}$${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}}$

結晶学のほとんどの場合は、2 次元または 3 次元空間を扱います。3 次元の場合、基底ベクトルは一般に と表示され、その長さはそれぞれで表され、角度は で表されます。ここで、慣例的に、はと の間の角度、はと の間の角度、 はと の間の角度です。 ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$

結晶構造は、結晶内の原子の空間分布として定義され、通常は無限結晶パターンという概念によってモデル化されます。無限結晶パターンとは、結晶に対応する無限の 3D 周期配列を指し、配列の周期の長さは任意に小さくすることはできません。結晶構造をそれ自身と一致させる幾何学的シフトは、結晶構造の対称移動 (平行移動) と呼ばれます。このシフトに関連するベクトルは平行移動ベクトル と呼ばれます。結晶パターンは周期的であるため、平行移動ベクトルのすべての整数線形結合は、それ自体も平行移動ベクトルです。^[1]${\displaystyle \mathbf {t} }$

${\displaystyle \mathbf {t} =c_{1}\mathbf {t} _{1}+c_{2}\mathbf {t} _{2}{\text{ where }}c_{1},c_{2}\in \mathbb {Z} }$

ベクトル格子（格子）は、結晶パターンのすべての並進ベクトルからなる無限集合として定義されます。ベクトル格子内の各ベクトルは、格子ベクトルと呼ばれます。ベクトル格子から、点格子を構築することができます。これは、位置ベクトルを持つ原点を選択することにより行われます。各ベクトルの端点は、およびの点格子を構成します。点格子内の各点には周期性があります。つまり、各点は同一であり、同じ周囲を持ちます。任意の原点を選択してベクトル格子の格子ベクトルとペアにすることができるため、特定のベクトル格子には無数の点格子が存在します。並進によって互いに一致する点または粒子は、並進等価と呼ばれます。^[1]${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {t} _{i}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle X_{0}}$

通常、空間を幾何学的に記述する場合、原点の選択と、線形独立で共面ではない基底ベクトルの基底で構成される座標系が使用されます。ここで、 は記述する空間の次元です。この座標系を参照して、空間内の各点は座標 (座標の組) で指定できます。原点は座標 を持ち、任意の点は座標 を持ちます。位置ベクトルは次のようになります。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle (0,0,\dots ,0)}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{d})}$${\displaystyle {\vec {OP}}}$

${\displaystyle {\vec {OP}}=\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{d}x_{i}\mathbf {a} _{i}}$

次元では、基底ベクトルの長さは で表され、それらの間の角度はで表されます。しかし、結晶学のほとんどの場合は、2 次元または 3 次元空間で行われ、基底ベクトルは通常 と のように表示され、その長さと角度はそれぞれ と で表されます。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{d}}$${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$

広く使われている座標系は直交基底ベクトルからなる直交座標系である。これは、

${\displaystyle a_{1}=|\mathbf {a} _{1}|=a_{2}=|\mathbf {a} _{2}|=\dots =a_{d}=|\mathbf {a} _{d}|=1}$そして${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\dots =\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}=90^{\circ }}$

しかし、結晶構造や周期構造を持つ物体を記述する場合、デカルト座標系は格子の対称性を最も単純な方法で反映しないことが多いため、あまり有用ではないことが多い。^[1]

結晶学では、結晶パターン（または空間内の他の周期的パターン）の基礎となる格子の対称性をよりよく反映するために、分数座標系が使用されます。分数座標系では、座標系の基底ベクトルは格子ベクトルになるように選択され、その基底は結晶学的基底（または格子基底）と呼ばれます。

格子基底では、任意の格子ベクトルは次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {t} }$

${\displaystyle \mathbf {t} =\sum _{i=1}^{d}c_{i}\mathbf {a} _{i}{\text{ where }}c_{i}\in \mathbb {Q} }$

結晶パターンの格子基底は無数にあります。しかし、パターンの最も単純な記述が得られるような方法でこれらを選ぶことができます。これらの基底は国際結晶学表 A 巻で使用されており、慣用基底と呼ばれています。格子基底は、基底ベクトルが格子ベクトルであり、すべての格子ベクトルが次のように表せる 場合、原始的と呼ばれます。${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},...,\mathbf {a} _{d}}$${\displaystyle \mathbf {t} }$

${\displaystyle \mathbf {t} =\sum _{i=1}^{d}c_{i}\mathbf {a} _{i}{\text{ where }}c_{i}\in \mathbb {Z} }$

しかし、結晶パターンの従来の基底は、必ずしも原始的であるように選択されるわけではありません。 代わりに、直交基底ベクトルの数が最大になるように選択されます。 その結果、上記の式の係数の一部は分数になります。 従来の基底が原始的である格子は原始格子と呼ばれ、非原始的な従来の基底を持つ格子は中心格子と呼ばれます。

原点と基底の選択は、結晶パターンの記述に使用できる単位格子の選択を意味します。単位格子は、すべての点の座標が次のようになる平行四辺形 (2D) または平行六面体 (3D) の高次元での一般化である平行四辺形として定義されます。 ${\displaystyle 0\leq x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}<1}$

さらに、単位格子の外側の点は、標準化、つまり点の座標に整数を加算または減算して を保証することによって、単位格子の内側に変換することができます。分数座標系では、基底ベクトルの長さとそれらの間の角度は、格子の格子パラメータ（格子定数）と呼ばれます。2次元と3次元では、これらは単位格子の辺間の長さと角度に対応します。^[1]${\displaystyle 0\leq x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}<1}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},...,\mathbf {a} _{d}}$${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}}$

格子基底ベクトルによる 空間内の点の分数座標は次のように定義される。${\displaystyle \rho =(\rho _{x_{1}},\rho _{x_{2}},\dots ,\rho _{x_{d}})}$

${\displaystyle \rho =\rho _{x_{1}}\mathbf {a} _{1}+\rho _{x_{2}}\mathbf {a} _{2}+\dots +\rho _{x_{d}}\mathbf {a} _{d}{\text{ where }}\rho \in [0,1)}$

分数座標と直交座標の関係は行列変換によって記述できる：^[2]${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {A} {\boldsymbol {\rho }}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}\sin(\alpha _{2}){\sqrt {1-(\cot(\alpha _{1})\cot(\alpha _{2})-\csc(\alpha _{1})\csc(\alpha _{2})\cos(\alpha _{3}))^{2}}}&0&0\\a_{1}\csc(\alpha _{1})\cos(\alpha _{3})-a_{1}\cot(\alpha _{1})\cos(\alpha _{2})&a_{2}\sin(\alpha _{1})&0\\a_{1}\cos(\alpha _{2})&a_{2}\cos(\alpha _{1})&a_{3}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}}$

同様に、直交座標は行列変換を使用して分数座標に戻すことができる：^[2]${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {r} }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\csc(\alpha _{2})}{a_{1}{\sqrt {1-(\cot(\alpha _{1})\cot(\alpha _{2})-\csc(\alpha _{1})\csc(\alpha _{2})\cos(\alpha _{3}))^{2}}}}}&0&0\\{\frac {\csc ^{2}(\alpha _{1})\csc(\alpha _{2})(\cos(\alpha _{1})\cos(\alpha _{2})-\cos(\alpha _{3}))}{a_{2}{\sqrt {1-(\cot(\alpha _{1})\cot(\alpha _{2})-\csc(\alpha _{1})\csc(\alpha _{2})\cos(\alpha _{3}))^{2}}}}}&{\frac {\csc(\alpha _{1})}{a_{2}}}&0\\{\frac {\csc(\alpha )(\cot(\alpha _{1})\csc(\alpha _{2})\cos(\alpha _{3})-\csc(\alpha _{1})\cot(\alpha _{2}))}{a_{3}{\sqrt {1-(\cot(\alpha _{1})\cot(\alpha _{2})-\csc(\alpha _{1})\csc(\alpha _{2})\cos(\alpha _{3}))^{2}}}}}&-{\frac {\cot(\alpha _{1})}{a_{3}}}&{\frac {1}{a_{3}}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}}$

分数座標と直交座標を変換するもう 1 つの一般的な方法は、直交座標で表現された空間の各基底ベクトルを含むセル テンソル を使用することです。 ${\displaystyle \mathbf {h} }$

直交座標では、 2つの基底ベクトルはセルテンソルによって表される: ^[3]${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle \mathbf {h} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}\end{pmatrix}}}$

単位セルの面積 は、セル行列の行列式によって与えられます。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}a_{2,x_{2}}-a_{1,x_{2}}a_{2,x_{2}}}$

正方形または長方形の単位セルの特殊なケースでは、行列は対角行列となり、次のようになります。

${\displaystyle A=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}a_{2,x_{2}}}$

分数座標と直交座標の関係は行列変換によって記述できる：^[3]${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {h} {\boldsymbol {\rho }}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\end{pmatrix}}}$

同様に、直交座標は行列変換を使用して分数座標に戻すことができる：^[3]${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {h} ^{-1}\mathbf {r} }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\end{pmatrix}}}$

直交座標では、 3つの基底ベクトルはセルテンソルによって表される: ^[3]${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle \mathbf {h} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&a_{1,x_{3}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&a_{2,x_{3}}\\a_{3,x_{1}}&a_{3,x_{2}}&a_{3,x_{3}}\end{pmatrix}}}$

単位セルの体積 は、セルテンソルの行列式によって与えられます。 ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}(a_{2,x_{2}}a_{3,x_{3}}-a_{2,x_{3}}a_{3,x_{2}})-a_{1,x_{2}}(a_{2,x_{1}}a_{3,x_{3}}-a_{2,x_{3}}a_{3,x_{1}})-a_{1,x_{3}}(a_{2,x_{1}}a_{3,x_{2}}-a_{2,x_{2}}a_{3,x_{1}})}$

立方体、正方体、または斜方晶系のセルの特殊なケースでは、行列は対角であり、次のようになります。

${\displaystyle V=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}a_{2,x_{2}}a_{3,x_{3}}}$

分数座標と直交座標の関係は行列変換によって記述できる：^[3]${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {h} {\boldsymbol {\rho }}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&a_{1,x_{3}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&a_{2,x_{3}}\\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}}$

同様に、直交座標は行列変換を使用して分数座標に戻すことができる：^[3]${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {h} ^{-1}\mathbf {r} }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&a_{1,x_{3}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&a_{2,x_{3}}\\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}}$

直交座標では基底ベクトルはセルテンソルで表される: ^[3]${\displaystyle d}$${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle \mathbf {h} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\dots &\mathbf {a} _{d}\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&\dots &a_{1,x_{d}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&\dots &a_{2,x_{d}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&\dots &a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}}$

単位セルの超体積 は、セルテンソルの行列式によって与えられます。 ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\det(\mathbf {h} )}$

分数座標と直交座標の関係は行列変換によって記述できる：^[3]${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {h} {\boldsymbol {\rho }}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\\vdots \\r_{x_{d}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&\dots &a_{1,x_{d}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&\dots &a_{2,x_{d}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&\dots &a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\vdots \\\rho _{x_{d}}\end{pmatrix}}}$

同様に、直交座標は変換を使用して分数座標に戻すことができます。^[3]${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {h} ^{-1}\mathbf {r} }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\vdots \\\rho _{x_{d}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&\dots &a_{1,x_{d}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&\dots &a_{2,x_{d}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&\dots &a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\\vdots \\r_{x_{d}}\end{pmatrix}}}$

計量テンソルは単位格子を含む計算に使われることもあり、次のように定義される（行列形式）。^[1]${\displaystyle \mathbf {G} }$

2次元では、

${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{2}&a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{1})\\a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{1})&a_{2}^{2}\end{pmatrix}}}$

3次元では、

${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{2}&a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{3})&a_{1}a_{3}\cos(\alpha _{2})\\a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{3})&a_{2}^{2}&a_{2}a_{3}\cos(\alpha _{1})\\a_{1}a_{3}\cos(\alpha _{2})&a_{2}a_{3}\cos(\alpha _{1})&a_{3}^{2}\end{pmatrix}}}$

単位格子内の2点間の距離は、次の関係から決定できる: ^[1]${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle d_{qr}^{2}=\sum _{i,j}g_{ij}(r_{i}-q_{i})(r_{j}-q_{j})}$

単位格子の原点から単位格子内の点までの距離は、次の関係式から求めることができる: ^[1]${\displaystyle Q}$

${\displaystyle OQ=r_{q};r_{q}^{2}=\sum _{i,j}g_{ij}q_{i}q_{j}}$

単位格子内の3点、（頂点）、およびから形成される角度は、次の関係式から決定できる。 ^[1]${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \cos(QPR)=(r_{pq})^{-1}(r_{pr})^{-1}\sum _{i,j}g_{ij}(q_{i}-p_{i})(r_{j}-p_{j})}$

単位格子の体積は次の関係から決定できる: ^[1]${\displaystyle V}$

${\displaystyle V^{2}=\det(\mathbf {G} )}$