天体座標系

水平座標系、または高度方位座標系は、地球上の観測者の位置に基づいています。地球は恒星日（23時間56分4.091秒）ごとに自転し、恒星を背景としています。水平座標系による天体の位置は時間とともに変化しますが、地球上の観測者にとって天体の位置を特定し追跡するための有用な座標系です。これは、観測者の理想的な地平線に対する恒星の位置に基づいています。

赤道座標系は地球の中心を中心としていますが、天の極と春分点に対して固定されています。この座標は、地球の赤道を無限遠まで投影した場合の、星の位置に基づいています。赤道座標系は太陽系から見た空を表し、現代の星図はほぼ例外なく赤道座標系を使用しています。

赤道座標系は、夜間の天体の動きを追尾する赤道儀を持つプロの天文学者や多くのアマチュア天文家にとって標準的な座標系です。天体は、望遠鏡などの観測機器の目盛りを、観測対象の天体の赤道座標に合わせることで見つけられます。

極と赤道の一般的な選択肢としては、古いB1950システムと最新のJ2000システムがありますが、「日付」の極と赤道を使用することもできます。これは、惑星や宇宙船の位置測定が行われた日など、検討対象の日付に適した極と赤道を意味します。また、節動を平均化または無視する「日付の平均」座標と、節動を含む「日付の真」座標という細分化もあります。

基本となる平面は、地球の軌道面であり、黄道面と呼ばれる。黄道座標系には、地球を中心とする地心黄道座標と、太陽系の重心を中心とする太陽心黄道座標という、主に2つの種類がある。

地心黄道系は古代天文学の主要な座標系であり、太陽、月、惑星の見かけの動きを計算するのに今でも役立っています。^{[ 3 ]}例えば、黄道十二星座を定義するのに使われていました。

太陽中心黄道座標系は、惑星の太陽周回軌道運動を記述するもので、太陽系の重心（つまり、太陽の中心のごく近く）を中心としています。この座標系は主に、惑星やその他の太陽系天体の位置を計算したり、それらの軌道要素を定義したりするために使用されます。

銀河座標系は、天の川銀河のおおよその平面を基本平面として使用します。太陽系は依然として座標系の中心であり、ゼロ点は銀河中心に向かう方向として定義されます。銀河緯度は銀河面からの高度に相当し、銀河経度は銀河中心に対する相対的な方向を決定します。

超銀河座標系は、地球から見た空において、平均よりも多くの局所銀河を含む基本平面に対応する。

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=\theta _{\text{L}}-\alpha &&{\mbox{or}}&h&=\theta _{\text{G}}+\lambda _{\text{o}}-\alpha \\\alpha &=\theta _{\text{L}}-h&&{\mbox{or}}&\alpha &=\theta _{\text{G}}+\lambda _{\text{o}}-h\end{aligned}}}$

球面三角法から導出された、縦座標に関する古典的な方程式は括弧の右側に示されています。最初の方程式を2番目の方程式で割ると、左側に示されている便利な接線方程式が得られます。^{[ 5 ]} 回転行列の等価式は、各ケースの下に示されています。^{[ 6 ]} tan の周期は 180° ( π ) であるのに対し、cos と sin の周期は 360° (2π) であるため、この割り算は曖昧です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \left(\lambda \right)&={\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\varepsilon \right)+\tan \left(\delta \right)\sin \left(\varepsilon \right) \over \cos \left(\alpha \right)};\qquad {\begin{cases}\cos \left(\beta \right)\sin \left(\lambda \right)=\cos \left(\delta \right)\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\varepsilon \right)+\sin \left(\delta \right)\sin \left(\varepsilon \right);\\\cos \left(\beta \right)\cos \left(\lambda \right)=\cos \left(\delta \right)\cos \left(\alpha \right).\end{cases}}\\\sin \left(\beta \right)&=\sin \left(\delta \right)\cos \left(\varepsilon \right)-\cos \left(\delta \right)\sin \left(\varepsilon \right)\sin \left(\alpha \right)\\[3pt]{\begin{bmatrix}\cos \left(\beta \right)\cos \left(\lambda \right)\\\cos \left(\beta \right)\sin \left(\lambda \right)\\\sin \left(\beta \right)\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \left(\varepsilon \right)&\sin \left(\varepsilon \right)\\0&-\sin \left(\varepsilon \right)&\cos \left(\varepsilon \right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(\delta \right)\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\delta \right)\sin \left(\alpha \right)\\\sin \left(\delta \right)\end{bmatrix}}\\[6pt]\tan \left(\alpha \right)&={\sin \left(\lambda \right)\cos \left(\varepsilon \right)-\tan \left(\beta \right)\sin \left(\varepsilon \right) \over \cos \left(\lambda \right)};\qquad {\begin{cases}\cos \left(\delta \right)\sin \left(\alpha \right)=\cos \left(\beta \right)\sin \left(\lambda \right)\cos \left(\varepsilon \right)-\sin \left(\beta \right)\sin \left(\varepsilon \right);\\\cos \left(\delta \right)\cos \left(\alpha \right)=\cos \left(\beta \right)\cos \left(\lambda \right).\end{cases}}\\[3pt]\sin \left(\delta \right)&=\sin \left(\beta \right)\cos \left(\varepsilon \right)+\cos \left(\beta \right)\sin \left(\varepsilon \right)\sin \left(\lambda \right).\\[6pt]{\begin{bmatrix}\cos \left(\delta \right)\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\delta \right)\sin \left(\alpha \right)\\\sin \left(\delta \right)\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \left(\varepsilon \right)&-\sin \left(\varepsilon \right)\\0&\sin \left(\varepsilon \right)&\cos \left(\varepsilon \right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(\beta \right)\cos \left(\lambda \right)\\\cos \left(\beta \right)\sin \left(\lambda \right)\\\sin \left(\beta \right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

方位角 ( A ) は南の点から測定され、西を正とします。^{[ 7 ]}天頂距離は、天頂から天体までの大円 に沿った角度距離であり、高度の補角、つまり90° − aです。^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \left(A\right)&={\sin \left(h\right) \over \cos \left(h\right)\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)-\tan \left(\delta \right)\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)};\qquad {\begin{cases}\cos \left(a\right)\sin \left(A\right)=\cos \left(\delta \right)\sin \left(h\right);\\\cos \left(a\right)\cos \left(A\right)=\cos \left(\delta \right)\cos \left(h\right)\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)-\sin \left(\delta \right)\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\end{cases}}\\[3pt]\sin \left(a\right)&=\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\sin \left(\delta \right)+\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\cos \left(\delta \right)\cos \left(h\right);\end{aligned}}}$

Aに関するtan( A )方程式を解く際に、逆正接の曖昧さを避けるために、 2 引数逆正接atan2 ( x , y )の使用が推奨されます。2 引数逆正接は⁠ y / x ⁠の逆正接を計算し、計算対象の象限を考慮します。したがって、方位角が南から測定され、西に向かって正となるという慣例に一致して、

${\displaystyle A=-\operatorname {atan2} (y,x)}$、

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\cos \left(\delta \right)\cos \left(h\right)+\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\sin \left(\delta \right)\\y&=\cos \left(\delta \right)\sin \left(h\right)\end{aligned}}}$。

上記の式でAの値が負になる場合は、360°を加えるだけで正の値にすることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\cos \left(a\right)\cos \left(A\right)\\\cos \left(a\right)\sin \left(A\right)\\\sin \left(a\right)\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&-\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\\0&1&0\\\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(\delta \right)\cos \left(h\right)\\\cos \left(\delta \right)\sin \left(h\right)\\\sin \left(\delta \right)\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&-\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\\0&1&0\\\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(\theta _{L}\right)&\sin \left(\theta _{L}\right)&0\\\sin \left(\theta _{L}\right)&-\cos \left(\theta _{L}\right)&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(\delta \right)\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\delta \right)\sin \left(\alpha \right)\\\sin \left(\delta \right)\end{bmatrix}};\\[6pt]\tan \left(h\right)&={\sin \left(A\right) \over \cos \left(A\right)\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)+\tan \left(a\right)\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)};\qquad {\begin{cases}\cos \left(\delta \right)\sin \left(h\right)=\cos \left(a\right)\sin \left(A\right);\\\cos \left(\delta \right)\cos \left(h\right)=\sin \left(a\right)\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)+\cos \left(a\right)\cos \left(A\right)\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\end{cases}}\\[3pt]\sin \left(\delta \right)&=\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\sin \left(a\right)-\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\cos \left(a\right)\cos \left(A\right);\end{aligned}}}$^{[ a ]}

繰り返しますが、 hに関するtan( h )の方程式を解く際には、象限を考慮した 2 引数の逆正接の使用が推奨されます。したがって、方位角が南から測定され、西に向かって正に開くという慣例に再び従って、

${\displaystyle h=\operatorname {atan2} (y,x)}$、

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\cos \left(a\right)\cos \left(A\right)+\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\sin \left(a\right)\\y&=\cos \left(a\right)\sin \left(A\right)\\[3pt]{\begin{bmatrix}\cos \left(\delta \right)\cos \left(h\right)\\\cos \left(\delta \right)\sin \left(h\right)\\\sin \left(\delta \right)\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\\0&1&0\\-\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(a\right)\cos \left(A\right)\\\cos \left(a\right)\sin \left(A\right)\\\sin \left(a\right)\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}\cos \left(\delta \right)\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\delta \right)\sin \left(\alpha \right)\\\sin \left(\delta \right)\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\cos \left(\theta _{L}\right)&\sin \left(\theta _{L}\right)&0\\\sin \left(\theta _{L}\right)&-\cos \left(\theta _{L}\right)&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)\\0&1&0\\-\cos \left(\phi _{\text{o}}\right)&0&\sin \left(\phi _{\text{o}}\right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \left(a\right)\cos \left(A\right)\\\cos \left(a\right)\sin \left(A\right)\\\sin \left(a\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

これらの式^{[ 14 ]}は、赤道座標を銀河座標に変換するためのものです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left(l_{\text{NCP}}-l\right)\cos(b)&=\sin \left(\delta \right)\cos \left(\delta _{\text{G}}\right)-\cos \left(\delta \right)\sin \left(\delta _{\text{G}}\right)\cos \left(\alpha -\alpha _{\text{G}}\right)\\\sin \left(l_{\text{NCP}}-l\right)\cos(b)&=\cos(\delta )\sin \left(\alpha -\alpha _{\text{G}}\right)\\\sin \left(b\right)&=\sin \left(\delta \right)\sin \left(\delta _{\text{G}}\right)+\cos \left(\delta \right)\cos \left(\delta _{\text{G}}\right)\cos \left(\alpha -\alpha _{\text{G}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \alpha _{\text{G}},\delta _{\text{G}}}$は北銀河極の赤道座標であり、${\displaystyle l_{\text{NCP}}}$は北天極の銀河経度です。J2000.0を基準とした場合、これらの値は次のとおりです。

${\displaystyle \alpha _{G}=192.85948^{\circ }\qquad \delta _{G}=27.12825^{\circ }\qquad l_{\text{NCP}}=122.93192^{\circ }}$

赤道座標が別の春分点に基づいている場合は、これらの式を適用する前に、J2000.0における位置に歳差運動させる必要があります。

これらの式は、 B2000.0を参照した赤道座標に変換されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(\alpha -\alpha _{\text{G}}\right)\cos \left(\delta \right)&=\cos \left(b\right)\sin \left(l_{\text{NCP}}-l\right)\\\cos \left(\alpha -\alpha _{\text{G}}\right)\cos \left(\delta \right)&=\sin \left(b\right)\cos \left(\delta _{\text{G}}\right)-\cos \left(b\right)\sin \left(\delta _{\text{G}}\right)\cos \left(l_{\text{NCP}}-l\right)\\\sin \left(\delta \right)&=\sin \left(b\right)\sin \left(\delta _{\text{G}}\right)+\cos \left(b\right)\cos \left(\delta _{\text{G}}\right)\cos \left(l_{\text{NCP}}-l\right)\end{aligned}}}$

• 六十進法の度（°）、分（′）、秒（″）で表される角度は、計算を行う前に十進法に変換する必要があります。十進度に変換するかラジアンに変換するかは、使用する計算機またはプログラムによって異なります。負の角度は慎重に扱う必要があります。例えば、−10° 20′ 30″ は−10° −20′ −30″に変換する必要があります。
• 時間の単位である時間 ( ^h )、分 ( ^m )、秒 ( ^s ) の角度は、計算を行う前に十進度またはラジアンに変換する必要があります。1 ^h  =  15°、1 ^m  =  15′、1 ^s  =  15″
• 360°（ 2π ）より大きい角度、または0°より小さい角度は、使用する計算機やプログラムによっては、 0°～360°（0～ 2π ）の範囲に縮小する必要がある場合があります。
• 緯度（赤緯、黄道緯度、銀河緯度、高度）のコサインは、定義上決して負の値にはなりません。なぜなら、緯度は-90°から+90°の間で変化するからです。
• 逆三角関数である逆正弦、逆余弦、逆正接は象限が曖昧であるため、結果を慎重に評価する必要があります。経度/赤経/方位角を計算する際には、2番目の逆正接関数（計算ではatn2( y , x )またはatan2( y , x )と表記され、両方の引数の符号を使用して右象限を決定する⁠ y / x ⁠の逆正接を計算する）の使用をお勧めします。緯度/赤緯/高度を計算する際には、正弦を求める式に続いて逆正弦関数を使用することをお勧めします。
• ここでいう方位角（A ）は、一般的な天文学的計算方法である地平線の南端を基準としています。観測者の南にある子午線上の物体は、この用法ではA = h = 0° となります。しかし、例えばAstropyの AltAz、大型双眼望遠鏡FITS ファイル規約、XEphem、IAUライブラリの基本天文学基準、天文暦のセクション B などでは、方位角は北の東を基準としています。航海やその他の分野では、方位角は北を基準として計算されます。
• 高度 ( a )の式は、大気の屈折を考慮していません。
• 水平座標の式は、日周視差、つまり地球表面上の観測者の位置によって生じる天体の位置のわずかなずれを考慮していません。この影響は月では顕著ですが、惑星ではそれほど大きくなく、恒星やそれより遠い天体ではごくわずかです。
• ここでの観測者の経度（λo _）は、現在のIAUの基準に従って、本初子午線から東向きに正の方向に測定されます。