線座標

幾何学では、点座標 (または単に座標) が点の位置を指定するために使用されるのと同様に、線座標は線の位置を指定するために使用されます。

平面上の線の位置を指定する方法はいくつかあります。簡単な方法は、線の方程式がy  = mx  +  bである( m、b )のペアを使用することです。ここで、mは傾き、b はy切片です。このシステムは、垂直でないすべての線の座標を指定します。ただし、線の方程式がlx  +  my + 1 = 0 である座標( l、m )を使用する方が一般的で代数的に簡単です。 このシステムは、原点を通過する線を除くすべての線の座標を指定します。lとmの幾何学的な解釈は、それぞれx切片とy切片の負の逆数です。

原点を通る直線の除外は、3 つの座標系( l、m、n )を使用して方程式lx  +  my  +  n  = 0で直線を指定することによって解決できます。ここで、 lとm は両方とも 0 にはなりません。この方程式では、 l、m 、およびn間の比率のみが重要であり、言い換えると、座標にゼロ以外のスカラーを掛けても、表される直線は同じままです。したがって、( l、m、n ) は直線の 同次座標系です。

実射影平面上の点が同次座標( x , y , z )で表される場合、直線の方程式は、( l , m , n ) ≠ (0,0,0)であれば、 lx  +  my  +  nz  = 0 となります。特に、直線座標(0, 0, 1)は直線z = 0 を表し、これは射影平面上の無限遠直線 です。直線座標(0, 1, 0)と(1, 0, 0)は、それぞれx軸とy軸を表します。

f ( x ,  y ) = 0 が曲線を平面上の点のサブセットとして表すことができるのと同様に、方程式 φ( l ,  m ) = 0 は平面上の線分のサブセットを表します。平面上の線分の集合は、抽象的な意味では、元の平面の双対である射影平面上の点の集合と考えることができます。方程式 φ( l ,  m ) = 0 は、双対平面上の曲線を表します。

平面上の曲線f ( x ,  y ) = 0 に対して、曲線の接線は双対空間内に双対曲線と呼ばれる曲線を形成します。 φ( l ,  m ) = 0 が双対曲線の方程式である場合、それは元の曲線の接線方程式と呼ばれます。 与えられた方程式 φ( l ,  m ) = 0は、この方程式を満たす線の包絡線として決定される元の平面内の曲線を表します。 同様に、 φ( l ,  m ,  n ) が同次関数である場合、 φ( l ,  m ,  n ) = 0 は同次座標で与えられた双対空間内の曲線を表し、包絡線曲線の同次接線方程式と呼ぶことができます。

接線方程式は、エンベロープとして定義された曲線の研究に役立ちます。同様に、直交座標方程式は、軌跡として定義された曲線の研究に役立ちます。

線座標の線形方程式は、 al  +  bm  +  c  = 0 という形式をとります。ここで、 a、b、cは定数です。 ( l、  m ) がこの方程式を満たす線であるとします。cが 0 でない場合、 lx  +  my  + 1 = 0 となり、ここでx  =  a / c、y  =  b / cとなるため、元の方程式を満たすすべての線は点 ( x、  y ) を通ります。逆に、 ( x、  y ) を通るすべての線は元の方程式を満たすため、al  +  bm  +  c = 0 は ( x、  y ) を通る線分の集合の方程式です。与えられた点 ( x、  y ) に対して、そこを通る線分の集合の方程式はlx  +  my  + 1 = 0 となるため、これは点の接線方程式として定義できます。同様に、同次座標で与えられた点 ( x、  y、  z ) に対して、同次接線座標における点の方程式はlx  +  my  +  nz  = 0 です。

直線（l ₁、  m ₁）と直線（l ₂、  m ₂）の交点は、線形方程式の解である。

${\displaystyle l_{1}x+m_{1}y+1=0}$

${\displaystyle l_{2}x+m_{2}y+1=0.}$

クラマーの法則によれば、解は

${\displaystyle x={\frac {m_{1}-m_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}},\,y=-{\frac {l_{1}-l_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}}.}$

直線（l ₁、  m ₁）、（l ₂、  m ₂）、（l ₃、  m ₃）は、行列式が

${\displaystyle {\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&1\\l_{2}&m_{2}&1\\l_{3}&m_{3}&1\end{vmatrix}}=0.}$

同次座標の場合、直線（l ₁、  m ₁、  n ₁）と直線（l ₂、  m ₂、  n ₂）の交点は

${\displaystyle (m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1},\,l_{2}n_{1}-l_{1}n_{2},\,l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}).}$

直線（l ₁、  m ₁、  n ₁）、（l ₂、  m ₂、  n ₂）、（l ₃、  m ₃、  n ₃）は、行列式が

${\displaystyle {\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&n_{1}\\l_{2}&m_{2}&n_{2}\\l_{3}&m_{3}&n_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

双対的に、( x ₁ ,  y ₁ ,  z ₁ )と( x ₂ ,  y ₂ ,  z ₂ ) を含む直線の座標は

${\displaystyle (y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\,x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}).}$

実射影平面上の2点（x ₁ ,  y ₁ ,  z ₁）と（x ₂ ,  y ₂ ,  z ₂）に対して、3つの行列式は

${\displaystyle y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\,x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}$

それらを含む射影線を決定します。

同様に、RP ³の2点（x ₁、  y ₁、  z ₁、  w ₁）と（x ₂、  y ₂、  z ₂、  w ₂）については、それらを含む直線は6つの行列式によって決定される。

${\displaystyle x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},\,x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1},\,y_{1}z_{2 }-y_{2}z_{1},\,x_{1}w_{2}-x_{2}w_{1},\,y_{1}w_{2}-y_{2}w_{1} 、\,z_{1}w_{2}-z_{2}w_{1}.}$

これは、プルッカー座標と呼ばれる 3 次元空間の同次直線座標系の基礎です。座標セット内の 6 つの数値は、追加の方程式を満たす場合にのみ直線を表します。このシステムは、3 次元空間の直線空間を射影空間 RP ⁵にマッピングしますが、追加の要件により、直線空間は4 次元の多様体であるクラインの二次曲面に対応します。

より一般的には、 n次元射影空間の直線は、 ( n  −2)( n −3)/2条件を満たすn ( n  −1)/2同次座標系によって決定され、結果として次元2n −2 の多様体となる。

アイザック・ヤグロムは^{[1] 、}双対数がユークリッド平面上の有向線の座標を提供し、分割複素数が双曲面の線座標を形成する方法を示しました。座標は、原点とその上の参照線の存在に依存します。次に、任意の線が与えられた場合、その座標は参照線との交点から求められます。原点から交点までの距離sと 2 つの線間の傾斜角 θ が使用されます。

• ${\displaystyle z=\left(\tan {\frac {\theta }{2}}\right)(1+s\epsilon )}$は双対数である^{[1] ：}ユークリッド直線の場合は81、
• ${\displaystyle z=\left(\tan {\frac {\theta }{2}}\right)(\cosh s+j\sinh s)}$はロバチェフスキー平面上の直線の分割複素数^{[1] ：118 である。}

ロバチェフスキー平面には基準線に超平行な線があるため、それらの座標も必要です。唯一の共通垂線があり、s は原点からこの垂線までの距離、d は基準線と指定された線分の間の線分の長さです。

• ${\displaystyle z=\left(\tanh {\frac {d}{2}}\right)(\sinh s+j\cosh s)}$超平行線を表す。^{[1] : 118}

線幾何学の運動は、適切な複素平面上の線形分数変換によって記述される。 ^{[1] ：87、123}

• ロボットコンベンション

• ベイカー、ヘンリー・フレデリック（1923）、幾何学の原理。第3巻。立体幾何学。二次曲面、空間内の3次曲線、3次曲面。、ケンブリッジ図書館コレクション、ケンブリッジ大学出版局、p. 56、ISBN 978-1-108-01779-4、MR  28575202010年に再版。
• ジョーンズ、アルフレッド・クレメント（1912）。代数幾何学入門。クラレンドン。390 ページ。