等方座標

ローレンツ多様体の理論では、球対称時空は入れ子になった丸い球の族を許容する。この入れ子になった球の族に適応する座標チャートには数種類あり、最もよく知られているのはシュワルツシルトチャートだが、等方性チャートもしばしば役に立つ。等方性チャートの定義特性は、そのラジアル座標（シュワルツシルトチャートのラジアル座標とは異なる）が、光円錐が丸く見えるように定義されていることである。これは、（局所的に平坦な多様体という自明なケースを除いて）角度等方性座標は入れ子になった球内の距離を忠実に表さず、ラジアル座標もラジアル距離を忠実に表さないことを意味する。一方、定数時間ハイパースライス内の角度は歪みなく表されるため、このチャートの名前が付けられている。

等方性チャートは、一般相対性理論などの重力の計量理論における静的な球対称時空に最もよく適用されますが、たとえば球状に脈動する流体球のモデル化にも使用できます。アインシュタイン場の方程式の孤立した球対称解の場合、遠距離では、等方性チャートとシュワルツシルト チャートは、ミンコフスキー時空上の通常の極球チャートにますます類似してきます。

等方性チャート（静的球対称時空上）では、計量（線要素ともいう）は次の形をとる。

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,\left(dr^{2}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right)\right),}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\varphi <\pi }$

状況によっては、ラジアル座標の未定関数と見なすことが適切な場合もあります (たとえば、アインシュタイン場の方程式の正確な静的球対称解を導出する場合)。あるいは、特定の関数 (場合によってはいくつかのパラメータに依存します) を代入して、特定のローレンツ時空上の等方性座標チャートを取得することもできます。 ${\displaystyle a,\,b}$

球対称の静的時空のキリングベクトル場のリー代数は、等方性チャートでもシュワルツシルトチャートと同じ形をとる。つまり、この代数は時間的に非回転的なキリングベクトル場 によって生成される。

${\displaystyle \partial _{t}}$

3つの空間的なキリングベクトル場

${\displaystyle \partial _{\varphi }}$

${\displaystyle \sin(\varphi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\cos(\varphi )\partial _{\varphi }}$

${\displaystyle \cos(\varphi )\,\partial _{\theta }-\cot(\theta )\,\sin(\varphi )\partial _{\varphi }}$

ここで、が非回転であるということは、対応する時間的合同性の渦度テンソルが消えることを意味します。したがって、このキリング ベクトル場は超曲面直交です。時空が非回転の時間的キリング ベクトル場を許容するという事実は、実際には静的時空を定義する特性です。1 つの直接的な結果は、一定時間座標面が(等尺性の)空間超スライス(空間的超曲面)の族を形成することです。 ${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

シュワルツシルト チャートとは異なり、等方性チャートはこれらのハイパースライスの埋め込み図を構築するのにはあまり適していません。

曲面は丸い球として現れ（軌跡を極球面法でプロットすると）、線要素の形から、これらの曲面のいずれかに制限された計量は次のようになることがわかる。 ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$

${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}g_{\Omega }=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,-\pi <\varphi <\pi }$

ここで、は座標であり、は単位半径の 2 球面上のリーマン計量です。つまり、これらの入れ子になった座標球は実際には幾何学的な球面を表していますが、ではなく の出現は、通常のユークリッド空間の球の場合と同じように、ラジアル座標が面積に対応しないことを示しています。ラジアル座標が入れ子になった球の観点から自然に解釈されるシュワルツシルト座標と比較してください。 ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\varphi )}$${\displaystyle g_{\Omega }}$${\displaystyle b(r_{0})\,r}$${\displaystyle r}$

これらの軌跡は等方性チャートの境界を示し、シュワルツシルト チャートの場合と同様に、これら 2 つの軌跡は同一であると暗黙的に想定されているため、推定上の丸い球体は実際には位相球体です。 ${\displaystyle \varphi =-\pi ,\,\pi }$

シュワルツシルト チャートの場合と同様に、この座標の特定の値に対してメトリックまたはその逆が爆発する場合、放射状座標の範囲は制限される可能性があります。

上記の線要素（f、g は等方座標 r の未定関数とみなされます）は、一般相対性理論（または他の計量重力理論） における静的球対称解を導く際の計量仮説としてよく使用されます。

例として、カルタンの外積分法を用いて接続と曲率を計算する方法を説明します。まず、線分要素からコフレームフィールドを読み取ります。

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=b(r)\,r\,d\theta }$

${\displaystyle \sigma ^{3}=b(r)\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi }$

ここで、を の未定滑らかな関数と見なします。（時空がこの特定の三角関数形式を持つフレームを許容するという事実は、静的で球対称なローレンツ多様体における等方性チャートの概念のもう1つの同等の表現です）。外微分を取り、最初のカルタン構造方程式を使用すると、1形式への非ゼロ接続が見つかります。${\displaystyle a,\,b}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {f'\,dt}{g}}}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,d\theta }$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,\sin(\theta )\,d\varphi }$

${\displaystyle {\omega ^{2}}_{3}=-\cos(\theta )\,d\varphi }$

再び外微分を取り、第2のカルタン構造方程式に代入すると、曲率2形式が見つかります。

• 静的時空、
• 球対称時空、
• 静的球対称完全流体、
• シュワルツシルト座標、静的球対称時空を表すもう一つの一般的な図表。
• フレーム フィールドとコフレーム フィールドの詳細については、一般相対性理論におけるフレーム フィールドを参照してください。

• ミスナー、ソーン、ウィーラー（1973）。重力。WHフリーマンアンドカンパニー。ISBN 0-7167-0344-0。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)