ウェーウェル方程式

平面曲線のホイウェル方程式は、接線角（φ）と弧長（s ）の関係を表します。ここで、接線角は曲線上の特定の点における接線とx軸との間の角度であり、弧長は固定点から曲線に沿って移動する距離です。これらの量は、 x軸の方向の選択を除いて、使用する座標系に依存しないため、これは曲線の固有方程式、あるいはより厳密には固有方程式と呼ばれます。ある曲線が別の曲線から平行移動によって得られる場合、それらのホイウェル方程式は同じになります。

関係が関数であり、接線角が弧長の関数として与えられる場合、特定の性質を容易に操作できるようになります。特に、接線角の弧長に関する導関数は曲率に等しくなります。したがって、ウェウェル方程式を導関数すると、同じ曲線に対するチェザロ方程式が得られます。

この概念は、1849年にケンブリッジ哲学紀要に掲載された論文でこの概念を提唱したウィリアム・ホイウェルにちなんで名付けられました。彼の概念では、使用される角度は、ある固定された始点における曲線の方向からのずれであり、この慣例は他の著者によっても用いられることがあります。これは、角度に定数を加えるか、曲線を回転させることで、ここで示されている定義と同等になります。

ポイント${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y)}$曲線上の値は弧長に関してパラメトリックに与えられ、${\displaystyle s\mapsto {\vec {r}},}$接線角φは次のように決定される。

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {r}}}{ds}}={\begin{pmatrix}{\frac {dx}{ds}}\\{\frac {dy}{ds}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \end{pmatrix}}\quad {\text{since}}\quad \left|{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right|=1,}$$

これはつまり $$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi .}$$

曲線の媒介変数表示は、以下の式を積分することで得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\int \cos \varphi \,ds,\\y&=\int \sin \varphi \,ds.\end{aligned}}}$$

曲率は次のように定義される $${\displaystyle \kappa ={\frac {d\varphi }{ds}},}$$

チェザロ方程式は、ウェウェル方程式を微分することで容易に得られる。

• Whewell, W.「曲線の内在方程式とその応用について」ケンブリッジ哲学紀要、第VIII巻、659-671頁、1849年。Googleブックス
• トッドハンター、アイザック。『ウィリアム・ヒューウェル博士著作集、文学および科学書簡からの抜粋を含む』第1巻。マクミラン社、1876年、ロンドン。第56節：317ページ。
• J. デニス・ローレンス (1972).特殊平面曲線カタログ. ドーバー出版. pp. 1–5 . ISBN  0-486-60288-5。
• Yates, RC: A Handbook on Curves and Their Properties、JW Edwards (1952)、「Intrinsic Equations」p124-5

• ワイススタイン、エリック・W. 「ホイウェル方程式」 . MathWorld .