シュヴァルツシルト座標

ローレンツ多様体の理論では、球対称時空は入れ子状の球の族を許容する。このような時空において、特に重要な座標系の一つがシュワルツシルト座標系である。これは静的かつ球対称な時空上の極座標球面座標系の一種であり、これらの入れ子状の球に適合している。シュワルツシルト座標系の決定的な特徴は、各球の表面積とガウス曲率に関して、動径座標が自然な幾何学的解釈を持つ点にある。ただし、動径距離と角度は正確には表現されない。

これらの図表は、一般相対性理論などの重力の計量理論において多くの応用例があります。これらは、静的な球対称時空で最もよく使用されます。一般相対性理論の場合、バーコフの定理は、アインシュタイン場方程式のすべての孤立した球対称真空解または電気真空解は静的であると述べていますが、これは完全流体には当てはまりません。球対称ブラックホールの事象の地平線の内側にあるシュワルツシルト真空解の外部領域の拡張は、地平線の内側では静的ではなく、(空間的な)入れ子状の球の族は地平線の内側に拡張できないため、この解のシュワルツシルト図表は必然的に地平線で破綻します。

メトリックテンソルの指定${\displaystyle g}$は、任意のローレンツ多様体の定義の一部です。このテンソルを定義する最も簡単な方法は、互換性のある局所座標チャートで定義し、チャートの領域の重なり部分で同じテンソルが定義されていることを確認することです。この記事では、単一のチャートの領域で計量テンソルを定義することのみを試みます。

シュワルツシルト図（静的な球対称時空上）では、線要素は次の形式をとる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}g&=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\\&=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega }\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}-\infty &<t<\infty ,\,&r_{0}&<r<r_{1},\,\\0&<\theta <\pi ,\,&-\pi &<\phi <\pi \end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$は標準球面座標であり、${\displaystyle g_{\Omega }}$は単位2次元球面上の標準的な計量です。この式のより詳細な導出については、「シュワルツシルト解の導出」を参照してください。

文脈によっては、aとbを動径座標の未定関数とみなすのが適切な場合もある（例えば、アインシュタイン場の方程式の厳密な静的球対称解を導出する場合など）。あるいは、特定の関数（場合によってはいくつかのパラメータに依存する）を代入することで、特定のローレンツ時空上のシュワルツシルト座標系を得ることができる。

もしこれが、結果として得られるモデルがアインシュタイン場の方程式を満たすような応力エネルギーテンソルを許容することが判明した場合（例えば、適切なエネルギー条件および妥当な完全流体に期待されるその他の特性を満たす静的な球対称完全流体の場合）、物質密度や運動量密度などの物理量を表す適切なテンソル場を用いることで、おそらくより大きな時空の一部、すなわちアインシュタイン場の方程式の局所解とみなせる部分を得ることができます。

シュヴァルツシルト図表に関して言えば、キリングベクトル場のリー代数は時間的非回転キリングベクトル場 によって生成される。$$\displaystyle \partial _{t}}$$^{[注1 ]} および3つの空間的キリングベクトル場 $${\displaystyle \partial _{\phi }}$$$${\displaystyle \sin \phi \,\partial _{\theta }+\cot \theta \,\cos \phi \,\partial _{\phi }}$$$${\displaystyle \cos \phi \,\partial _{\theta }-\cot \theta \,\sin \phi \,\partial _{\phi }}$$ ここで、${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$非回転であるということは、対応する時間的合同の渦度テンソルがゼロになることを意味します。したがって、このキリングベクトル場は超曲面直交です。我々の時空が非回転の時間的キリングベクトル場を許容するという事実は、実際には静的時空の定義特性です。その直接的な結果の1つは、定時間座標曲面が$t=t_0$（等長）空間超スライスの族を形成する。（ただし、例えばカー真空の外部領域におけるボイヤー・リンドクイスト図では、時間的座標ベクトルが超曲面直交性を持たないため、この限りではない。）

最後の2つのフィールドは、座標変換の下で互いに回転していることに注意してください。${\displaystyle \phi \mapsto \phi +\pi /2}$キリングベクトル場に関する記事では、3つの空間的場の詳細な導出と考察が提供されています。

シュヴァルツシルト図では、曲面${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$（極座標球面法で軌跡をプロットすると）球面として現れ、その形状から、これらの曲面のいずれかに制限されたシュワルツシルト計量は正定値であり、次のように与えられることがわかります。 $${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=r_{0}^{2}g_{\Omega }=r_{0}^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$$ どこ${\displaystyle g_{\Omega }}$は単位半径2球面上の標準リーマン計量です。つまり、これらの入れ子になった座標球面は実際には幾何学的球面を表しており、

1. 表面積${\displaystyle A=4\pi r_{0}^{2}}$
2. ガウス曲率${\displaystyle K=1/r_{0}^{2}}$

特に、それらは幾何学的な球体である。さらに、角度座標は${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$これらはまさに通常の極座標球面角座標です。${\displaystyle \theta }$は、時には余緯度とも呼ばれ、${\displaystyle \phi }$これは通常、経度と呼ばれます。これは基本的に、シュヴァルツシルト図の幾何学的特徴を決定づけるものです。

付け加えておくと、上記の4つのキリング場は、我々のローレンツ多様体上の抽象的なベクトル場として考えると、静的な球対称時空の対称性を最も正確に表現しており、また、我々のチャートでそれらが取る特定の三角関数形式は、シュワルツシルトチャートという用語の意味を最も正確に表現していると言えるでしょう。特に、3つの空間キリングベクトル場は、E ³上の球対称チャートにおける3つの非並進キリングベクトル場と全く同じ形式を持ちます。つまり、原点を中心とした任意のユークリッド回転、すなわち球対称性の概念を示しているのです。

ただし、よく注意すべき点として、一般に、シュワルツシルト動径座標は動径距離、すなわち空間的測地線合同に沿って取られた距離を正確に表すものではなく、これは積分曲線として生じる。$\displaystyle \partial _{r}}$むしろ、入れ子になった2つの球体間の「空間距離」の適切な概念を見つけるには、${\displaystyle b(r)\,dr}$原点から伸びる座標線に沿って： $${\displaystyle \Delta \rho =\int _{r_{1}}^{r_{2}}b(r)\,dr}$$

同様に、各球は理想化された観測者の球状雲の軌跡と見なすことができ、これらの観測者は（一般的に）位置を維持するためにロケットエンジンを使用して半径方向に外向きに加速する必要がある。これらは静的な観測者であり、世界線の形状を持つ。${\displaystyle r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}}$これらはもちろん、シュヴァルツシルト図における垂直座標線の形をとっている。

これらの観測者のうちの1人の世界線上の2つのイベント間の適切な時間間隔を計算するには、積分する必要があります。${\displaystyle a(r)\,dt}$適切な座標線に沿って： $${\displaystyle \Delta \tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}a(r)\,dt}$$

上記の座標範囲を振り返ってみると、座標特異点は${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =0}$これは、静的な入れ子球の1つの北極 の位置を示しています。${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =\pi }$南極の位置を示しています。E ³上の通常の極球面図と同様に、位相幾何学的な理由から球面全体で連続した座標を得ることはできません。そのため、本初子午線として機能する経度（大円）を選択する必要があります。${\displaystyle \phi =0}$そしてこれを図表から切り取ります。結果として、各空間ハイパースライスから閉じた半平面を切り取ります。${\displaystyle t=t_{0}}$軸を含む${\displaystyle r=0}$そして、その軸から伸びる半平面。

上で述べたように${\displaystyle \partial _{\phi }}$キリングベクトル場であるため、我々は、${\displaystyle \phi }$周期座標として、そして実際には、私たちの３つの空間的なキリングベクトルが球面に作用していると考える。

もちろん、${\displaystyle r_{1}>0}$または${\displaystyle r_{2}<\infty }$この場合、チャートの定義域から、ある球の外側または内側の領域を切り取る必要があります。これは、f または g がシュワルツシルト動径座標 r のある値で爆発するときに発生します。

シュワルツシルト動径座標の重要性をよりよく理解するために、空間ハイパースライスの1つを埋め込むことが役立つかもしれません。${\displaystyle t=t_{0}}$（もちろん、これらはすべて互いに等長です）平坦なユークリッド空間において。4次元ユークリッド空間を視覚化するのが難しいと感じる人は、球対称性を利用して1つの座標を省略できることに気付くでしょう。これは、と設定することで簡単に実現できます。${\displaystyle t=0,\theta =\pi /2}$.これで、局所的な動径座標チャートを持つ2次元リーマン多様体が得られました。 $${\displaystyle g|_{t=0,\theta =\pi /2}=b(r)^{2}dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2},\;\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$$ この表面（または環状リング）をE ^{3に埋め込むために、E 3}のフレーム場を採用します。

1. はパラメータ化された曲面上で定義され、埋め込み空間から目的のメトリックを継承します。
2. 当社の放射状チャートに適合しています。
3. 機能が不明${\displaystyle f(r)}$。

すなわち、パラメータ化された曲面を考えてみよう。 $${\displaystyle (z,r,\phi )\rightarrow (f(r),\,r\cos \phi ,\,r\sin \phi )}$$ この曲面上の座標ベクトル場は $${\displaystyle \partial _{r}=(f^{\prime }(r),\,\cos \phi ,\,\sin \phi ),\;\;\partial _{\phi }=(0,-r\sin \phi ,r\cos \phi )}$$^{E 3}上のユークリッド計量をパラメーター化された曲面に 制限したときに継承される 誘導計量は次のとおりです。$${\displaystyle d\rho ^{2}=\left(1+f^{\prime }(r)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\phi ^{2},\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$$ これをハイパースライスのメトリックと同一視するには、明らかに以下を選択する必要があります。${\displaystyle f(r)}$そのため $${\displaystyle f^{\prime }(r)={\sqrt {1-b(r)^{2}}}}$$ 少しばかげた例を挙げると、${\displaystyle b(r)=f(r)=\sin(r)}$。

これは、半径方向に離れた2点間の真の距離が、それらの半径座標の差よりも大きい曲面に対して有効です。真の距離が小さい場合は、代わりにリーマン多様体を空間的曲面としてE ^1,2に埋め込む必要があります。たとえば、次のようになります。${\displaystyle b(r)=f(r)=\sinh(r)}$場合によっては、環状リングの局所埋め込みを2つ以上必要とすることがある（正または負のガウス曲率を持つ領域の場合）。一般に、単一の平坦空間（リーマンテンソルがゼロとなる空間）にグローバル埋め込みが得られるとは期待すべきではない。

要点は、放射座標の幾何学的解釈という観点から見たシュワルツシルト図の決定的な特徴は、（原理的には）このような空間ハイパースライスの球対称埋め込みを実行するために必要なものそのものであるということである。

上記の線要素は、f、gをシュワルツシルト動径座標rの未定関数とみなして、一般相対性理論（またはその他の重力の計量理論）における静的球対称解を導出する際の計量仮説としてよく用いられる。

例として、カルタンの外部微積分法を用いて接続と曲率を計算する方法を示します。まず、共枠場の線要素を読み取ります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{0}&=-a(r)\,dt\\\sigma ^{1}&=b(r)\,dr\\\sigma ^{2}&=rd\theta \\\sigma ^{3}&=r\sin \theta \,d\phi \end{aligned}}}$$ 私たちが考えるところ${\displaystyle a\,b}$は、まだ決定されていない滑らかな関数である。${\displaystyle r}$（我々の時空がこの特定の三角関数形式を持つフレームを許容するという事実は、静的で球対称なローレンツ多様体におけるシュワルツシルト図表の概念のもう一つの同等な表現である。）

次に、これらのコベース1形式の外微分を計算します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma ^{0}&=-a'(r)\,dr\wedge dt\\&={\frac {a'(r)}{b(r)}}\,dt\wedge \sigma ^{1}\\[1ex]d\sigma ^{1}&=0\,\\[1ex]d\sigma ^{2}&=dr\wedge d\theta \\[1ex]d\sigma ^{3}&=\sin \theta \,dr\wedge d\phi +r\,\cos \theta \,d\theta \wedge d\phi \\&=-\left({\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}\wedge \sigma ^{1}+\cos \theta \,d\phi \wedge \sigma ^{2}\right)\end{aligned}}}$$ カルタンの最初の構造方程式（あるいはその積分可能性条件）と比較すると、 $${\displaystyle d\sigma ^{\hat {m}}=-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}\,\wedge \sigma ^{\hat {n}}}$$接続1形式の 式を推測します。（ハット記号は、添え字が座標1形式ではなく、コベース1形式を指していることを思い出すための表記上の手段にすぎません。）${\displaystyle dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi }$）

どのインデックスのペアが対称（時空）で、どのインデックスのペアが反対称（空間空間）であるかを思い出してみると、${\displaystyle {\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}}$6つの接続1形式は $${\displaystyle {\begin{aligned}{\omega ^{0}}_{1}&={\frac {a'}{b}}(r)\,dt,&{\omega ^{0}}_{2}&=0,&{\omega ^{0}}_{3}&=0,\\{\omega ^{1}}_{2}&=-{\frac {d\theta }{b(r)}},&{\omega ^{1}}_{3}&=-{\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}},&{\omega ^{2}}_{3}&=-\cos \theta \,d\phi ,\end{aligned}}}$$ （この例では、6つのうち4つだけがゼロではありません。）これらの1形式を1形式の行列、あるいはさらに良いことにSO(1,3)値の1形式にまとめることができます。結果として得られる1形式の行列は、SO(4)値の1形式の場合のように完全に反対称ではないことに注意してください。代わりに、ローレンツ随伴から生じる転置の概念を使用する必要があります。

第三に、接続1形式の外微分を計算し、カルタンの第2構造方程式を使用する。$${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}=d{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {\ell }}\wedge {\omega ^{\hat {\ell }}}_{\hat {n}}}$$ 曲率を計算するには、2 つの形式を使用します。第 4 に、式を使用します。 $${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}={R^{\hat {m}}}_{{\hat {n}}|{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}|}\,\sigma ^{\hat {\imath }}\wedge \sigma ^{\hat {\jmath }}}$$ ここで、バッハバーは、増加する6組のインデックス（i、j ）についてのみ合計すべきであることを示しており、我々は、我々のコフレームとその双対フレーム場に関して、リーマンテンソルの線形独立な成分を読み取ることができる。以下が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{R^{0}}_{101}&={\frac {-a''\,b+a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r)\\{R^{0}}_{202}&={\frac {1}{r}}{\frac {-a'}{a\,b^{2}}}(r)={R^{0}}_{303}\\{R^{1}}_{212}&={\frac {1}{r}}{\frac {b'}{b^{3}}}(r)={R^{1}}_{313}\\{R^{2}}_{323}&={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {b^{2}-1}{b^{2}}}(r)\end{aligned}}}$$

第5に、インデックスを下げてコンポーネントを整理することができます${\displaystyle R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}}$マトリックスに $${\displaystyle {\begin{bmatrix}R_{0101}&R_{0102}&R_{0103}&R_{0123}&R_{0131}&R_{0112}\\R_{0201}&R_{0202}&R_{0203}&R_{0223}&R_{0231}&R_{0212}\\R_{0301}&R_{0302}&R_{0303}&R_{0323}&R_{0331}&R_{0312}\\R_{2301}&R_{2302}&R_{2303}&R_{2323}&R_{2331}&R_{2312}\\R_{3101}&R_{3102}&R_{3103}&R_{3123}&R_{3131}&R_{3112}\\R_{1201}&R_{1202}&R_{1203}&R_{1223}&R_{1231}&R_{1212}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}E&B\\B^{T}&L\end{bmatrix}}}$$ ここで、E、Lは対称（一般に6つの線形独立成分）であり、Bはトレースレス（一般に8つの線形独立成分）であり、これは（各イベントにおいて）2つの形式の6次元ベクトル空間上の線形演算子を表していると考えられます。これから、時間的単位ベクトル場に関するベル分解を読み取ることができます。${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}}$電気重力テンソルは $${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{11}={\frac {a''\,b-a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r),\;E[{\vec {X}}]_{22}=E[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {a'}{a\,b^{2}}}(r)}$$ 磁気重力テンソルは恒等的にゼロになり、地形重力テンソルは、（という事実を利用して）${\displaystyle {\vec {X}}}$（非回転）空間ハイパースライスの3次元リーマンテンソルを決定できます。 $${\displaystyle L[{\vec {X}}]_{11}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {1-b^{2}}{b^{2}}}(r),\;L[{\vec {X}}]_{22}=L[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {-b'}{b^{3}}}(r)}$$

これはあらゆるローレンツ多様体に対して有効ですが、一般相対性理論では、電気重力テンソルは我々の座標系に対応する観測者によって測定される小さな物体にかかる潮汐応力を制御し、磁気重力テンソルは我々の座標系に対応する観測者によって測定される回転する物体にかかるスピン間力を制御することに注意してください。

我々のコフレーム場のデュアルフレーム場は $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {e}}_{0}&={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}\\{\vec {e}}_{1}&={\frac {1}{b(r)}}\,\partial _{r}\\{\vec {e}}_{2}&={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }\\{\vec {e}}_{3}&={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }\end{aligned}}}$$ その要因が${\displaystyle {\frac {1}{b(r)}}}$ここで、3 つの正規直交空間的ベクトル場のうち最初のものだけを乗算するということは、シュワルツシルト図表が空間的に等方的ではない（局所的に平坦な時空という自明な場合を除く）ことを意味します。むしろ、光円錐は（放射状に扁平化）または（放射状に伸びた）形で現れます。これはもちろん、シュワルツシルト図表が入れ子になった各球体内の距離を正しく表しているが、放射座標が放射方向の固有距離を忠実に表していない、ということを別の言い方で表現したものです。

この方法で得られる厳密解の例としては、以下のようなものがあります。

• シュヴァルツシルト真空の外部領域、
• 同様に、前述の例を特殊なケースとして含むライスナー・ノルドシュトロム電気真空についても、
• 同様に、前述の例を特殊な場合として含むライスナー・ノルドシュトローム・ド・ジッター電気ラムダ真空についても、
• Janis-Newman-Winacour解（質量のない最小結合スカラー場を備えた静的な球対称物体の外部をモデル化したもの）
• 静的な球対称完全流体解である内部領域を、圧力がゼロになる球状軌跡に沿って、シュワルツシルト真空領域の一部と局所的に等長な外部領域に一致させることによって得られる恒星モデル。

静的ではないが球対称な時空を考えるのは自然なことであり、その場合、計量は次の形式をとる 一般化されたシュワルツシルト図表を持つ。$${\displaystyle g=-a(t,r)^{2}\,dt^{2}+b(t,r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}-\infty &<t<\infty ,&\,r_{0}&<r<r_{1},\,\\0&<\theta <\pi ,&\,-\pi &<\phi <\pi \end{aligned}}}$$

別の方向に一般化すると、円形の2つの球面上に他の座標系を使用することで、例えば立体投影図であるシュヴァルツシルト図を得ることができます。これは時として有用です。 $${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}},\;{\begin{aligned}-\infty &<t,x,y<\infty ,\\r_{1}&<r<r_{2}\end{aligned}}}$$

• 静的時空、
• 球対称時空、
• 静的球対称完全流体、
• 等方性座標は、静的な球対称時空のためのもう一つの一般的なチャートです。
• ガウス極座標は、静的な球対称時空のためのあまり一般的ではない代替チャートです。
• ガルストランド・パンルヴェ座標は、静的ブラックホールの事象の地平線内部で有効な単純な座標系である。
• 一般相対性理論におけるフレーム場、フレーム場とコフレーム場の詳細については、
• リーマンテンソルのベル分解、
• 合同（一般相対性理論）、合同の詳細については、${\displaystyle {\vec {X}}}$その上、
• クルスカル・セケレス座標は、最大限に拡張されたシュワルツシルト解の時空多様体全体をカバーする図であり、物理的特異点の外側ではどこでも良好な振る舞いを示します。
• エディントン・フィンケルシュタイン座標、静的な球対称時空の代替チャート、
• ルメートル座標は、事象の地平線において規則的な最も初期の図表である。