投影座標系

投影座標系（投影座標参照系、平面座標系、グリッド参照系 とも呼ばれる ）は、特定の地図投影によって作成された平面上の直交座標（x、y ）を使用して地球上の位置を表す空間参照系の一種です。^{[1] 「}ユニバーサル横メルカトルWGS 84ゾーン26N」などの各投影座標系は、地図投影（特定のパラメータを含む）の選択、座標系を地球上の実際の位置に結び付ける測地基準系の選択、原点、および測定単位の選択によって定義されます。^[2]さまざまな地域でさまざまな目的で何百もの投影座標系が指定されています。

20世紀にユニバーサル横メルカトル、州平面座標系、英国国立グリッドなどの最初の標準化された座標系が作成されたとき、それらは一般にグリッドシステムと呼ばれていました。この用語は、座標を英数字のグリッド参照としてエンコードする軍事などの一部の分野では今でも一般的です。ただし、投影座標系という用語が最近では主流になり、他の種類の空間参照システムと明確に区​​別しています。この用語は、 EPSGやISO 19111（Open Geospatial Consortiumによって抽象仕様2としても公開されています）などの国際標準や 、ほとんどの地理情報システムソフトウェアで使用されています。^{[3] [2]}

地図投影法と地理座標系(GCS、緯度と経度) はヘレニズム時代に遡り、 18 世紀の啓蒙時代に普及しました。しかし、緯度と経度ではなく、正確な位置を指定するための基準としてこれらを使用するようになったのは、20 世紀の革新です。

最も初期のものの一つは、1930年代に米国で測量や工学のために開発された州平面座標系（SPCS）である。これは、距離などの計算が、 GCSの3次元三角法よりも直交座標系の方がはるかに簡単だったためである。英国では、第一次世界大戦中に陸軍と陸地測量局が 行った以前の実験に基づいて、1938年に英国国立グリッドの最初のバージョン がリリースされた。^[4]

第二次世界大戦中、近代戦の慣行では、兵士が自分の位置を迅速かつ正確に測定し報告することが求められ、米国陸軍地図サービス（AMS）やその他の戦闘員によって地図にグリッドが印刷されるようになりました。^[5]当初、各戦域は独自のグリッドとコード体系を持つカスタム投影法で地図化されていましたが、混乱を招きました。これがユニバーサル横メルカトル座標系の開発につながり、おそらくドイツ国防軍によって最初に開発されたシステムを採用しました。^[6]明確な報告を容易にするために、UTM座標のエンコード方式として英数字の軍事グリッド参照システム（MGRS）が作成され、通信しやすくなりました。^[5]

戦後、UTM は徐々にユーザーを増やし、特に科学界で普及しました。UTM ゾーンは政治的境界と一致しないため、いくつかの国が英国に倣い、カスタム投影に基づいて独自の国または地域のグリッド システムを作成しました。このようなシステムの使用と発明は、地理情報システムの出現とともに、1980年代に特に急増しました。GIS では、場所を正確な座標で指定し、それに対して多数の計算を実行する必要があるため、計算能力が限られていた場合には、球面三角法よりも直交幾何学の方が適していました。近年では、グローバル GIS データセットと衛星ナビゲーションの台頭、およびパーソナル コンピューターの処理速度の大幅な向上により、GCS の使用が再び活発化しています。とはいえ、投影座標系は、市、郡、州、県、小国などのローカル エリアの空間 データ インフラストラクチャ(SDI) に保存されている GIS データでは、依然として非常に一般的です。

座標系の目的は、位置を正確かつ明確に測定、伝達、計算することであるため、正確に定義する必要があります。EPSG 測地パラメータ データセットは、このような定義を機械可読形式で公開するための最も一般的なメカニズムであり、多くの GIS やその他の位置認識ソフトウェア プログラムの基礎となっています。^[3]投影された SRS 仕様は、次の 3 つの部分で構成されています。

• 抽象的な 2 次元直交座標系で、各位置をタプル ( x、y )として測定できます。これは、UTM などの多くのシステムでは東と北とも呼ばれます。座標系の定義には、平面、原点、各測定の方向を定義する直交軸のセット、および測定単位 (通常はメートルまたはUS フィート) を含める必要があります。
• 地球上の位置に接続された座標系の平面を作成する地図投影法の選択肢。一般的な投影法の種類 (ランベルト正角円錐図法、横メルカトル図法など) に加えて、座標系の定義では、中心点、標準緯線、スケール係数、仮原点などの使用するパラメータを指定します。これらのパラメータを使用して、投影法の基礎となる数式によって、緯度と経度がシステムの ( x , y ) 座標に直接変換されます。
• 測地基準系の選択。これには地球楕円体の選択が含まれます。これにより、緯度と経度の測定フレームワーク (GCS) を制御することで、座標系が地球上の実際の位置にバインドされます。したがって、UTM 式が同一であっても、基礎となる緯度と経度の値が異なるため、「UTM NAD83 Zone 14N」内の位置の座標と「UTM NAD27 Zone 14N」内の同じ位置の座標には大きな違いがあります。一部の GIS ソフトウェアでは、定義のこの部分は特定の地理座標系の選択と呼ばれます。

地図上で地理的位置を確立するには、地図投影法を使用して測地座標を地図上の平面座標に変換します。地図投影法では、基準楕円体座標と高さを地図の平面に投影します。基準座標と、参照位置のグリッドに適用された地図投影法によって、位置をプロットするためのグリッド システムが確立されます。 通常は正角投影法が好まれます。一般的な地図投影法には、横メルカトル図法(ユニバーサル横メルカトル図法、British National Grid、一部の州のState Plane Coordinate Systemで使用)、ランベルト正角円錐図法( SPCSの一部の州)、および メルカトル図法(スイス座標系) があります。

地図投影の公式は、投影の幾何学的形状と、地図が投影される特定の場所に依存するパラメータに依存します。パラメータのセットは、プロジェクトの種類と投影に選択された規則に基づいて異なる場合があります。UTMで使用される横メルカトル図法の場合、関連するパラメータは、自然原点の緯度と経度、偽北緯と偽東緯、および全体的なスケール係数です。^[7]特定の場所またはグリンの関連するパラメータを考えると、横メルカトル図法の投影公式は、代数関数と三角関数の複雑な組み合わせになります。^{[7] : 45–54}

すべての地図投影には自然な原点があり、例えば楕円体と平面の地図の表面が一致する場所では、投影式によって座標 (0,0) が生成されます。^[7]地図上の北座標と東座標が負にならないように (測定、通信、計算を容易にするために)、地図投影では、真の原点をオフセットする擬似原点(擬似北座標と擬似東座標で指定) を設定することがあります。たとえば、UTM では、各北部ゾーンの原点は、ゾーンの中心子午線から西に 500 km の赤道上の点です (ゾーンの端自体は西に 400 km 弱です)。これにより、ゾーン内のすべての座標が正の値 (原点の東と北) になるという望ましい効果が得られます。このため、これらはしばしば東座標と北座標と呼ばれます。

グリッドノース（GN）は、地図投影のグリッドラインに沿った北の方向を指す航海用語です。真北（北極の方向）や磁北（コンパスの針が指す方向）と対比されます。米国地質調査所や英国陸地測量局のものを含む多くの地形図では、グリッドノース、真北、磁北の違いが示されています。^[8]

陸地測量部の地図上のグリッド線は、コーンウォールの西、大西洋上の仮想のゼロ点の東で、英国を 1 キロメートル四方の正方形に分割しています。グリッド線はグリッド北を指しており、真北とはわずかに異なります。この変化は、地図の中央子午線 (南北線) 上ではゼロであり、中央子午線は本初子午線の西 2 度にあり、地図の端で最大になります。グリッド北と真北の差は非常に小さく、ほとんどのナビゲーション目的では無視できます。この差が存在するのは、平面の地図と丸い地球との対応が必然的に不完全であるためです。

南極では、グリッドノースは慣例的に本初子午線に沿って北を指します。^[9] 子午線は極で収束するため、真の東西方向はジンバルロックに似た状態で急速に変化します。グリッドノースはこの問題を解決します。

投影座標系での位置は、他の直交座標系と同様に、東/北または ( x , y ) のペアとして計測され、報告されます。このペアは通常、東、北を 2 番目に表すのが慣例です。たとえば、 UTM ゾーン 11 のアッシーニボイン山の頂上(カナダのブリティッシュ コロンビア州とアルバータ州の州境にある50°52′10″N 115°39′03″W / 50.86944°N 115.65083°W / 50.86944; -115.65083 ) は にあります。これは、ゾーン 11 の擬似原点 (117°W にある真の中心子午線から 95 km 東) から東に約 600 km、赤道から北に 560 万メートルの位置にあることを意味します。 (0594934mE, 5636174mN)

このような正確な数字は、 GISやその他のコンピュータ データベースに保存したり計算したりするのは簡単ですが 、人間が覚えたり伝達したりするのは難しい場合があります。そのため、20 世紀半ば以降、数字を短縮したり、数字を何らかの形式の英数字文字列に変換したりする代替エンコードが存在します。

例えば、大まかな位置が参加者に既にわかっていて、想定できる場合には、切り捨てられたグリッド参照が使用される。 ^[10]（先頭の）最上位桁は世界の地域を指定し、（末尾の）最下位桁はほとんどの状況では必要のない精度を提供するため、用途によっては不要な場合がある。これにより、ユーザーは、有効桁（この場合は3、4、5）が双方にわかっていると仮定して、 を949-361隠すことで例の座標を に短縮することができる。 ^[11]05nnn34 56nnn74

英数字エンコーディングでは通常、世界を大きなグリッド スクエアに分割して、最上位の桁をコードで置き換えます。たとえば、Military Grid Reference Systemでは、上記の座標はグリッド 11U (UTM ゾーン 11 5xxxxxx mN を表す) にあり、その中のグリッド セル NS (2 番目の桁 5xxxxxmE x6xxxxxm N を表す) と、必要な数の残りの桁が報告され、MGRS グリッド参照は 11U NS 949 361 (または 11U NS 9493 3617 または 11U NS 94934 36174) になります。

イギリスの陸地測量部ナショナルグリッドやその他のナショナルグリッドシステムでも、同様のアプローチが採用されています。陸地測量部の地図では、東経と北緯のグリッド線にはそれぞれ 2 桁のコードが割り当てられています。このコードは、イギリスの南西海岸沖を起点とするイギリスのナショナルグリッド参照システムに基づいています。エリアは 100 km 四方に分割され、各四角形は 2 文字のコードで示されます。100 km 四方ごとに、数値のグリッド参照が使用されます。東経と北緯は 1 km 離れているため、東経と北緯を組み合わせると、地上の 1 km 四方を表す 4 桁のグリッド参照が得られます。慣例により、グリッド参照番号は目的の四角形の左下隅を指します。上記の地図の例では、リトル プランプトンという町は 6901 のマスにありますが、町を表す文字は 6802 と 6902 にあります。建物のほとんど (オレンジ色の四角で囲まれた記号) は 6901 のマスにあります。

グリッド参照に追加される数字が多いほど、参照の精度が高まります。リトル プランプトンにある特定の建物を見つけるには、4 桁の参照にさらに 2 桁を追加して 6 桁の参照を作成します。追加の 2 桁は、1 キロメートル四方の位置を表します。現在のグリッド四角形内にさらに 10 x 10 のグリッドを想像してください (または、ローマー図を描くか重ねてください)。重ねられた 10 x 10 グリッド内の 100 個の四角形はどれも、0 から 9 の数字を使用して正確に説明できます (0 0 は左下の四角形、9 9 は右上の四角形)。

リトル プランプトンの教会の場合、数字 6 と 7 (左から右の軸 (東経) に 6、下から上の軸 (北経) に 7) が与えられます。これらは、同じ座標軸を表す 2 つの数字の後に 4 桁のグリッド参照に追加されるため、教会の 6 桁のグリッド参照は 696017 になります。この参照は 100 メートル四方の正方形を表し、単一の点を表しているわけではありませんが、この精度は通常、ナビゲーションの目的には十分です。地図上の記号はいずれにしても正確ではありません。たとえば、上記の例の教会は、記号が縮尺通りであれば約 100 x 200 メートルになります。そのため、実際には、黒い四角の中央は、教会の実際のサイズとは関係なく、実際の教会の地図上の位置を表しています。

より大きな数字で精度を高めたグリッド参照は、大縮尺の地図と正確なローマーを使って決定できる。これは測量には使えるかもしれないが、歩行者やサイクリストなどの陸上ナビゲーションには一般には使われない。携帯型GPS受信機がますます普及し、コストも下がっているため、地図がなくても正確なグリッド参照を決定できる。しかし、最初の 6 桁だけを読み取ってしまうことを避けるために、GPS が何桁表示するかを知っておくことは重要である。GPS ユニットは通常、東経と北緯の値を表す 5 桁の数字 2 グループに基づいて、10 桁のグリッド参照を提供する。精度が 6 桁から 8 桁、そして 10 桁へと上がるごとに、位置の精度が 10 倍ずつ高くなる。少なくとも英国では、6 桁のグリッド参照は 100 メートル四方の正方形を識別するため、8 桁の参照は 10 メートル四方を識別し、10 桁の参照は 1 メートル四方を識別することになる。 10 桁の GPS 表示から標準的な 6 桁のグリッド参照を得るには、4 桁目、5 桁目、9 桁目、10 桁目を省略する必要があるため、最初の 6 桁だけを読み取らないことが重要です。

• ユニバーサル横メルカトル図法(UTM): 単一の座標系ではなく、一連の 60 のゾーン(それぞれが6° 幅のゴア) であり、各ゾーンには独自の横メルカトル図法があります。
• ユニバーサル極平射図法(UPS):平射図法を使用して北極と南極をカバーする一対の座標系。
• Ordnance Survey National Grid (OSNG):独自のエンコード方式でイギリスをカバーする、2°W を中心とした横メルカトル図法。
• 州平面座標系(SPCS): それぞれが米国の州またはその一部をカバーする120 を超える座標系 (ゾーン)の別の複合システム。
• スイス座標系(LV95):メルカトル図法を使用してスイスをカバーします。
• アイルランド横メルカトル図法(ITM):アイルランド島をカバーするためにアイルランド共和国とイギリスが共同で作成した図法。
• バミューダ国立グリッド
• ギリシャ測地基準システム 1987 (ギリシャ)
• イスラエル横メルカトル図法(NIG)
• スウェーデンのグリッド（RT90）

• 離散グローバルグリッド(DGG)
• 東北上
• ジオコード
• 測地基準点
• 地理的距離
• 経緯線（地図作成）
• 水平面
• 格子グラフ（数学的抽象としてのグリッド）
• 地図投影
• 空間参照システム
• 空間グリッド