チェザロ方程式

幾何学において、平面曲線のチェザロ方程式とは、曲線上の点における曲率（κ ）と、曲線の始点からその点までの弧長（s ）との関係を表す方程式です。また、曲率半径（R）と弧長との関係を表す方程式としても表すことができます。（ R = 1 / κなので、これらは等価です。）合同な2つの曲線は同じチェザロ方程式を持ちます。チェザロ方程式は、エルネスト・チェザロにちなんで名付けられました。

対数美的曲線の族^{[ 1 ]}は一般に(${\displaystyle \alpha \neq 0}$）の場合、以下の固有方程式によります。

${\displaystyle R(s)^{\alpha }=c_{0}s+c_{1}}$

これは、曲率に関する以下の明示的な公式と同等です。

$\displaystyle \kappa (s)=(c_{0}s+c_{1})^{-1/\alpha }}$

さらに、${\displaystyle c_{1}}$上記の定数は弧長パラメータの単純な再パラメータ化を表し、${\displaystyle c_{0}}$は均一なスケーリングと同等であるため、対数美的曲線は完全に以下によって特徴付けられます。${\displaystyle \alpha }$パラメータ。

特別な場合${\displaystyle \alpha =0}$対数美的曲線はニールセンの螺旋となり、次のチェザロ方程式（ここで）が成り立つ。${\displaystyle a}$（均一スケーリングパラメータ）：

${\displaystyle \kappa (s)={\frac {e^{\frac {s}{a}}}{a}}}$

よく知られている曲線のいくつかは、対数美的曲線ファミリーの例です。これらには円（${\displaystyle \alpha =\infty }$)、オイラー螺旋(${\displaystyle \alpha =-1}$）、対数螺旋（${\displaystyle \alpha =1}$)、および円のインボリュート(${\displaystyle \alpha =2}$)

一部の曲線は、チェザロ方程式によって非常に単純な形で表現できます。例としては、以下のようなものがあります。

• ライン：${\displaystyle \kappa =0}$。
• 丸：${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{\alpha }}}$、 どこ ${\displaystyle {\alpha }}$は半径です。
• 対数螺旋：${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{s}}}$、 どこ${\displaystyle {a}}$定数です。
• 円のインボリュート：${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{\sqrt {s}}}}$、 どこ${\displaystyle {a}}$定数です。
• オイラー螺旋：${\displaystyle \kappa =as}$、 どこ${\displaystyle {a}}$定数です。
• 懸垂線：$\displaystyle \kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}}$、 どこ${\displaystyle {a}}$定数です。

曲線のチェザロ方程式は、そのウェウェル方程式と次のように関係しています。ウェウェル方程式がφ = f ( s )の場合、チェザロ方程式はκ = f ′ ( s )となります。

• 数学教師。全米数学教師協議会。1908年。402ページ。 
• エドワード・カスナー（1904）。幾何学の現代的問題。芸術科学会議：セントルイス万国博覧会。574ページ 。
• J. デニス・ローレンス (1972).特殊平面曲線カタログ. ドーバー出版. pp. 1–5 . ISBN  0-486-60288-5。

• ワイスタイン、エリック W. 「セザーロ方程式」。マスワールド。
• ワイススタイン、エリック・W. 「自然方程式」 . MathWorld .
• 2dcurves.com の曲率曲線。